[PDF] La récurrence de lapproche au raisonnement

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Progressions verticales

La récurrence, de l'approche au raisonnement

Un aperç

U des programmes de lycée en première s

ContenusCapacités attenduesCommentaires

Suites

Modes de génération d'une suite

numérique. suites. en terminale s

À noter l"importance de proposer des situations autres que l"étude des suites. Le problème des diagonales

d"un polygone convexe s"avère alors intéressant pour proposer ce type de raisonnement dans un contexte

géométrique, tout comme il est intéressant de l"aborder au niveau collège.ContenusCapacités attenduesCommentaires

Suites

Notations et raisonnement mathématiques

Cette rubrique, consacrée à l"apprentissage des notations mathématiques et à la logique, ne doit pas faire l"objet

En complément des objectifs [...], l"on introduit le raisonnement par récurrence.en première sTI2d et sTl

ContenusCapacités attenduesCommentaires

Modes de génération d'une suite

numérique.de suites. en terminale sTI2d et sTl

On poursuit, en classe de terminale, l"apport d"outils permettant de traiter un plus grand nombre de problèmes

relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets...

Les programmes insistent bien sur une étude progressive du raisonnement par récurrence qui est nouveau au

lycée. En effet au collège et en classe de seconde, ce type de démarche n"est pas étudié. Cependant un certain

nombre de problèmes permettent de ramener à l"étude de suites numériques dont on détermine les premiers

termes et dont on peut éventuellement conjecturer le terme général.QUaTre exemples poUr débUTer aU collège eT fInIr aU

lycéela légende de l'échiquier

La légende de l'échiquier où l'approche d'une suite géométrique construite terme à terme

Liens de l"activité sur le site mathématique de l"académie de Lille doc_central/36.legendeechiquier.xls 3 mathématiques en classe de terminale Document proposé aux élèves de quatrième

Voici une petite histoire, qui s'est déroulée en Égypte il y a longtemps et qui est aujourd'hui devenue une légende

Il y a bien longtemps vécut en Égypte un pharaon. Il se mourrait d'ennui au fond de sa pyramide.

En désespoir de cause, il envoya aux quatre coins du royaume et jusque dans les plus petits villages, des

récompense. À quelque temps de là, un ambassadeur persan se présentait au pharaon. Dans un coffret, il

apportait un jeu capable de divertir le pharaon. À peine celui-ci eut-il commencé à jouer aux échecs, car tel était

ce que ce dernier voudrait lui demander en guise de récompense.

À la grande surprise des courtisans qui le prirent pour un sot, l'ambassadeur persan lui demanda modestement

que l'on veuille bien lui accorder un grain de blé sur la première case de l'échiquier, deux grains sur la deuxième

case, quatre sur la troisième case et ainsi de suite en doublant le nombre de grains à chaque fois jusqu'à la

récompense "modeste". Il ordonna donc au Grand Trésorier de réunir cette quantité de blé.

Nous allons tenter, à l'aide des mathématiques, de savoir si le persan a été trop modeste ou si le pharaon aurait

dû faire un peu plus de mathématiques.

Visualisation du nombre de grains de blé sur chaque case de l'échiquier à l'aide d'un tableur

On appelle échiquier le terrain du jeu d'échecs. En voici un représenté ci-dessous 8 7 6 5 4 3 2 1 abcdefgh L'échiquier est un carré comportant huit colonnes et huit rangées.

Chaque colonne est repérée par une lettre

: a, b, c, d, e, f, g ou h.

Chaque rangée est repérée par un nombre

: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8. Chaque case de l'échiquier est l'intersection d'une colonne et d'une rangée.

Étant donné les similitudes qu'il existe entre les cases d'un échiquier et les cellules d'un tableur, nous allons

chaque case de l'échiquier. Combien de grains de blé y a-t-il sur l'échiquier 2 3

Progressions verticales

Un prolongement possible

1. Sachant qu"en moyenne 100 grains de blé pèsent 10 g, calculer approximativement la masse de blé que

devrait recevoir l"ambassadeur persan. On donnera la réponse en grammes, en kilogrammes puis en tonnes.

