[PDF] Correction Bac ES Maths juin 2013 Métropole

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Correction Bac ES Maths Juin 2013 Métropole

Exercice 1 Commun à tous les candidats (4 points)

Partie A - généralités

1. a.D"après les données de l"énoncé, on a :pA(D) est la probabilité qu"un composant présente un défaut de soudure (évènementD)

sachant qu"il est produit par l"unité A (évènementA), avecpA(D) = 0,014 p B(D) est la probabilité qu"un composant présente un défaut de soudure (évènementD) sachant qu"il est produit par l"unité B (évènementB), avecpB(D) = 0,024 b.Le nombre total de composants électriques fabriqués par l"usine est 900+600 = 1500 par jour.

On en déduit

p(A) =nombre de cas favorables nombre de cas possibles=6001500= 0,4 p(A) = 40% et p(B) =900

1500= 0,6

p(B) = 60%

2.Arbre de probabilité traduisant la situation de l"énoncé.

Composant

électrique

B

D0,976D

0,0240,6A

D0,986D:p(A∩D) = 0,4×0,014

0,014 0,4

3. a.De la lecture de l"arbre de probabilité, on en déduit

p(A∩D) =p(A)×pA(D) = 0,4×0,014 = 0,0056 p(A∩D) = 0,56% p(B∩D) =p(B)×pB(D) = 0,6×0,024 = 0,0144 p(B∩D) = 1,44% b.D"après la formule des probabilités totales, on en déduit p(D) =p(A)×pA(D) +p(B)×pB(D) =p(A∩D) +p(B∩D) = 0,0056+ 0,0144 = 0,02 p(D) = 2%

4.On prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure, la probabilité

que ce composant provienne de l"unité A estpD(A). p

D(A) =p(A∩D)

p(D)=0,00560,02= 0,28 p

D(A) = 28%

Baccalauréat ESA.P.M.E.P.

Partie B - contrôle de qualité

La variable aléatoireRqui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance,

suit une loi normaleN(200,5;3,52).

1.La probabilitép1de l"évènement " La résistance du composant est supérieure à211 ohms » est

p

1=P(R?211) = 1-P(R?211) = 1-0,9987 = 0,0013

p

1≈0,13%

2.La probabilitép2de l"évènement " La résistance du composant est comprise dans l"intervalle

[195; 205] ohms » est p

2=P(195?R?205) =P(R?205)-P(R?195) = 0,9007-0,0580 = 0,8427

p

2≈84,27%

3.On effectue le prélèvement de trois composants dans la production de manière indépendante. La

production journalière étant de 1500 composants, ce prélèvement de 3 composants peut être assi-

milé à un tirage avec remise.

Alors la variable aléatoireX, qui associe à ce prélèvement le nombre de composants acceptés, suit

une loi binomialeB(3 ; 0,84). La probabilitépqu"exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés est p=P(X= 2) =?32?

0,842(1-0,84)3-2= 3×0,842×0,16 = 0,338688

p≈33,87% Remarque :tous les résultats de cet exercice sont exacts et aucun arrondi n"est effectué. Exercice 2 Commun à tous les candidats (4 points)

Question 1

Au 1

erseptembre 2013, le capital de l"étudiant est le premier terme de la suite (cn), soitc0= 2500. Au

1

eroctobre 2013, le capital de l"étudiant estc1, et au 1ermars 2014, le capital de l"étudiant estc6.

Si l"étudiant est à découvert au début du mois de mars 2014, cela signifie quec6<0. La suite (cn) étant

définie par récurrence, il faut calculer tous les termes jusqu"àc6. c n+1= 1,002cn-425 c

1= 1,002c0-425 = 1,002×2500-425 = 2080

c

2= 1,002c1-425 = 1,002×2080-425≈1659

c

3= 1,002c2-425≈1237

c

4= 1,002c3-425≈815

c

5= 1,002c4-425≈392

c

6= 1,002c5-425≈ -33

Au 1ermars 2014, le solde du compte de l"étudiant est de-33e: le compte est à découvert.

La proposition estVraie.

Question 2

Soitfla fonction définie surI=]0;+∞[ parf(x) = 2x+ 1-lnx.

Métropole2/8juin 2013

Baccalauréat ESA.P.M.E.P.

Alorsfest dérivable surIet

f ?(x) = 2-1 x f ??(x) =-? -1 x2? f ??(x) =1 x2 On en déduit quef??(x)>0 surI, doncfest convexe sur I.

