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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie?17 novembre 2014
Exercice 15 points
Commun à tous lescandidats
Une fabrique de desserts glacés dispose d"une chaîne automatisée pour remplir des cônes de glace.
PartieA
Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de 2000 pour la vente en gros.
On considère que la probabilité qu"un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en
gros est égale à 0,003.On nommeXla variable aléatoire qui, à chaque lot de 2000 cônes prélevés au hasard dans la production,
associelenombredecônesdéfectueux présents danscelot.Onsuppose quelaproductionestsuffisamment
importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres.1.La variable aléatoire donne le nombre de cônes défectueux eton suppose que les 2000 tirages sont
indépendants les uns des autres. De plus, la probabilité qu"un cône soit défectueux est de 0,003.
On peut donc dire que la variable aléatoireXsuit la loi binomiale de paramètresn=2000 etp=0,003.
2.Si un client reçoit un lot contenant au moins 12 cônes défectueux, l"entreprise procède alors à un
échange de celui-ci.
L"événement "un lot n"est pas échangé » se produit quand le nombre de cônes défectueux est infé-
rieur ou égal à 11, donc correspond àX?11.P(X?11)=11?
k=0P(X=k)On calcule les probabilités (arrondies à 10
-5) : kP(X=k)P(X?k)00,002460,00246
10,014780,01724
20,044460,06170
30,089100,15080
40,133850,28465
50,160780,44544
60,160860,60630
70,137880,74419
80,103360,84755
90,068840,91639
100,041240,95763
110,022450,98007
Donc la probabilité qu"un lot ne soit pas échangé est 0,980 aumillième.Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
PartieB
Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne parYla variable aléatoire qui, à chaque
cône, associe la masse (exprimée en grammes) de crème glacéequ"il contient. On suppose queYsuit une loi normaleN?110 ;σ2?, d"espéranceμ=110 et d"écart-typeσ.Une glace est considérée comme commercialisable lorsque lamasse de crème glacée qu"elle contient ap-
partient à l"intervalle[104; 116].On sait que la probabilité de l"événement " une glace est commercialisable » est 0,98, ce qui signifie que
P(104?Y?116)=0,98.
D"après le cours, on sait que, siYsuit la loi normale de paramètresμ=110 etσ, alors la loiZ=Y-110
σsuit
la loi normale centrée réduite (de moyenne 0 et d"écart type 1).104?Y?116?? -6?Y-110?6?? -6
σ?Y-110σ?6σdonc
P(104?Y?116)=0,98??P?
-6σ?Z?6σ?
=0,98 On peut représenter la situation par le graphique ci-dessous : -6σ6σ 98%1%1%
On peut en déduire queP?
Z?6σ?
=0,99. On peut le démontrer en utilisant un résultat connu du cours :P(-t?Z?t)=2P(Z?t)-1.On cherche donc la valeurttelle queP(Z?t)=0,99 sachant que la variable aléatoireZsuit la loi normale
centrée réduite; on trouve à la calculatricet≈2,326.On a donc :
6Une valeur approchée à 10
-1près du paramètreσtelle que la probabilité de l"événement "la glace est com- mercialisable» soit égale à 0,98 est 2,6.Vérification
Si Y suit la loi normale de paramètresμ=110etσ=2,6alors P(104?Y?116)≈0,979. Si on prendσ=2,5on trouve P(104?Y?116)≈0,984. Enfin en prenantσ=2,7on trouve P(104?Y?116)≈0,974.La valeur approchée à10-1près deσqui donne la probabilité la plus proche de 0,98 est2,6.
PartieC
Une étude réalisée en l"an 2000 a permis de montrer que le pourcentage de Français consommant réguliè-
rement des glaces était de 84%.L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% d"un pourcentagepdans une population de taille
nest : I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? On an=900 etp=0,84 donc l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuilde 95% du pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces en 2000 est : I=?0,84-1,96?
0,84×0,16?900; 0,84+1,96?
0,84×0,16?900?
≈[0,816; 0,864]Nouvelle-Calédonie217 novembre2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
En 2010, sur 900 personnes interrogées, 795 d"entre elles déclarent consommer des glaces, ce qui fait une
proportion def=795900≈0,883.
