[PDF] Petit formulaire de trigonométrie

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Petit formulaire de trigonom´etrie

L1 MIASHS - Analyse 1

19 novembre 2014

Sans forc´ement les connaˆıtre par coeur, vous devez ˆetre capable de reconstituer les formules

usuelles de la trigonom´etrie en quelques minutes. Commen¸cons par la c´el`ebre cons´equence du th´eor`eme dePythagore : pour toutθ?R, cos

2θ+ sin2θ= 1.

1 Propri´et´es li´ees au cercle trigonom´etrique

1.1 Sym´etries, parit´e

Parit´eR´eflexion d"axeθ=π/2R´eflexion d"axeθ=π/4 sin(-θ) =-sinθsin(π-θ) = sinθsin(π2-θ) = cosθ cos(-θ) = cosθcos(π-θ) =-cosθcos(π2-θ) = sinθ tan(-θ) =-tanθtan(π-θ) =-tanθtan(π2-θ) = (tanθ)-1

1.2 P´eriodicit´e, d´ecalages

D´ecalage deπ/2D´ecalage deπD´ecalage de 2π sin(θ+π2) = cosθsin(θ+π) =-sinθsin(θ+ 2π) = sinθ cos(θ+π2) =-sinθcos(θ+π) =-cosθcos(θ+ 2π) = cosθ tan(θ+π2) =-(tanθ)-1tan(θ+π) = tanθtan(θ+ 2π) = tanθ Les fonctions sinus et cosinus sont p´eriodiques, de p´eriode 2π. La fonction tangente est p´eriodique, de p´eriodeπ. 1.3

´Equations trigonom´etriques

On a les ´equivalences suivantes :

cosx= cosθ?x=θ+ 2kπoux=-θ+ 2kπ(aveck?Z) sinx= sinθ?x=θ+ 2kπoux=π-θ+ 2kπ(aveck?Z) tanx= tanθ?x=θ+kπ(aveck?Z) 1

2 Formules d"addition et de diff´erence

Rappelons lesformules d"addition :

cos(a+b) = cosacosb-sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa cos(a-b) = cosacosb+ sinasinb sin(a-b) = sinacosb-sinbcosa Ces formules d´ecrivent ce qui se passe quand on compose les rotations du plan. Le meilleur moyen pour les retrouver est d"utiliser l"´ecriture exponentielle des nombres complexes.

On en d´eduit lesformules de l"angle double :

cos(2x) = cos2(x)-sin2(x) = 2cos2(x)-1 = 1-2sin2(x) sin(2x) = 2sin(x)cos(x) Autre cons´equence : pouraetbdansR\π2+πZ, nous avons : tan(a+b) =tana+ tanb

1-tanatanb

tan(a-b) =tana-tanb

1 + tanatanb

tan(2a) =2tana

1-tan2a

Enfin, lesformules de Simpsonpermettent de transformer des sommes en produits : cosp+ cosq= 2cosp+q

2cosp-q2

cosp-cosq=-2sinp+q

2sinp-q2

sinp+ sinq= 2sinp+q

2cosp-q2

sinp-sinq= 2cosp+q

2sinp-q2

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