La proposition estVraie.

Question 3

SoitFla fonction définie surI=]0;+∞[ parF(x) =xlnx-2x+ 5. Soitfla fonction définie sur

I=]0;+∞[ parf(x) = 2lnx.

Le logiciel de calcul formel donne

F ?(x) = 2lnx+2x x F ?(x) = lnx2 or lnx2= 2lnx, donc F ?(x) = 2lnx F ?(x) =f(x)

DoncFest une primitive defsurI.

La proposition estVraie.

Question 4

SoitXune variable aléatoire suivant la loi normale d"espéranceμ= 0 et d"écart-typeσ= 0,6, alors

P(-0,6?X?0,6) =P(μ-σ?X?μ+σ)≈0,68

68% des issues d"une variable aléatoireXsuivant une loi de probabilité normaleB(μ;σ2) sont dans

l"intervalle [μ-σ;μ+σ].

La proposition estVraie.

C"est un résultat utile à connaître par coeur. On peut aussi retrouver ce résultat par le calcul avec

une calculatrice par

P(-0,6?X?0,6) =P(X?0,6)-P(X?-0,6)

≈0,84-0,16 ≈0,68 Exercice 3 Commun à tous les candidats (5 points)

Partie A - étude graphique

1.D"après le graphique, on observe queB(x)>13 pourx?[2,5;3,4]. Donc pour obtenir un bénéfice

supérieur à 13000e, l"entreprise doit fabriquer entre 2500 et 3400 poulies parsemaine, à cent

poulies près. Le nombre de poulies doit varier dans l"intervalle [2500;3400]

Voir les traits de construction sur le graphique.

Métropole3/8juin 2013

Baccalauréat ESA.P.M.E.P.

2.D"après le graphique, la valeur maximum deB(x) est 15,1. Cette valeur est atteinte pourx= 3.

Le bénéfice maximum envisageable pour l"entreprise est 15100e sur l"intervalle [0;3600]. Ce bénéfice maximum est atteint pourN= 3000 poulies fabriquées

Voir les traits de construction sur le graphique.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6

-11

23456789101112131415

B(x) bénéfice maximum

Bénéfice égal à 13000e

zone de bénéfice supérieur à 13000e 0xy

Annexe 2 à rendre avec la copie

Partie B - étude théorique

1.Le bénéfice hebdomadaire exprimé en milliers d"euros est représenté par la fonctionBdéfinie par

B(x) =-5 + (4-x)exsur l"intervalleI= [0;3,6].

a.Calcul de la fonction dérivéeB?.

Métropole4/8juin 2013

Baccalauréat ESA.P.M.E.P.

On peut noter queBest du typek+uv, aveck=-5,u(x) = 4-x, etv(x) = ex.

B(x) =-5 + (4-x)ex

B(x) =k+uv

B ?(x) = 0 + (u?v+uv?) B ?(x) = 0 + [(-1)ex+ (4-x)ex] B ?(x) = (-1 + 4-x)ex B ?(x) = (3-x)ex b.Etude du signe deB?surI. B ?(x) = (3-x)ex e xest toujours positif, doncB?est du signe de (3-x). (3-x)>0 pourx <3. DoncB?(x)>0 pourx?[0 ; 3[,B?(x) = 0 pourx= 3, etB?(x)<0 pourx?]3;3,6]. c.Tableau de variation de la fonctionB. x0 33,6 B ?(x)+0- B(x) -115,1 0,6 B(0) =-5 + (4-0)e0B(3) =-5 + (4-3)e3B(3,6) =-5 + (4-3,6)e3,6

B(0) =-5 + 4B(3) =-5 + e3

B(3,6) =-5 + 0,4e3,6

B(0) =-1B(3)≈15,1B(3,6)≈9,6

2. a.La fonctionBest continue et strictement croissante sur [0;3], avecB([0;3]) = [-1;15,1]

et 13?[-1;15,1], alors d"après le théorème des valeurs intermédiaires ilexiste une unique

solutionx1?[0;3] tel queB(x1) = 13. De la même façon, la fonctionBest continue et strictement décroissante sur [3;3,6], avec

B([3;3,6]) = [9,6;15,1] et 13?[9,6;15,1], alors d"après le théorème des valeurs intermédiaires

il existe une unique solutionx2?[3;3,6] tel queB(x2) = 13. b.On peut déterminer un encadrement dex1etx2à l"aide de la fonctionTablede la calculatrice.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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