Orf??Idonc on ne peut pas affirmer, au niveau de confiance de 95%, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre2000 et 2010.Nouvelle-Calédonie317 novembre2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Exercice 25 points
Commun à tous lescandidats
1. Affirmation1 : vraie
Le point d"affixe (-1+i)10est situé sur l"axe imaginaire.Explication
z=(-1+i)10=?(-1+i)2?5; (-1+i)2=-2i doncz=(-2i)5=-32i5 i2=-1 donc i4=1 et donc i5=i; on en déduit quez=-32i qui est un imaginaire pur.
2. Affirmation2 : fausse
Dans l"ensemble des nombres complexes, l"équationz- z+2-4i=0 admet une solution unique.Explication
On écritzsous la formea+iboùaetbsont des réels et on résout l"équation (E) :z- z+2-4i=0 (E)??a+ib-( a+ib)+2-4i=0??a+ib-(a-ib)+2-4i=0 ??a+ib-a+ib+2-4i=0??2ib+2-4i=0??(2b-4)i=-2 ce qui est impossible.3. Affirmation3 : vraie
ln e7? +ln?e9?ln?e2?=eln2+ln3eln3-ln4Explication
ln? e7? =12ln?e7?=72; ln?e9?=9 et ln?e2?=2 doncln?e9?ln?e2?=92Donc ln
e7? +ln?e9?ln?e2?=72+92=162=8 ln2+ln3=ln(2×3)=ln6 donc eln2+ln3=eln6=6; ln3-ln4=ln34donc eln3-ln4=eln3
4=34 Donc eln2+ln3 eln3-ln4=634=6×4
3=84. Affirmation4 : vraie
?ln3 0e x ex+2dx=-ln?35?Explication
Soitula fonction définie surRparu(x)=ex+2; cette fonction est dérivable surRetu?(x)=ex. De plus cette fonction est strictement positive surR.Donc l"expression
ex ex+2est de la formeu?(x)u(x)qui a pour primitive ln(u(x)). La fonctionfdéfinie surRparf(x)=ex ex+2a pour primitive surRla fonctionFdéfinie parF(x)=ln(ex+2). Donc ln3 0e x ex+2dx=F(ln3)-F(0) 0e x ex+2dx=ln5-ln3=-(ln3-ln5)=-ln355. Affirmation5 : fausse
L"équation ln(x-1)-ln(x+2)=ln4 admet une solution unique dansR.Explication
L"expression ln(x-1)-ln(x+2) n"existe que six-1>0 etx+2>0 donc on va résoudre l"équation ln(x-1)-ln(x+2)=ln4 dans l"intervalleI=]1;+∞[.Nouvelle-Calédonie417 novembre2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
x-1-4x-8 x+2=0??-3x-9x+2=0??x=-3 etx?=-2 Mais-3??Idonc l"équation n"a pas de solution dansR.Exercice 35 points
Commun à tous lescandidats
L"espace est rapporté à un repère orthonormé?O,-→ı,-→?,-→k?
On donne les points A(1 ; 0 ;-1), B(1 ; 2 ; 3), C(-5 ; 5 ; 0) et D(11 ; 1 ;-2). Les points I et J sont les milieux
respectifs des segments[AB]et[CD]. Le point K est défini par--→BK=13--→BC.
1. a.Le point I est le milieu de[AB]donc a pour coordonnées?1+1
2;0+22;-1+32?
(1; 1; 1). Le point J est le milieu de[CD]donc a pour coordonnées?-5+112;5+12;0-22?
(3; 3;-1).Le point K est défini par
--→BK=13--→BC ; le vecteur--→BC a pour coordonnées (-5-1; 5-2; 0-3)=
(-6; 3;-3) donc--→BK=13--→BC a pour coordonnées (-2; 1;-1).
