Méthode des éléments-finis par lexemple PDF

Chapitre 4 La m´ethode de Galerkin

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On se propose de reprendre le probl`eme mod`ele du chapitre 1 comme exemple d'application de la méthode de Galerkin. Rappelons le probl`eme.

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3.3 Méthode de Galerkin . . . . . . 9. 3.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . 10. 4 Formulation Faible. 13. 4.1 Formulation forte/faible . . . . 13.

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A 4.5.
Soit Omega un ouvert borné de mathbb{R }^d et soit pin [1,+infty [. Alors {fancyscript{D}}(Omega ) est dense dans H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ).
Rque 4.2.
Nous savons déjà que {fancyscript{D}}(Omega ) est dense dans H^1_0(Omega ) par définition de H^1_0(Omega ) d’une part et dans L^p(Omega ) d’autre part par convolution par des noyaux régularisants. Le Lemme 4.5 affirme en plus que l’on peut approcher tout élément de l’intersection de ces deux espaces par une suite de fonctions de {fancyscript{...
preuve.
On procède par approximations successives. Soit uin H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ). On tronque u à la hauteur k en posant u_{k}=T_k(u). On a par conséquent u_{k}in H^1_0(Omega )cap L^infty (Omega ) et u_{k}rightarrow u dans H^1_0(Omega )cap L^p(Omega ) quand krightarrow +infty grâce au Théorème 3.5. Considérons une suite varphi _{k,m}...
Rque 4.3.
Si uin L^infty (Omega ) alors la construction précédente fournit une suite de fonctions de {fancyscript{D}}(Omega ) qui converge vers u dans H^1_0(Omega ) et dans L^infty (Omega ) faible-*. En effet, toutes les approximations successives sont alors bornées dans L^infty (Omega ) et donc faiblement-* convergentes. On peut en extraire une su...
Rque 4.4.
(i) Le Lemme 4.6 permet de préciser le sens à donner à l’équation aux dérivées partielles du problème (4.7). Étant donné fin H^{-1}(Omega ), on va donc chercher uin H^1_0(Omega )tel que Cette équation a un sens, puisque l’on a abla uin L^2(Omega ;mathbb{R }^d) et -Delta u=-mathrm{{div}},( abla u)in H^{-1}(Omega ). De plus, upartial ...
Rème 4.1.
Soit Omega un ouvert borné de mathbb{R }^d. Pour tout fin H^{-1}(Omega ) il existe une solution uin H^1_0(Omega )du problème 4.7. On commence par construire une base de Galerkin appropriée. Dans la suite s^{prime }prend les valeurs indiquées dans la remarque (ii) qui suit le Lemme 4.6.
A 4.7.
Il existe une famille dénombrable (w_m)_{min mathbb{N }} d’éléments de {fancyscript{D}}(Omega ) dont les combinaisons linéaires sont denses dans H^1_0(Omega )cap L^{s^{prime }}(Omega ).
A 4.8.
Soit V_m=mathop {text{ vect }}{w_0,w_1,w_2,ldots ,w_m}. Le problème : trouver u_min V_mtel que admet au moins une solution. De plus cette solution satisfait
A 4.9.
La limite faible uin H^1_0(Omega )est solution du problème variationnel : En particulier, uest solution du problème 4.7.

Comment calculer la méthode de Galerkin ?

La méthode de Galerkin consiste à « approcher » l’espace fonctionnel V par un espace V h ? V, de dimension finie, mais toujours de Hilbert, et ce pour le même produit scalaire ! La formulation faible (3.1) est alors résolue dans V h uniquement, avec pour solution u h : (3.2) ¶ { Trouver u h ? V h tel que ? v h ? V h, a ( u h, v h) = ? ( v h).

Quelle est la différence entre la méthode des différences finies et de Galerkin ?

La méthode des différences finies discrétise l’opérateur différentiel ( ?) tandis que les éléments finis (issue de la méthode de Galerkin) approche l’espace fonctionnel. C’est une différence majeure !

Quel est le point-clé dans l’étude de la convergence d’une méthode de Galerkin?

Le point-clé dans l’étude de la convergence d’une méthode de Galerkin est le résultat simple mais important suivant. Lemme 2.1(LemmedeCéa). Soient ?et ??les solutions respectives des problèmes continu (1.1) et discret (2.8) ; alors, (2.23) ?(???????)=0? ?????? Démonstration.

Comment mettre en oeuvre la méthode d’éléments finis?

Mise en oeuvre de la méthode d’éléments ?nis Nousexaminonsdanscechapitreleslignesdirectricespermettantd’e?ectuer une im- plantation informatique de la méthode des éléments ?nis. Nous prenons comme ?lconduc- teur la résolution des problèmes aux limites des chapitres précédents par la méthode des éléments ?nis de plus bas degré.

