Méthode des éléments finis de Galerkin PDF

Chapitre 4 La m´ethode de Galerkin

exemple d'application de la méthode de Galerkin. Rappelons le probl`eme. Soit Ω un ouvert borné de RN et soit f fonction de C0(R)∩L. ∞(R) il s'agit de ...

Méthodes dApproximation de Solution pour les Probl`emes de

Les fonctions de base utilisées sont définies comme en dimension un et vérifient donc les relations (2.4). La figure 6 présente un exemple de quelques fonctions

Analyse du comportement non linéaire des structures par la

Méthode d'approximation: méthode de Galerkin. 23. Page 24. Mastère Spécialisé Exemple de ce que l'on peut faire avec gmsh …. Exemple de maillage. Page 65 ...

Développement et évaluation de la méthode de Galerkin

18 févr. 2014 une méthode de Galerkin discontinue modale pour le canal plan ... exemple les méthodes purement spectrales ou les différences finies centrées.

Méthode des éléments-finis par lexemple

La MEF que nous allons développer est la méthode de Galerkin appliquée `a une interpolation polynomiale par morceaux on définit le sous-espace discrétisé : V n

Méthode de Galerkin discontinue pour la discrétisation par éléments

Ils ont pu obtenir la convergence de leur modèle pour l'exposant p = 21. Ils concluent que la formulation en E (2.22) est plus robuste que la formulation en H (

La méthode des éléments nis

6 sept. 2006 Autrement on parle d'une méthode de Petrov-Galerkin. Exemple: Exemple 4.1 de Fortin et Garon. 1.3 Estimation d'erreur. Definition 1 (Norme

Notes de cours M2 — Équations aux dérivées partielles elliptiques

4 mars 2010 4.1 Résolution du problème modèle par la méthode de Galerkin . . . . ... On se propose de reprendre le problème modèle du chapitre 1 comme exemple.

Khaled Saleh INTRODUCTION À LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS

1 janv. 2013 Il s'agit ici d'exposer les bases de la méthode et de l'illustrer sur des exemples très simples issus de la mécanique des milieux continus avec ...

Chapitre 4 La m´ethode de Galerkin

On se propose de reprendre le probl`eme mod`ele du chapitre 1 comme exemple d'application de la méthode de Galerkin. Rappelons le probl`eme.

Méthodes dApproximation de Solution pour les Probl`emes de

3.3 Méthode de Galerkin . . . . . . 9. 3.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . 10. 4 Formulation Faible. 13. 4.1 Formulation forte/faible . . . . 13.

Méthode des éléments-finis par lexemple

1.1 Probl`eme aux limite et formulation variationnelle quelques exemples . progr`es en analyse avec la méthode de Galerkin se basant sur des théor`emes ...

Analyse du comportement non linéaire des structures par la

1- Elasticité linéaire – Méthode de Galerkin - Eléments finis isoparamétriques Exemple 1: Fonctions de base définies sur tout le domaine.

Les méthodes fondamentales dapproximation dans lanalyse.

3.3.1 1`ere cas : par la méthode de Galerkin . dimension finie cela convient par exemple pour résoudre des équations différentiels linéaires simple.

Notes de cours M2 — Équations aux dérivées partielles elliptiques

4 mars 2010 2.2 Résolution d'un problème modèle par une méthode de point fixe . 48 ... 4.1 Résolution du problème modèle par la méthode de Galerkin .

Méthode des éléments finis de Galerkin

qui est du même ordre de grandeur que l'erreur relative en semi-norme H1. Les valeurs (3.29) et (3.30) n'ont valeur que d'exemple à d'autres abscisses on peut

Méthodes variationnelles

des méthodes d'approximation (par exemple par éléments finis) Remarque 3.24 Si a est symétrique

Stabilité des méthodes de Lagrange-Galerkin du premier et du

Abstract: The Lagrange-Galerkin method which allows for example the resolution of an comme par exemple l'équation parabolique introduite par Burgers :.

Khaled Saleh INTRODUCTION À LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS

1 janv. 2013 2.1 La méthode de Galerkin . ... s'agit ici d'exposer les bases de la méthode et de l'illustrer sur des exemples très simples issus de.