2. Sachant qu"en moyenne le volume de 100 grains de blé est d"environ 5 cm

3 , calculer la hauteur de blé

obtenue si on répartissait tous les grains uniformément sur la surface de la France qui compte 550

000 km 2

Que peut-on penser de la promesse du roi

les diagonales d'un polygone

Cet exercice classique, de niveau collège, permet de travailler le calcul littéral et de conjecturer un résultat

général. Les élèves conjecturent rapidement le lien logique entre

Dn etDn17, où Dn est le nombre de diagonales

d"un polygone à n côtés avec n31, première approche possible du raisonnement par récurrence. Néanmoins trouver l"expression générale de la suite se fait d"un point de vue purement logique : on a n sommets, chacun n-1 sommets. On enlève les deux sommets voisins, il en reste donc n-3. Or chaque diagonale est comptée deux fois, on divise alors par 2, d"où Dnn n

Nombre de sommetsNombres de diagonales

1 2 42
355
469
57
6 7 n-1k 8n

Compléter la case B5. Quelle formule utiliser

Quelle formule entrer en B8

Si k est le nombre de diagonales d"un polygone, quel est le nombre de sommets d"un polynôme ayant un côté de

plus 2 54
mathématiques en classe de terminale les lapins de fibonacci

1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 - 144

XIII e siècle décrit la croissance d'une population de lapins, dans un problème récréatif posé, dans un de ses ouvrages, le

Liber abaci :

Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-

on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son

existence

» (Wikipedia)

Le raisonnement par récurrence est ici bien plus complexe, en effet chaque terme s'exprime en fonction des

deux précédents (et donc des précédents), on obtient alors ce qu'on appelle une récurrence forte.

nombre de couples de lapins à l'issue d'un nombre donné de mois, sans pour autant obtenir de terme général

de cette suite. Au lycée, la programmation, notamment l'algorithmique, s'avère particulièrement redoutable

pour déterminer en un temps record un terme souhaité. La mise en place d'une démarche détaillée permet de

produire une formule générale et de se passer ainsi de ces différents outils. inductif, ni déductif. D'autres problèmes tout aussi intéressants, extraits du document d'accompagnement "

Mathématiques cycle

terminal de la série littéraire » de 2006 peuvent faire l'objet d'une étude verticale du collège au lycée : 5

Progressions verticales

Empilement de triangles équilatéraux

Une rangée

Deux rangées

Trois rangées

n Points sur un cercle et nombre maximal de régions délimitées dan s le disque

Deux régions

Quatre régions

Huit régions

les nombres triangulaires

Cette activité qui, au-delà de sa dimension historique, s"intègre parfaitement dans les programmes du lycée,

sous la forme ouverte proposée ci-dessous.

Les pythagoriciens, au

VI e

siècle avant notre ère, ont étudié les nombres triangulaires. Ils les représentent par

des dessins. Voici les quatre premiers notés T1, T2, T3, T4, et ainsi de suite...

T1=1T2=3

T3=6 T4=10 76
mathématiques en classe de terminale

Exprimer le nombre triangulaire de rang n +

1 en fonction de celui qui le précède.

Le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) a proposé une conjecture :

Le nombre triangulaire de rang

n est T n n (n + 1)/2

Valider ou récuser cette conjecture.

acTIvITés proposées a ctivité 1 : Un problème d'investigation

Conception

Cette activité, qui s'intègre dans une progression verticale de la mise en place du raisonnement par récurrence,

a été menée avec une classe de terminale S, sur une séance de deux heures. Elle a permis de travailler sur les

différents champs, analyse et probabilités.

Elle est présentée comme un problème ouvert, dont l'énoncé est très court et compréhensible par tous. Les

élèves se sont engagés dans des démarches de résolution différentes. La première partie a été ainsi l'occasion

de réactiver quelques notions sur les suites arithmétiques et sur les fonctions polynômes du second degré, par

une approche graphique de résolution. La première problématique a été rapidement résolue.

