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1PC CCP Physique 2017Proposition de corrigé

Ce corrigé à été rédigé conjointement par David Lasne et Jean Maysonnave. N"hésitez pas à nous signaler par mail (da-

vid.lasne@wanadoo.fr ou jmaysonnave@yahoo.fr) toute coquille ou erreur! Voici par ailleurs quelques imperfections repérées dans l"énoncé de cette épreuve :

Q9 :un traitement mathématique de cette question nécessitait l"expression du gradient en coordonnées cylindriques, non

donnée dans l"énoncé, bien que non exigible au programme.

Q10 :le formalisme de la question est un peu ambigu. La force notée¡!fv,visccorrespond au terme´¢¡!vmais ce n"est pas

explicité de manière claire dans l"énoncé. Ce choix de notation prête aussi un peu à confusion car elle pourrait être identifiée, à

tort, avec la force notée¡!fvolintroduite à la question 7.

Q14 et Q15 :la résolution se fait facilement en utilisant la notion de différenciation, qui n"est plus explicitement un outil

mathématique associé au programme, au moins en physique.

Q33 :il y a une petite incohérence dans l"énoncé : celui-ci fournit la valeur der0, sans doute pour simplifier et trouver plus

rapidementE0, mais on demande d"exprimerE0en fonction deh, ce qui signifie qu"il faut quand même faire le calcul complet...

On propose donc ici la version "courte" (sansh) puis la version complète.

Q34 :Question un peu floue : il est question de tableaux non présentés : en fournir un exemple aurait été préférable, ou alors ne

pas en parler... Quelle est l"évolution? Doit-on la trouver, ou simplement la justifier?... Est-il fait référence à l"effet d"écrantage?

Q39 :La notationRest déjà utilisée pour la constante de RYDBERGdans le même problème, même s"il y a peu de risque de

confusion.

1 / La circulation sanguine

I. Généralités

Q1.Le volume de sang mis en circulation chaque seconde est de 80 cm3, donc chaque minute un volume de 60£80AE4800 cm3

= 4.8 L, proche de 5 L, circule dans le corps d"un adulte.

Q2.La puissance mécanique de la partie droite, pour faire circuler le sang dans les poumons, estPdAE0.2 W d"après l"énoncé.

pour envoyer le sang dans le corps, ce qui correspond à une puissancePgAE1,3 W. La puissance totale est doncPtotAE1,48 W.

Si on divise par la masse du coeur (mAE0,3 kg), on obtient une puissance massique de 5 W.kg¡1, ce qui correspond à la valeur

indiquée.

Q3.Les 90 % d"énergie restants servent à alimenter le muscle, c"est à dire à maintenir/développer les tissus qui le constituent,

et à permettre leur fonctionnement. Une partie est également dissipée sous forme thermique, pour maintenir le corps à 37°C.

Q4.D"après le figure 2, on peut extraire la dépendance log(N)AE10Åp£log(a) avecpAE¡103.74, pente de la droite représentative

des données. Cette expression peut se réécrire logµNa

AE10. On obtient ainsi :

NAE1010a¡10/3.74Q5.Le débit volumiqueDvs"exprime selonDvAEvmoySartèredans l"artère aorte. AvecDvAE80.10¡6m3.s¡1etSartèreAE¼a2:

v moyAEDvS artèreAE80.10¡6¼£(5.10¡3)2AE1.0m.s¡1II. Loi de Poiseuille

Q6.L"introduction de pressions différentes enAetBest cohérent avec une bonne description de l"effet du coeur, qui en

imposant une différence de pression, met le sang en mouvement. Q7.

²½@¡!v@t: accélération volumique locale d"une particule de fluide. Elle traduit le changement de vitesse d"une particule de

fluide, dû au caractère non stationnaire de l"écoulement.