IntroductiontoGalerkinMethods - University of Illinois Urbana

These notes provide a brief introduction to Galerkin projection methods for numerical solution of partial di?erential equations (PDEs) Included in this class of discretizations are ?nite element methods (FEMs) spectral element methods (SEMs) and spectral methods A key feature of these

2 The (Galerkin) Finite Element Method - University of Auckland

Chapter 2 The Finite Element Method Kelly 31 2 The (Galerkin) Finite Element Method 2 1 Approximate Solution and Nodal Values In order to obtain a numerical solution to a differential equation using the Galerkin Finite Element Method (GFEM) the domain is subdivided into finite elements

Chapitre 4 La méthode de Galerkin - Springer

procédé constructif d’approximation On pourra consulter [40] pour de nombreux exemplesd’utilisationdelaméthodedeGalerkinprincipalementpourdesproblèmes d’évolution 4 1 Résolution du problème modèle par la méthode de Galerkin On se propose de reprendre le problème non linéaire modèle du Chapitre2 comme

Searches related to méthode de galerkin exemple PDF

function [res] = Tes Monome Galerkin(N) qui ´evalue votre code en repr esentant sur le m´ eme graphique la solution exacte et la solution approchˆ ee´ du probl`eme (a) 3 expliquer le comportement de ces courbes pour des valeurs de Nde plus en plus grandes Q-2 : Refaire la meme dˆ emarche pour le probl´ eme suivant` (b) 8

A 4.5.
Soit Omega un ouvert borné de mathbb{R }^d et soit pin [1,+infty [. Alors {fancyscript{D}}(Omega ) est dense dans H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ).
Rque 4.2.
Nous savons déjà que {fancyscript{D}}(Omega ) est dense dans H^1_0(Omega ) par définition de H^1_0(Omega ) d’une part et dans L^p(Omega ) d’autre part par convolution par des noyaux régularisants. Le Lemme 4.5 affirme en plus que l’on peut approcher tout élément de l’intersection de ces deux espaces par une suite de fonctions de {fancyscript{...
preuve.
On procède par approximations successives. Soit uin H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ). On tronque u à la hauteur k en posant u_{k}=T_k(u). On a par conséquent u_{k}in H^1_0(Omega )cap L^infty (Omega ) et u_{k}rightarrow u dans H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ) quand krightarrow +infty grâce au Théorème 3.5. Considérons une suite varphi _{k,m}...
Rque 4.3.
Si uin L^infty (Omega ) alors la construction précédente fournit une suite de fonctions de {fancyscript{D}}(Omega ) qui converge vers u dans H^1_0(Omega ) et dans L^infty (Omega ) faible-*. En effet, toutes les approximations successives sont alors bornées dans L^infty (Omega ) et donc faiblement-* convergentes. On peut en extraire une su...
Rque 4.4.
(i) Le Lemme 4.6 permet de préciser le sens à donner à l’équation aux dérivées partielles du problème (4.7). Étant donné fin H^{-1}(Omega ), on va donc chercher uin H^1_0(Omega )tel que Cette équation a un sens, puisque l’on a abla uin L^2(Omega ;mathbb{R }^d) et -Delta u=-mathrm{{div}},( abla u)in H^{-1}(Omega ). De plus, upartial ...
Rème 4.1.
Soit Omega un ouvert borné de mathbb{R }^d. Pour tout fin H^{-1}(Omega ) il existe une solution uin H^1_0(Omega )du problème 4.7. On commence par construire une base de Galerkin appropriée. Dans la suite s^{prime }prend les valeurs indiquées dans la remarque (ii) qui suit le Lemme 4.6.
A 4.7.
Il existe une famille dénombrable (w_m)_{min mathbb{N }} d’éléments de {fancyscript{D}}(Omega ) dont les combinaisons linéaires sont denses dans H^1_0(Omega )cap L^{s^{prime }}(Omega ).
A 4.8.
Soit V_m=mathop {text{ vect }}{w_0,w_1,w_2,ldots ,w_m}. Le problème : trouver u_min V_mtel que admet au moins une solution. De plus cette solution satisfait
A 4.9.
La limite faible uin H^1_0(Omega )est solution du problème variationnel : En particulier, uest solution du problème 4.7.