Le professeur s'est lancé dans une deuxième partie, plus complexe, développant ainsi la formation des élèves

sur les suites récurrentes.

Calculatrice, tableur et calcul formel ont été fortement sollicités pour aboutir à la solution de la seconde

problématique.

La production écrite des démarches de résolution proposées par les élèves s'est faite avec l'aide du TBI.

Aucune trace écrite n'étant présente sur le cahier de l'élève, le professeur a demandé, pour après les vacances

scolaires, un compte rendu des recherches et des solutions trouvées.

Objectifs

-Mettre les élèves en situation de chercheurs.

-Motiver les élèves en leur proposant de résoudre un problème dans une situation qu'ils s'approprient.

-Donner l'envie d'apprendre. -Développer l'autonomie, la prise d'initiative et le raisonnement. -Développer l'aspect critique. -Apprendre dans un contexte d'interaction. -Développer des capacités et/ou des attitudes. -Construire des connaissances, des conceptions et représentations. 7

Progressions verticales

6

Se trouve, sur l'espace en ligne associé, l'exposé des élèves sous forme de diapositives, le "

scrapbook » du TBI.

Énoncé 1

Le professeur de mathématiques décide de faire des binômes pour son prochain DM avec les 32 élèves de TS3.

Déroulement

Le professeur projette l'énoncé 1 du problème au TBI.

élèves tentent des formules, par exemple 2

n démarche de l'essai. -Lever la main pour exposer son idée. -Écouter les propositions des camarades pour porter un regard critique.

-Ne pas hésiter à poser des questions de compréhension, à faire répéter le camarade s'il le faut.

partie commentées.

La copie d'écran ci-dessous montre la première diapositive grâce à laquelle on a une première idée de résolution.

écran 1

Ici l'élève tente de répondre à la problématique avec un nombre raisonnable d'élèves lui permettant de

compter les binômes possibles. L'élève poursuit sa démarche à l'aide d'un tableau à double entrée. Il explique

clairement pourquoi il raye la diagonale avant de mettre des 0 dans la partie inférieure, les binômes ayant déjà

9 mathématiques en classe de terminale

écran 2

Un deuxième élève propose d'utiliser la proportionnalité comme solution au problème. Immédiatement un de

ses camarades intervient en expliquant que ce n'est pas possible compte tenu du caractère exponentiel (Chapitre

1 de la progression, page 24) du nombre de binômes suivant le nombre d'élèves. Effectivement, plus il y aura

non 2, ce qui prouve qu'il n'y a pas situation de proportionnalité.

écran 3écran 4

suivante

écran 5écran 6

9

Progressions verticales

Il termine son raisonnement en donnant la formule permettant de déterminer le nombre de binômes possibles

dans le cas d'un nombre pair d'élèves.

écran 7

Le professeur demande si la parité du nombre d'élèves est déterminante pour le nombre de binômes possibles.

On remarquera que dans le cas où n est impair, un élève fera son devoir seul mais cela ne changera pas le

nombre de binômes possibles.

sa réponse en expliquant que le premier élève peut choisir un camarade parmi les 5 élèves et que par la suite le

deuxième élève n'a plus que 4 solutions possibles pour faire un binôme. Un élève lui fait remarquer que c'est la

cf. écran 2).

Le professeur rebondit sur cette idée en rappelant la formule vue en première pour faire la somme des termes

consécutifs d'une suite arithmétique.

écran 8écran 9

Ce travail d'exploration s'est déroulé en 45 minutes.

Énoncé 2

Un élève change de classe pour intégrer la TS3.

Le professeur de mathématiques décide donc de faire des trinômes pour son prochain DM avec le nouvel effectif

de TS3.

Déroulement

Un des élèves remarque que l'on ne peut plus faire un tableau à double entrée et propose de faire un cube.

11 mathématiques en classe de terminale 10 Voilà ce que propose l'élève aux commandes du TBI

écran 10

À ce moment de l'activité une aide orale du professeur est nécessaire pour poursuivre les démarches

d'investigation. le nombre de trinômes possibles pour 3n élèves.