D.Lasne - J.Maysonnave2²½³¡!v.¡¡¡!grad´¡!v: accélération volumique convective d"une particule de fluide. Ce terme traduit la variation de vitesse de la

particule de fluide induite par une inhomogénéité spatiale du champ des vitesses. ¡¡¡!gradp: résultante volumique des forces de pressions exercées par le fluide. ²´¢¡!v: résultante volumique des forces de viscosité. ¡!fvol: autres forces volumiques (par exemple la contribution du poids). Q8.L"écoulement est considéré laminaire si le nombre de REYNOLDSReAELv½´ est inférieur à 1. Ici,LAEaAE5.10¡3m,v»1 m.s ¡1,½AE103kg.m¡3et´AE10¡3Pa.s, d"où :

ReAE5.10¡3£1£10310

¡3AE5.103ÈÈ1L"écoulement du sang ne peut pas être considéré comme laminaire (on considère en général qu"il fautRe.2000) dans l"artère

aorte. Il faut noter que ce résultat n"est pas du tout généralisable à l"ensemble du système sanguin, constitué de manière très

majoritaire de vaisseaux bien plus petits (tableau 1), pour lesquels le nombre de REYNOLDSest bien plus faible, ce qui peut

justifier la suite de l"étude. Q9.On peut se placer en coordonnées cylindriques (r,µ,x). On a :

¡!vne dépend pas det, donc@¡!v@tAE¡!0

v r@@rÅvµr

¡!vAEvx@¡!v@xAE¡!0

¡!fvolAE¡!0 car tout autre force que la résultante des forces de pression et de viscosité est négligée

Ainsi, l"équation de NAVIER-STOKESse réécrit de manière simplifiée selon :

gradpAE´¢¡!vRemarque : l"expression du gradient en cylindrique manque dans l"énoncé pour calculer le terme convectif. Cependant, l"énoncé

impose une forme d"écoulement particulière, en cisaillement :#v(M)AEv(r)#ex. C"est donc, de fait, un écoulement laminaire, pour

lequel le terme convectif peut être négligé (il est en fait même nul, ce qui est un peu contradictoire avec la valeur du nombre de

REYNOLDStrouvé...).

Q10.On a :

d

¡!FÅAE´dvdr

(rÅdr)§(rÅdr)¡!ex d

¡!F¡AE¡´dvdr

(r)§(r)¡!ex d"où (rÅdr)§(rÅdr)¡dvdr (r)§(r)¸¡!exAE´ddr dvdr (r)§(r)¸ dr¡!ex or§(r)AErdµdx, d"où :d¡!FviscAE´ddr dvdr (r)r¸ drdµdx¡!ex. Or le volume de la tranche de fluide prise entre les rayonsretrÅdr estd¿AErdµdrdx, d"où l"expression de la force volumique de viscosité : fv,viscAEd¡!Fviscd¿AE´r ddr rdvdr

¡!exQ11.La pression ne dépend pas de la variableµcar il y a une invariance par rotation autour de l"axe¡!ex, donc¡¡¡!gradpAE@p@x¡!ex.

En reprenant l"équation de la question Q8, on aboutit à : @p@x¡!exAE´¢¡!v soit d"après la question 10 : @p@x¡!exAE´r ddr rdvdr (r)¾¡!ex

Les termes respectivement à droite et à gauche de l"égalité ne dépendent pas de la même variable (xetrrespectivement). La

seule solution possible est que chacun de ces deux termes soit égal à une même constanteAce qui induit

dpdx

AEA(1)

´r ddr rdvdr

AEA(2)

3PC CCP Physique 2017D"après l"équation (1),Acorrespond au taux d"accroissement de la pression par unité de longueur et s"exprime donc d"après les

données selonAAEPB¡PAL . On en déduit avecP(xAE0)AEPAetP(xAEL)AEPB:

P(x)AEPAÅPB¡PAL

xL"équation (2) conduit quant à elle successivement à : ddr rdvdr

AEA´

r r dvdr

AEA2´r2ÅB

dvdr

AEA2´rÅBr

v(r)AEA4´r2ÅBln(r)ÅC

Bne peut être que nul sinonv(r) diverge quandr!0, ce qui est absurde. De plus, l"écoulement est visqueux, donc la composante

tangentielle du champ des vitesses s"annule sur les parois, soitv(rAEa)AE0 ce qui entraîneCAE¡A4´a2. Ainsi,v(r)AEA4´¡r2¡a2¢,

soit en reprenant l"expression deA: v(r)AEPA¡PB4´L³ a2¡r2´Q12.Le débit volumique s"exprime commeDvAEÎ section¡!v.d¡!S("section" désigne ici la section du vaisseau). On a¡!vAEv(r)¡!ex etd¡!SAErdµdr¡!ex, ainsi : D vAEZ a rAE0Z 2¼