Donc ?xK-xB= -2
yK-yB=1
zK-zB= -1?????x
K= -2+1
y K=1+2 zK= -1+3?????x
K= -1 y K=3 z K=2Donc le point K a pour coordonnées (-1; 3; 2).
b.Les points I, J et K définissent un plan si et seulement si ces trois points ne sont pas alignés. On va
donc regarder si les vecteurs-→IJ et-→IK sont colinéaires. Le vecteur-→IJ a pour coordonnées (3-1; 3-1;-1-1)=(2; 2;-2). Le vecteur-→IK a pour coordonnées (-1-1; 3-1; 2-1)=(-2; 2; 1).Orx-→IJ×(-1)=x-→IKety-→IJ×(-1)?=y-→IK; donc les vecteurs-→IJ et-→IK ne sont pas colinéaires.
Les trois points I, J et K définissent un plan.c.Le vecteur-→nde coordonnées (3; 1; 4) est un vecteur normal au plan (IJK) siet seulement si il est
orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.-→n.-→IJ=3×2+1×2+4×(-2)=0=?-→n?-→IJ-→n.-→IK=3×(-2)+1×2+4×1=0=?-→n?-→IK?
donc -→nest un vecteur normal au plan (IJK). Le plan (IJK) est alors l"ensemble des points M tels que --→IM et-→nsoient orthogonaux.Si M a pour coordonnées (x;y;z), le vecteur--→IM a pour coordonnées (x-1;y-1;z-1).--→IM?-→n??--→IM.-→n=0??3(x-1)+1(y-1)+4(z-1)=0??3x+y+4z-8=0.
Le plan (IJK) a pour équation 3x+y+4z-8=0.
2.SoitPle plan d"équation 3x+y+4z-8=0.
a.La droite (BD) a pour vecteur directeur--→BD de coordonnées (11-1; 1-2;-2-3)=(10;-1;-5). donc elle a pour représentation paramétrique :???x=1+10t y=2-toùt?R z=3-5t b.Pour chercher si le planPet la droite (BD) sont sécants, on résout le système :Nouvelle-Calédonie517 novembre2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
?x=1+10t y=2-t z=3-5t y=2-t z=3-5t3(1+10t)+(2-t)+4(3-5t)-8=0
y=2-t z=3-5t y=2+1 z=3+5 y=3 z=8 t= -1 Donc la droite (BD) et le planPsont sécants en un point L de coordonnées (-9; 3; 8).c.Le vecteur--→BD a pour coordonnées (10;-1;-5), et le vecteur-→LB a pour coordonnées
(1-(-9); 2-3; 3-8)=(10;-1;-5). Les vecteurs--→BD et-→LB sont égaux donc le point L est le sy-
métrique du point D par rapport au point B.Exercice 45 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle[0 ;+∞[parf(x)=5-4 x+2.1.f?(x)=0-0(x+2)-4×1
(x+2)2=4(x+2)2>0 sur[0;+∞[. Donc la fonctionfest strictement croissante sur[0;+∞[.2.On résout dans[0;+∞[l"équationf(x)=x:
f(x)=x??5-4 -x2+3x+6 x+2=0?? -x2+3x+6=0 etx+2?=0 On résout-x2+3x+6=0;Δ=9-4×6×(-1)=33>0.Les solutions sont donc
-3-? 33-2=3+? 33
2et3-?
332.
Cette deuxième solution est négative donc l"unique solution de l"équationf(x)=xdans l"intervalle
[0;+∞[estα=3+? 332≈4,37.
3.On considère la suite(un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln,un+1=f(un).
u0,u1etu2; voir page 10.
On peut conjecturer que la suite
(un)est croissante et converge versα.4. a.SoitPnla propriété 0?un?un+1?α.
•Initialisation: pourn=0,un=u0=1 etun+1=u1=f(u0)=5-41+2=113; de plusα≈4,37.
On a 0?1?11
3?αce qui veut dire que la propriété est vraie au rang 0.