Comment calculer la méthode de Galerkin ?

La méthode de Galerkin consiste à « approcher » l’espace fonctionnel V par un espace V h ? V, de dimension finie, mais toujours de Hilbert, et ce pour le même produit scalaire ! La formulation faible (3.1) est alors résolue dans V h uniquement, avec pour solution u h : (3.2) ¶ { Trouver u h ? V h tel que ? v h ? V h, a ( u h, v h) = ? ( v h).

Quelle est la différence entre la méthode des différences finies et de Galerkin ?

La méthode des différences finies discrétise l’opérateur différentiel ( ?) tandis que les éléments finis (issue de la méthode de Galerkin) approche l’espace fonctionnel. C’est une différence majeure !

Quel est le point-clé dans l’étude de la convergence d’une méthode de Galerkin?

Le point-clé dans l’étude de la convergence d’une méthode de Galerkin est le résultat simple mais important suivant. Lemme 2.1(LemmedeCéa). Soient ?et ??les solutions respectives des problèmes continu (1.1) et discret (2.8) ; alors, (2.23) ?(???????)=0? ?????? Démonstration.

Comment mettre en oeuvre la méthode d’éléments finis?

Mise en oeuvre de la méthode d’éléments ?nis Nousexaminonsdanscechapitreleslignesdirectricespermettantd’e?ectuer une im- plantation informatique de la méthode des éléments ?nis. Nous prenons comme ?lconduc- teur la résolution des problèmes aux limites des chapitres précédents par la méthode des éléments ?nis de plus bas degré.

Méthode des éléments finis

de Galerkin Le doute n"est pas au-dessous du savoir mais au-dessus (Alain)

Résumé. Il est rarement possible de résoudre analytiquement le problème modèle général

de l"acoustique défini au chapitre 2. Dès lors, l"ingénieur a recours à des méthodes

numériques qui fournissent une solution approchée (méthode des éléments finis, des

éléments de frontière, etc.). Ce chapitre établit la formulation éléments finis de type

Galerkin et rappelle les critères de bonne pratique en vigueur pour les analyses acoustiques. Il introduit ensuite deux notions théoriques fondamentales : l"interpolant et les normes d"erreur.

C"est au cours de ce chapitre que les spécificités de l"acoustique sont définies et illustrées.

Premièrement, en rappelant que la constante de Babuska-Brezzi est inversement proportionnelle au nombre d"onde, on montre que la stabilité de la méthode des éléments finis diminue lorsque le nombre d"onde augmente. Ensuite, on démontre que la solution

éléments finis est dispersive, c"est-à-dire qu"elle ne se propage pas à la vitesse du son

imposée. On établit à une dimension la relation entre le nombre d"onde éléments finis et la

nombre d"onde exact et les tests numériques illustrent parfaitement ce concept de dispersion.

La k-singularité, correspondant au déphasage entre les ondes exacte et éléments finis, est

démontrée et abondamment commentée sur des exemples numériques uni- et bidimensionnels. Ces tests concluent que le critère de bonne pratique usuel ne permet pas de contrôler l"erreur de discrétisation. La

l-singularité, correspondant aux fréquences propres éléments finis, est ensuite étudiée

sur des problèmes de cavités en l"absence d"amortissement.

Enfin, ce chapitre se termine par la démonstration d"une propriété d"équilibre local

éléments finis dont nous ferons usage au chapitre 4 pour construire une solution numérique satisfaisant à la forme forte du problème modèle général. Chapitre 3 Méthode des éléments finis de Galerkin 27

3.1 Introduction

Il existe très peu de cas où l"on connaît une solution au problème modèle général (2.32-35) formulé au

chapitre 2, c"est pour cette raison que nous l"avons ensuite énoncé sous forme faible de manière à

permettre le calcul de solutions approchées par éléments finis de type Galerkin où les approximations

résultent d"interpolations polynomiales de valeurs nodales de pression. Le cadre de cette étude est donc

les éléments finis classiques de type "déplacement" compatibles ou conformes [ZIE89, WAR96/1],

réalisant la continuité du champ de pression aux interfaces élémentaires, car c"est cette formulation qui est

disponible dans le logiciel SYSNOISE dont nous souhaitons contrôler la précision de la solution.