M ´ethode des´el´ements-finis par l"exemple

Daniel Cho

¨ı1

LMNO

Groupe M

´ecanique Mod´elisation Math´ematique et Num´erique

Universit

´e de Caen, Bld Mar´echal Juin, 14032 Caen Cedex, France

Version Janvier 2016

1. daniel.choi@unicaen.fr

M ´ethode des´el´ements-finisCe document est inspir ´e d"un cours enseign´e enMaster Ing ´enierie M´ecanique`a l"univer- sit ´e de Caen. Il s"inspire de nombreux ouvrages bien plus complets tels que [Bat96] et [ZT00], ainsi que divers documents de coll `egues universitaires. Il est destin´e aux´etudiants en Master de Math ´ematiques appliqu´ees et M´ecanique ainsi qu"aux´el`eves ing´enieur. Ce document est bien sur incomplet : il manque des chapitres entiers, des d

´emonstrations,

des exemples, etc. Toute remarque est la bienvenue, m

ˆeme en ce qui concerne les problablement

nombreuses fautes d"orthographes et de Franc¸ais. c

Daniel Cho¨ı 2010--2Universit´e de Caen

´ethode des´el´ements-finis

Table des mati

`eres

1 Introduction

1.1 Probl

`eme aux limite et formulation variationnelle, quelques exemples. . . . . . 11

1.1.1 Probl

`eme mod`ele 1d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2 Probl

`eme mod`ele 2d ou 3d : probl`eme de Poisson. . . . . . . . . . . . . 12

1.1.3 Probl

`eme 2d :´elasticit´e plane lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.4 Probl

`eme 2d/3d : probl`eme de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.5 Probl

`emes non-lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.6 Probl

`emes dynamiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Cadre th

´eorique : espaces de Hilbert et espaces de Sobolev15

2.1 Espace vectoriel norm

´es de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Espaces de Banach

2.3 Espaces de Hilbert

2.4 Exemples :?2et les espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Espace des fonctions de carr

´e int´egrable?2. . . . . . . . . . . . . . . .17

2.4.2 Espaces de SobolevHm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.5 Repr

´esentation de Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Th

´eor`emes de projection dans un Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7 R ´egularit´e des Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7.1 Notion de trace dans un espace de Sobolev

2.7.2 In

´egalit´e de sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Formulation variationnelle

3.1 Probl

`eme variationnel abstrait : th´eor`eme de Lax-Milgram. . . . . . . . . . . . 25 3.2 M ´ethode de Galerkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 M ´ethode de Galerkin en dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Premier exemple et exercices

30
c

Daniel Cho¨ı 2010--3Universit´e de Caen

´ethode des´el´ements-finis3.3.2 El

´ement-finis et m´ethode de Galerkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 ´El´ements-finis par l"exemple : El´ements-finis isoparam´etriques33

4.1 Probl

`eme 1D, interpolationP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

4.1.1 Maillage SEG2 et interpolation lin

´eaire par morceaux :´el´ementP1de

Lagrange

34
4.1.2 ´El´ements-finisP1, le syst`eme lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.3 Technique d"assemblage

4.1.4 Application num

´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.5 Estimation d"erreur

4.1.6 Programme Scilab

43
4.2 ´El´ement-finis 1D dans le plan, structures en treillis. . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Exemple 2D sur maillage triangulaire : Probl

`eme de Poisson. . . . . . . . . . . 46

4.3.1 Maillage triangulaire

`a 3 noeuds et interpolationP1de Lagrange. . . . 47

4.3.2 Matrice de rigidit

´e´el´ementaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.3 Calcul du second membre

4.3.4 Prise en compte des conditions aux limites et r

´esolution. . . . . . . . . 51

4.4 Exemple 2D sur maillage quadrangulaire : Probl

`eme de Poisson avec condition de Dirichlet et condition de Neuman 52

4.4.1 Maillage quadrangulaire

`a 4 noeuds et interpolation lin´eaire. . . . . . . 53

4.4.2 Interpolation lin

´eaire sur un quadrangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4.3 El

´ement de r´eference et formule de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 Exemple 3D : M

´ecanique des milieux continus. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5.1 ´El´ement t´etrah`edriques`a 4 noeuds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5.2 ´El´ement prisme`a 6 noeuds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.5.3 ´El´ement cubique`a 8 noeuds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Exemples non-isoparam

´etrique65

5.1 Poutre en flexion, interpolationP3sur maillage SEG2. . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1 Le mod

`ele de Bernouilli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.2 Principe des travaux virtuels

5.1.3 Maillage SEG2 et InterpolationP3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

5.1.4 Calcul de la matrice rigidit

´e`a la flexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Element MITC4 pour les plaques en flexion

6 Annexes : Rappels de Math

´ematiques73

6.1 Rappels en alg

`ebre lin´eaire, analyse matricielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Rappels d"optimisation quadratique

6.3 Th

´eor`emes de projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.4 Int

´egration num´erique de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 c

Daniel Cho¨ı 2010--4Universit´e de Caen

M ´ethode des´el´ements-finis6.4.1 3 noeuds d"int ´egration de Gauss sur un triangle de r´ef´erence. . . . . . . 75

6.4.2 7 noeuds d"int

´egration de Gauss sur un triangle de r´ef´erence. . . . . . . 75quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] Méthode des éléments-finis par lexemple

A 4.5.

Rque 4.2.

preuve.

Rque 4.3.

Rque 4.4.

Rème 4.1.

A 4.7.

A 4.8.

A 4.9.