•Hérédité: on suppose que quel que soit l"entierp>0, 0?up?up+1?α. On sait d"après la question1.que la fonctionfest strictement croissante sur[0;+∞[; donc : f(0)=3?0,f?up?=up+1etf?up+1?=up+2. De plus,αest solution de l"équationf(x)=xdoncf(α)=α. On a donc 0?up+1?up+2?α; on peut dire que la propriété est vraie au rangp+1.• La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire; donc d"après le principe de récurrence
la propriété est vraie pour tout entier natureln.Nouvelle-Calédonie617 novembre2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
On a donc démontré que, pour tout entier natureln, 0?un?un+1?α. b.Pour toutn,un?un+1donc la suite(un)est croissante. Pour toutn,un?αdonc la suite(un)est majorée parα. Donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite(un)est convergente.5.Pour tout entier natureln, on définit la suite(Sn)parSn=n?
k=0u k=u0+u1+···+un. a.S0=u0=1;S1=u0+u1=1+113=143≈4,67
S2=u0+u1+u2=S1+u2;u2=f(u1)=f?11
3? =7317doncS2=143+7317=45751≈8,960 donc S2≈8,96.
b.On complète l"algorithme donné en annexe 2 pour qu"il affichela sommeSnpour la valeur de l"entierndemandée à l"utilisateur; voir page 11. c.On sait que la suite (un) est croissante donc, pour toutndeN,un?u0. Oru0=1, donc, pour toutn,un?1 et doncSn=u0+u1+...+un?n+1.Or lim
n→+∞n+1=+∞donc, d"après les théorèmes de comparaison sur les limites : lim n→+∞Sn=+∞Nouvelle-Calédonie717 novembre2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Exercice 45 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité On considère l"algorithme suivant, oùAetBsont des entiers naturels tels queAVariables:Dest un entier
Les variables d"entréesAetB
Traitement:Affecter àDla valeur deB-A
Tant queD>0
Bprend la valeur deA
Aprend la valeur deD
SiB>AAlors
Dprend la valeur deB-A
SinonDprend la valeur deA-B
Fin Si
Fin Tant que
Sortie :AfficherA
1.On entreA=12 etB=14. On remplit le tableau donné enannexe;voir page 12.
La valeur affichée par l"algorithme est 2.
2.Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombresAetB.
En entrantA=221 etB=331, l"algorithme affiche la valeur 1. a.On a fait tourner l"algorithme pourA=221 etB=331 donc le PGCD de 221 et 331 est 1; ces deux nombres sont donc premiers entre eux.D"après le théorème de Bézout, on peut dire qu"il existe des entiers relatifsxetytels que 221x-
331y=1 (équation (E)).
b.221×3-331×2=663-662=1 donc le couple (3 ; 2) est une solution de (E). (E) 221×x-331×y=1221×3-331×2=1
221(x-3)-331(y-2)=0 par soustraction
Donc 221(x-3)=331(y-2) et donc 221 divise 331(y-2). Or on sait que 221 et 331 sont premiers entre eux donc, d"après le théorème de Gauss, 221 divisey-2. On peut donc dire quey-2=221koùk?Zet donc quey=2+221k. De 221(x-3)=331(y-2) on déduit 221(x-3)=331×221kce qui équivaut àx-3=331k; donc x=3+331k. L"ensemble solution de l"équation (E) est??3+331k; 2+221k?? k?Z3.On considère les suites d"entiers naturels(un)et(vn)définies pour tout entier naturelnpar
u n=2+221net?v0=3 v n+1=vn+331 a.La suite (vn)est arithmétique de raisonr=331 et de premier termev0=3; donc, pour tout entier natureln,vn=v0+n×r=3+331n. b.up=vq??2+221p=3+331q??221p-331q=1 D"après les questions précédentes, on a : (p,q)=(3+331k, 2+221k)k?ZNouvelle-Calédonie817 novembre2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
0?p?500??0?3+331k?500=?k??0, 1?
0?q?500??0?2+221k?500=?k??0, 1, 2??
=?k??0, 1?Pourk=0, (p,q)=(3, 2) doncu3=v2=665.
Pourk=1, (p,q)=(334, 223) doncu334=v223=73816.
Nouvelle-Calédonie917 novembre2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Annexe 1 de l"exercice 4
réservéauxcandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité123456
1 2 3 4 5 6 7
OM0M1u
1M2u 2αNouvelle-Calédonie1017 novembre2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
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