µAE0v(r)rdµdr

AE2¼(PA¡PB)4´LZ

a rAE0¡a2r¡r3¢dr AE (PA¡PB)¼2´Lµ a 2a22

¡a44

soit D

vAE(PA¡PB)¼a48´LEn électrocinétique, la tensionUpour un conducteur ohmique vérifieUAEVA¡VBAERéleci, oùiest un débit de charge. Par

analogie on peut poser iciPA¡PBAERHDv, d"où : R

HAEPA¡PBD

vAE8´L¼a4Q13.La figure 3 permet de constater que le système sanguin correspond à une association de résistances hydrauliques en

série et en parallèle, et plus précisément à un système de (Naartères en parallèle, chacune de résistanceRa) mis en série avec

un système de (Ncartères en parallèle, chacune de résistanceRc). On a ainsiRtotAERaN aÅRcN

Soit :

R totAE8´¼ LaN ar4aÅLcN cr4c¾ce qui correspond bien à l"expression donnée dans l"énoncé.

III. Loi de Murray

Q14.On a tout d"abordV0AENaVaÅNcVcavecVa,Vc, volumes de tissu dû aux parois des artères et des capillaires respective-

ment.Vacorrespond donc au volume compris entre deux cylindres de même axe, de longueurLaet de rayons respectifsraet

r

aÅe. AinsiVa»2¼raeLaAE2¼®r2aLa(dans la mesure oùeÇÇra). De mêmeVc»2¼®r2cLc, soit :

V

0AE2¼®n

N aLar2aÅNcLcr2co

D.Lasne - J.Maysonnave4Différencions l"expression ci-dessus, soitdV0AE2¼®{2NaLaradraÅ2NcLcrcdrc}. On cherche un minimum deV0, qui se traduit

pardV0, de sorte que : dr cdr aAE¡NaLaN cLcr ar cQ15.Une minimisation de la résistance totale correspond de même àdRtotAE0 soit8´¼ LaN a(¡4)r 5adr aÅLcN c(¡4)r 5cdr c¾

AE0 d"où :

dr cdr aAE¡NcLaN aLcµ rcr 5 En utilisant maintenant le résultat obtenu à la question précédente, on aboutit à : N cN aAEµrar

3Q16.Cette question est très ouverte et nous proposons ici une possibilité, sans doute parmi d"autres interprétations possibles.

Pour plus de détails sur la question on peut se reporter àhttps://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2695432/

Ici, on trouve donc la dépendanceN/a¡3alors qu"on aN/a¡2.7d"après la question Q4. Le nombre de vaisseaux sanguins

réel semble plus élevé que celui attendu en théorie. Les hypothèses du modèle permettant d"aboutir au résultat de le question

Q15 pourraient donc être reconsidérés, par exemple : le rôle de la pesanteur a ét énégligé alors qu"elle a bien sûr un effet ;

la résistance a été calculée en considérant uniquement une géométrie cylindrique .Cette géométrie n"est pas rigou-

reusement représentative de la réalité, les vaisseaux se coudent, n"ont pas des sections uniformes... De même,®n"est

certainement pas uniforme dans tout le système. Pour les petits vaisseaux par exemple, la membrane pourra représenter

une plus grande proportion car on atteint la taille minimum des cellules qui la compose (typiquement, une cellule est de

l"ordre du micron);

le caractère non newtonien suppos édu sang dans les calculs menés aupara vantest sans doute discutable

comme ReÈÈ1, l"écoulement n"est sans doute pas un simple écoulement de cisaillement.

En particulier, on peut supposer assez raisonnablement qu"en raison de la géométrie réelle, la résistance totaleRHest plus

élevée que celle que nous proposons. Or nous avons vuRHAEPA¡PBD v. La différence de pressionPA¡PBest fixée par le coeur. Une

augmentation deRHse traduit donc par une diminution deDv. pour "compenser" cet effet, un nombre plus élevé de vaisseaux

permettrait de maintenir un débit en sang suffisant pour alimenter tous les tissus. IV. Le rôle de l"élasticité des vaisseaux

Q17.Si jamais le flux sanguin varie de manière brutale ou inattendue (caillot par exemple), l"élasticité des artères permet de

modifier la valeur du rayonaet ainsi de changer radicalement la valeur du débit volumique (dépendance ena4).