Le but de ce chapitre est de décrire le comportement de la solution éléments finis (normes d"erreur,

analyse de dispersion, erreur a priori, tests numériques) sans faire appel pour l"instant aux méthodes

d"estimation a posteriori, de manière à montrer les spécificités intrinsèques de l"opérateur de Helmholtz :

1) la k-singularité correspondant au phénomène de pollution mis en évidence par

F. Ihlenburg et al. pour des problèmes unidimensionnels [IHL95/2, IHL97/1] et dont nous reprenons la démonstration ici (paragraphe 3.8.2). Il s"agit d"une diminution de la stabilité croissante lorsque le nombre d"onde k augmente qui se manifeste par un déphasage croissant entre l"onde exacte et l"onde éléments finis. La perte de stabilité était prévue par la condition BB du problème variationnel (2.66), le but est ici d"en comprendre la nature pour la solution éléments finis elle-même,

2) la

l-singularité désignant la singularité de la matrice d"impédance lorsque la fréquence d"excitation correspond à une fréquence propre (fréquence de résonance). Pour ces valeurs, la réponse acoustique est infinie (ou très grande en présence d"amortissement structural).

Ces singularités s"ajoutent, à deux et à trois dimensions, aux singularités habituellement identifiées des

solutions de problèmes régis par un opérateur de Laplace (angles entrants, discontinuités de conditions

aux limites). Leur existence et leur influence sur la solution éléments finis de problèmes régis par un

opérateur de Helmholtz n"a pas encore fait l"objet d"études détaillées.

Ce chapitre s"attache également à valider la règle de bonne pratique suggérée par le manuel d"utilisation

de SYSNOISE imposant à l"utilisateur la résolution d"une onde par six éléments finis linéaires ou deux

éléments finis quadratiques (paragraphe 1.3.2). En particulier, nous examinons la pertinence de ce critère

en modifiant uniquement la longueur de la cavité étudiée et montrons qu"il est indispensable de travailler

à l"aide de critères portant sur le nombre d"onde adimensionnel k, défini par la relation (2.41).

D"autres méthodes numériques appliquées à l"opérateur de Helmholtz ont fait l"objet de travaux

d"évaluation de la qualité de la solution approchée, consistant le plus souvent en une analyse de la

convergence : autres méthodes des éléments finis [MEL95], éléments de frontière [DEM92], éléments à

enveloppe d"onde [GER96/1]. Elles ne font pas l"objet de ce travail.

3.2 Formulation de la méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis consiste à chercher une solution approchée dans les sous-espaces

1h Ì V1 (3.1)

2h Ì V2 (3.2)

Chapitre 3 Méthode des éléments finis de Galerkin 28

où h désigne pour l"instant le fait qu"il s"agit d"un sous-espace discret de type éléments finis. En toute

généralité, ces espaces peuvent être quelconques (les fonctions de forme ne doivent pas nécessairement

être polynomiales [MEL95]) et la solution éléments finis correspond à p h Î S1h a(ph,wh) = j(wh) " wh Î S2h (3.3)

Si la forme variationnelle (2.60) est bien posée (ce qui est le cas ici), les propriétés de la solution éléments

finis dépendent uniquement du choix des sous-espaces S ih. Dans le cadre de ce travail, nous nous

restreignons aux sous-espaces de Sobolev des polynômes de degré p par morceaux. Dans ce cadre, on

désigne par h la taille élémentaire (pas spatial) et p le degré des polynômes d"interpolation (linéaire,

quadratique, etc.). La solution éléments finis ph est obtenue en résolvant un système algébrique

d"équations linéaires correspondant au problème (3.3). Désignons par Ni les fonctions de forme

polynomiales de degré p qui permettent d"engendrer les fonctions d"essai et les fonctions tests par les

relations ph = Ni pih i = 1 #Nh = N ph (3.4) wh = Nj wjh j = 1 #Nh = N wh (3.5) où p

ih et wjh sont les valeurs nodales. Le champ de pression éléments finis ph doit satisfaire a priori aux

conditions aux limites de Dirichlet (2.22) lorsqu"elles existent. On a donc, en injectant (3.4) et (3.5) dans

