[PDF] Corrigé du baccalauréat ES Maths juin 2013 Métropole





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Exercice14 points

Commun à tous les candidats

PartieA : généralités

1.D"après les données de l"énoncé, on a :

p A(D) est la probabilité qu"un composant présente un défaut de soudure (évènementD) sachant qu"il est produit par l"unité A (évènementA), avecpA(D)=0,014 p B(D) est la probabilité qu"un composant présente un défaut de soudure (évènementD) sachant qu"il est produit par l"unité B (évènementB), avecpB(D)=0,024

2.Le nombre total de composants électriques fabriqués par l"usine est 900+600=1500 par

jour. On en déduit p(A)=nombre de cas favorables nombre de cas possibles=6001500=0,4 p(A)=40% et p(B)=900

1500=0,6

p(B)=60% Arbre de probabilité traduisant la situation de l"énoncé.

Composant

électrique

B

D0,976D

0,0240,6A

D0,986D:p(A∩D)=0,4×0,014

0,014 0,4

3. a.De la lecture de l"arbre de probabilité, on en déduit

p(A∩D)=0,56% p(B∩D)=1,44% b.D"après la formule des probabilités totales, on en déduit p(D)=p(A)×pA(D)+p(B)×pB(D) =p(A∩D)+p(B∩D) =0,0056+0,0144=0,02 p(D)=2%

4.On prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure, la

probabilité que ce composant provienne de l"unité A estpD(A). p

D(A)=p(A∩D)

p(D)=0,00560,02=0,28 p

D(A)=28%

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

PartieB : contrôlede qualité

La variable aléatoireRqui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa

résistance, suit une loi normaleN(200,5 ; 3,52).

1.La probabilitép1del"évènement "Larésistance ducomposant est supérieure à211 ohms»

est p

1=P(R?211)=1-P(R?211)=1-0,9987=0,0013

p

1≈0,13%

2.La probabilitép2de l"évènement "La résistance du composant est comprise dans l"inter-

valle [195 ; 205] ohms» est p p

2≈84,27%

3.On effectue le prélèvement de trois composants dans la production de manière indépen-

dante. La production journalière étant de 1500 composants,ce prélèvement de 3 compo- sants peut être assimilé à un tirage avec remise. AlorslavariablealéatoireX, qui associeàceprélèvement lenombredecomposants accep- tés, suit une loi binomialeB(3 ; 0,84). La probabilitépqu"exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés est p=P(X=2)=? 3 2? 0,84

2(1-0,84)3-2=3×0,842×0,16=0,338688

p≈33,87% Remarque :tous les résultats de cet exercice sont exacts et aucun arrondi n"est effec- tué.

Exercice24 points

Commun à tous les candidats

Question1

Au 1 erseptembre 2013, le capital de l"étudiant est le premier terme de la suite(cn), soitc0=2500. Au 1

eroctobre 2013, le capital de l"étudiant estc1, et au 1ermars 2014, le capital de l"étudiant est

c 6.

Si l"étudiant est à découvert au début du mois de mars 2014, cela signifie quec6<0. La suite (cn)

étant définie par récurrence, il faut calculer tous les termes jusqu"àc6. c n+1=1,002cn-425 c

1=1,002c0-425=1,002×2500-425=2080

c c

3=1,002c2-425≈1237

c

4=1,002c3-425≈815

c

5=1,002c4-425≈392

c

6=1,002c5-425≈-33

Au 1ermars 2014, le solde du compte de l"étudiant est de-33e: le compte est à découvert.

La proposition est VRAIE.

Métropole2/8juin 2013

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

Question2

Soitfla fonction définie surI=]0 ;+∞[ parf(x)=2x+1-lnx.

Alorsfest dérivable surIet

f ?(x)=2-1 x f ??(x)=-? -1 x2? f ??(x)=1 x2 On en déduit quef??(x)>0 surI, doncfest convexe surI.

La proposition est VRAIE.

Question3

SoitFla fonction définie surI=]0 ;+∞[ parF(x)=xlnx-2x+5. Soitfla fonction définie sur

I=]0 ;+∞[ parf(x)=2lnx.