Q18.L"équation d"EULERest :

¡!v@tAE¡¡¡¡!gradP½

Å¡!fvol½

ici

¡!fvolAE¡!0 (pas de forces en dehors de la résultante des forces de pression) soit@¡!v@tAE¡¡¡¡!gradP½

ou encore :

0@v@tŘ½@v@tAE¡@˜P@x

De gauche à droite, les termes sont respectivement d"ordre 1, d"ordre 2 et d"ordre 1. D"où, en supprimant le terme d"ordre 2

(méthode similaire à l"approximation acoustique faite en cours pour les ondes sonores) :

0@v@tAE¡@˜P@xQ19.On a d"une partm(tÅdt)¡m(t)AE@m@tdt. Orm(x,t)AE½(x,t)A(x,t)dxdonc :

m(tÅdt)¡m(t)AE@(A½)@tdxdt

Par ailleurs :

5PC CCP Physique 2017En mettant les deux équations ci-dessus en commun :

@(A½)@tÅ@(A½v)@xAE0Q20.Remplissons dans l"équation˜Ppar˜PAE˜AA

0DetÂsparÂsAE1½

0˜

PAEA0D½

0˜

A. Ainsi :

DÅDA0½

0˜ @˜A/(A0D)@tAE¡@v@x 1A 0@

˜A@tÅ1½

0˜ A@

˜A@tAE¡@v@x

A@

˜A@tAE0

Et comme

˜PAE˜AA

0DAE˜½½

0Âs, on en déduit queA0˜½˜

A@

˜A@tAEA0£½0ÂsA

0D£A0D½

0Âs£@˜½@tAEA0@˜½@t. On a donc bien au final :

0A0@v@xŽ0@˜A@tÅA0@˜½@tAE0Q21.On a :

0@v@tAE¡@˜P@x(3)

DÅÂs¢@˜P@tAE¡@v@x(4)

Si on dérive par rapport à la variablexl"équation (1) @2˜P@x2AE½0@2v@x@t

AE½0@2v@t@x

AE½0@@tµ

AE½0@@tµ

Ainsi :

2˜P@t2¡1½

0(DÅÂs)@

2˜P@x2AE0C"est une équation deD"ALEMBERTavec une vitesse de propagationcAE1q

0¡DÅÂs¢. D"après le théorème deD"ALEMBERT,

la solution générale de cette équation peut s"écrire comme la somme de 2 Ondes Planes Progressives se propageant en sens

opposé

˜P(x,t)AEf(x¡ct)Åg(xÅct). D"après la théorie de FOURIER, on peut ensuite décomposer ces Ondes Planes Progressives

en une combinaison linéaire d"Ondes Planes Progressives Monochromatiques (OPPM) de la forme

˜P(x,t)AEP1cos(!t¡kxÅ').

Si le sang est considéré comme incompressible alorsÂsAE0 et on retrouvecAE1/p½

0D. On retrouve la valeur moyenne de la

vitesse obtenue en Q5.

V. Effet Doppler

Q22.Le gel permet de minimiser les réflexions non désirées de l"onde ultrasonore sur la peau.

Q23.La direction du vecteur d"onde est la direction suivant laquelle se propage l"onde ultrasonore. Comme l"équation de

propagation est l"équation deD"ALEMBERT, on a simplementkkkAE!c

AE2¼fc

AE1,7.104m¡1.

Q24.Dans le cas présent,¡!vEAE¡!0 et¡!uER.¡!vRc AE1c k.¡!vk AEvc cosµ, d"oùf0AE³

1¡vc

cosµ´ f.

Par ailleurs,f00AEf01¡¡!uER.¡!vRc

1¡¡!uER.¡!vEc

avec

¡!vRAE¡!0 et¡!vEAE¡!v. Soitf00AEf³

1¡vc

cosµ´0 B @11Åvc cosµ1 C

Ad"où :

D.Lasne - J.Maysonnave6f

1¡vc

cosµ´ (DL à l"ordre 1) d"oùf00»f³

1¡vc

cosµ´

2, soit en effectuant à nouveau un DL :

f

00»f³

1¡2vc

cosµ´Q26.On a¢fAEf00¡f»¡2vc cosµ. On obtient ainsi¢fAE4 kHz (pour l"aorte) et¢fAE4 Hz (pour le capillaire).

Un montage de "détection synchrone»peut être adapté pour mesurer cette différence. On multiplie le signal décalé en fréquence

par le signal fondamental, puis on utilise un filtrage passe-bas :Q27.Si l"objet s"éloigne, en raison de l"effet DOPPLER, la fréquence détectée va être abaissée et donc la longueur d"onde accrue.

En physique, on parlera alors spontanément d"un décalage vers le rouge (vers de plus grandes longueurs d"onde) alors que la

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