(3.3) a(N i,Nj) pihi = 1 #Nh = j(Nj) " j = 1, #Nh (3.6) qui, avec la définition des opérateurs a(p,w) (2.58) et j(w) (2.59), s"écrit matriciellement sous la forme,

K + jrw C - w2 M ph = - jrw f (3.7)

où, K = ÑtN ÑN dW

W (3.8)

C =

An Nt N dG

R (3.9)

M = 1 c

2 Nt N dW

W (3.10)

f = Nt vn dG

GN (3.11)

Chapitre 3 Méthode des éléments finis de Galerkin 29

Le système d"équations (3.7) est similaire à celui décrivant la réponse harmonique forcée en dynamique

des structures [WAR94/2]. Il y a donc incontestablement une analogie entre les problèmes de l"acoustique et de la dynamique lorsque l"on s"intéresse aux réponses harmoniques.

3.3 Critère de bonne pratique SYSNOISE

Introduisant son module de calcul acoustique par éléments finis, LMS Numerical Technologies préconise

un critère de bonne pratique de la manière suivante :

"It is important to note that the size of the elements depends upon the frequency range of interest. A mesh

density of five or six linear elements per wavelength is generally sufficient." [LMS97, p. 1-17].

Cette recommandation est basée, comme indiqué dans l"introduction paragraphe 1.3.2., sur le bon sens en

observant (figure 3.1) que six éléments suffisent pour bien représenter une longueur d"onde.

-1-0.500.51

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p ph x

figure 3.1. Règle de bonne pratique : résolution d"une longueur d"onde par six éléments linéaires

Nous donnerons à ce critère le nom de "limite SYSNOISE" qui s"exprime, selon le contexte, par les

relations suivantes, toutes équivalentes.

1) taille maximale lorsque la fréquence est connue

SYSNOISE £ l

6 (3.12)

2) fréquence maximale lorsque la taille est connue

fSYSNOISE £ c

6h (3.13)

3) critère exprimé en fonction du nombre d"onde

kh £ 2p

6 (3.14)

De la même manière, ce critère est généralisé pour les éléments quadratiques en considérant qu"il faut

deux éléments quadratiques par longueur d"onde [MIG97]. Chapitre 3 Méthode des éléments finis de Galerkin 30

3.4 Interpolant éléments finis

La démonstration de l"existence de la k-singularité se fera (paragraphe 3.8) en décomposant l"erreur en

deux termes : l"erreur entre la solution exacte et l"interpolant, et l"erreur entre l"interpolant et la solution

éléments finis. Cette décomposition fait intervenir une notion fondamentale : l"interpolant. L"interpolant

pI est l"approximation d"une fonction p à l"aide des fonctions d"interpolation polynomiales par morceaux

N i, les valeurs nodales de l"approximation étant les valeurs nodales exactes. pI = Ni pi i = 1 #Nh (3.15)

Cette définition est illustrée à la figure 3.2 pour le problème modèle 1 qui représente les ondes exacte,

éléments finis et interpolante correspondant à k = 10.3 (f = 410 Hz) et h = 0.1 m. -1-0.500.51

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p ph pI x

figure 3.2. Modèle problème 1 : ondes exacte "p", éléments finis "ph" et interpolante "pI"

(f=410 Hz, k=10 .3 m-1, h=0.1 m, k = 10.3)

3.5 Normes d"erreur

La solution éléments finis ph est une solution approchée de p car, en général, p

On souhaite évaluer la précision de p

h, c"est-à-dire mesurer la distance de p à ph. Pour cela, l"idéal serait

de définir l"erreur locale qui nous donnerait en tout point l"erreur sur un champ éléments finis (pression ou

vitesse). Par exemple, l"erreur locale pour la pression s"écrit I ( x) = p(x) - ph(x) (3.17)