Le logiciel de calcul formel donne

F ?(x)=2lnx+2x x F ?(x)=lnx2 or lnx2=2lnx, donc F ?(x)=2lnx F ?(x)=f(x)

DoncFest une primitive defsurI.

La proposition est VRAIE.

Question4

SoitXunevariablealéatoire suivant laloi normaled"espéranceμ=0etd"écart-typeσ=0,6, alors

68% des issues d"une variable aléatoireXsuivant une loi de probabilité normaleB(μ;σ2) sont

dans l"intervalle [μ-σ;μ+σ].

La proposition est VRAIE.

C"est un résultat utile à connaître par coeur. On peut aussi retrouver ce résultat par le calcul

avec une calculatrice par

P(-0,6?X?0,6)=P(X?0,6)-P(X?-0,6)

≈0,84-0,16 ≈0,68

Exercice35 points

Commun à tous les candidats

PartieA : étude graphique]

1.D"après le graphique, on observe queB(x)>13 pourx?[2,5 ; 3,4]. Donc pour obtenir un

bénéfice supérieur à 13000e, l"entreprise doit fabriquer entre 2500 et 3400 poulies par semaine, à cent poulies près. Le nombre de poulies doit varier dans l"intervalle [2500 ; 3400]

Voir les traits de construction sur le graphique.

Métropole3/8juin 2013

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

2.D"après le graphique, la valeur maximum deB(x) est 15,1. Cette valeur est atteinte pour

x=3. Le bénéfice maximum envisageable pour l"entreprise est 15100e surl"intervalle[0; 3600]. Ce bénéfice maximum est atteint pourN=3000 poulies fabriquées

Voir les traits de construction sur le graphique.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.52468101214

B(x) bénéfice maximum

Bénéfice égal à 13000e

zone de bénéfice supérieur à 13000e 0xy

Annexe 2 à rendre avec la copie

PartieB : étude théorique

1.Le bénéfice hebdomadaire exprimé en milliers d"euros est représenté par la fonctionBdé-

finie parB(x)=-5+(4-x)exsur l"intervalleI=[0 ; 3,6]. a.Calcul de la fonction dérivéeB?.

Métropole4/8juin 2013

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

On peut noter queBest du typek+uv, aveck=-5,u(x)=4-x, etv(x)=ex.

B(x)=-5+(4-x)ex

B(x)=k+uv

B ?(x)=0+(u?v+uv?) B ?(x)=0+[(-1)ex+(4-x)ex] B ?(x)=(-1+4-x)ex B ?(x)=(3-x)ex b.Étude du signe deB?surI. B ?(x)=(3-x)ex e xest positif quel que soit le réelx, doncB?est du signe de (3-x). (3-x)>0 pourx<3. DoncB?(x)>0 pourx?[0 ; 3[,B?(x)=0 pourx=3, etB?(x)<0 pourx?]3 ; 3,6]. c.Tableau de variation de la fonctionB. x0 33,6 B ?(x)+0- B(x) -115,1 0,6

B(0)=-5+4B(3)=-5+e3

B(3,6)=-5+0,4e3,6

B(0)=-1B(3)≈15,1B(3,6)≈9,6

2. a.LafonctionBestcontinueetstrictementcroissantesur[0;3],avecB([0;3])=[-1;15,1]

et 13?[-1;15,1], alors d"après le théorème des valeurs intermédiaires il existe une unique solutionx1?[0;3] tel queB(x1)=13. De la même façon, la fonctionBest continue et strictement décroissante sur [3;3,6], avecB([3 ; 3,6])=[9,6 ; 15,1] et 13?[9,6 ; 15,1], alors d"après le théorème des valeurs intermédiaires il existe une unique solutionx2?[3 ; 3,6] tel queB(x2)=13. b.On peut déterminer un encadrement dex1etx2à l"aide de la fonction TABLEde la calculatrice.

Avec un pas de 0,1 : 2,4

Avec un pas de 0,01 : 2,45 Avec un pas de 0,001 : 2,455