Sans plus d'informations, les élèves proposent de commencer les recherches, pour des petites valeurs de

n.

Tn1 un trinôme possible pour élèves.

1T=+ Nombre de trinômes possibles pour 6 élèves. Un des élèves propose la formule suivante T

nn remarquer un des élèves en remplaçant n par 2 qui donne

T2=0 .

Le professeur propose de déterminer une relation de récurrence. Le professeur demande à ses élèves de déterminer par exemple

T en fonction de T=.

écran 11

11

Progressions verticales

Le professeur fait remarquer que TTx17. Il reste donc aux élèves à déterminer la valeur de x.

Un des élèves fait remarquer qu'avec les 15 binômes du groupe bleu, on peut faire 15 trinômes avec chacun des

3 élèves rajoutés.

Donc, il conclut que

TT7==?.

T$n à T$, un des élèves propose d'utiliser la formule trouvée dans la première partie de l'activité. TT nn $$n? ^h vite en obtenant les résultats suivants

Un des élèves fait remarquer que les valeurs observées ne correspondaient pas à la réalité.

élaborant plusieurs arbres comme indiqués ci-dessus.

remarquer que l'on a associé tous les binômes du groupe bleu avec les 3 élèves ajoutés mais qui a été oublié le

cas contraire, c'est-à-dire associer un des binômes parmi les élèves ajoutés à un élève du groupe bleu.

TTnnTnnn3

2 3133
2 2792
3 $$$n ^h. 13 mathématiques en classe de terminale 12 L'activité s'est terminée sur les résultats ci-dessus.

La séance se termine, évaluant à 5

456 trinômes possibles pour les 33 élèves de TS3.

Le professeur prévoit pour sa prochaine séance de conjecturer l'expression de la fonctio telle que

Tfnn1=7

1+ en demandant la courbe de tendance du nuage de points ;nTn17 1+. représentative de la fonction f.

Conclusion

En limitant ses interventions à des encouragements, mais en aucun cas en intervenant sur la validité d'une

procédure ou sur le fait que la piste suivie est bonne ou mauvaise, le professeur a pu mettre les élèves sur la

voie de la démarche d'investigation : -phase de recherche individuelle, phase de recherche collective. -formulation de conjectures. -échange argumenté autour des propositions élaborées. -acquisition ou structuration des connaissances. -mobilisation des connaissances (automatisation de certaines procédures, réinvestissement...).

L'effervescence des propositions de démarche de résolution dans cette activité est assez remarquable et

étonnante.

13

Progressions verticales

activité 2 : suite récurrente

Conception

L"activité a été menée dans une classe de terminale S en début d"année scolaire. Le raisonnement par récurrence

étant un point fort dans la résolution de problèmes en classe de terminale S, il convient de l"introduire dès le

début d"année.

Objectifs

-Conjecturer une formule à partir d"un graphique. -Introduire le raisonnement par récurrence.

Prérequis

-Calculer les termes d"une suite, les représenter graphiquement. -Savoir utiliser un tableur ou la calculatrice pour générer les termes de la suite. -Savoir écrire un algorithme pour générer les termes de la suite.

Organisation

La séance a duré deux heures en groupe dans une salle pupitre, les élèves ont travaillé seuls ou par deux.

Compétences développées chez les élèves

Rôle du professeur

Le professeur alterne, de manière harmonieuse, des temps de recherche individuelle et des phases de synthèse

collective. Les élèves travaillent en autonomie, le professeur les conseille et les aide à analyser leurs erreurs.

Les élèves confrontent ensuite leurs conceptions individuelles, l"enseignant favorisant les échanges et la libre

expression de tous.

Énoncé partie 1

: conjecture

Rapport IGEN

On considère la suite récurrente (u

n ) de premier terme u 0

0, telle que, pour tout entier

n, uunn111+.

Le but de l"exercice est d"exprimer

u n en fonction de n.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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