Nous utiliserons cette définition au paragraphe 4.7 mais précisons tout de suite qu"il n"existe aucune

méthode permettant de l"estimer lorsque la solution exacte p n"est pas connue. De plus, l"utilisation de

cette erreur aux noeuds d"un maillage dont les valeurs nodales sont exactes (poutres, problèmes

unidimensionnels de Poisson) est à proscrire puisque cela laisserait penser à tort que la solution éléments

finis est exacte partout. Chapitre 3 Méthode des éléments finis de Galerkin 31

Les mesures d"erreur se font alors à l"aide de normes intégrales étendues au domaine (erreur globale), à

des sous-domaines ou à un élément (erreur élémentaire). Dès que le cadre fonctionnel de la méthode des

éléments finis est posé, Strang et Fix [STR73] montrent que la norme d"erreur est définie par la relation

p - ph 12 = a( p-ph , p-ph ) (3.18) correspondant à la norme H

1, ce que rappelle l"indice 1. L"application de la définition (3.18) à

l"acoustique requiert toutefois quelques commentaires.

1) Premièrement, il faut que

a( p-ph , p-ph ) soit réel, ce qui n"est pas le cas en présence de conditions aux limites de Robin. On décompose alors la forme a(p,w) en deux contributions, l"une b(p,w) due à l"opérateur de champ, l"autre d(p,w) aux conditions de Robin, a(p,w) = b(p,w) + d(p,w) (3.19) où, b(p, W d(p,w) = jrc k An p w dG

GR (3.20)

et on restreint la définition de la norme d"erreur à la contribution de l"opérateur de champ p - ph 12 = b( p-ph , p-ph ) (3.21) On voit à ce stade la raison pour laquelle nous avons pris le complexe conjugué des fonctions tests dans la définition de la forme a(p,w). Avec la définition (3.21), l"erreur en norme énergie donne p - ph 12 = Ñp - Ñph t Ñp - Ñph - k2 p - ph p - ph dW W (3.22)

2) On voit immédiatement que la relation (3.22) ne définit pas une norme puisque

l"opérateur n"est pas défini positif (lorsque k est plus grand que la première valeur propre). On peut alors adopter comme définition de la norme H1 [IHL95/1, MEL95], p - ph 12 = Ñp - Ñph t Ñp - Ñph + k2 p - ph p - ph dW W (3.23)

3) Enfin, il est plus courant et plus aisé d"utiliser la semi-norme H1 définie par

p - ph 12 = v - vh t v - vh dW W (3.24) La relation (3.24) ne définit pas une norme car la condition (9.9) n"est pas satisfaite :quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

[PDF] Méthode des éléments finis de Galerkin

A 4.5.

Rque 4.2.

preuve.

Rque 4.3.

Rque 4.4.

Rème 4.1.

A 4.7.

A 4.8.

A 4.9.

Comment calculer la méthode de Galerkin ?

Quelle est la différence entre la méthode des différences finies et de Galerkin ?

Quel est le point-clé dans l’étude de la convergence d’une méthode de Galerkin?

Comment mettre en oeuvre la méthode d’éléments finis?

Méthode des éléments finis

3.1 Introduction

1) la k-singularité correspondant au phénomène de pollution mis en évidence par

2) la

3.2 Formulation de la méthode des éléments finis

1h Ì V1 (3.1)

2h Ì V2 (3.2)

K + jrw C - w2 M ph = - jrw f (3.7)

W (3.8)

An Nt N dG

R (3.9)

2 Nt N dW

W (3.10)

GN (3.11)

3.3 Critère de bonne pratique SYSNOISE

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1) taille maximale lorsque la fréquence est connue

SYSNOISE £ l

6 (3.12)

2) fréquence maximale lorsque la taille est connue

6h (3.13)

3) critère exprimé en fonction du nombre d"onde

6 (3.14)

3.4 Interpolant éléments finis

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

3.5 Normes d"erreur

On souhaite évaluer la précision de p

1, ce que rappelle l"indice 1. L"application de la définition (3.18) à

1) Premièrement, il faut que

GR (3.20)

2) On voit immédiatement que la relation (3.22) ne définit pas une norme puisque

3) Enfin, il est plus courant et plus aisé d"utiliser la semi-norme H1 définie par