Intégrales de fonctions de plusieurs variables
On peut voir T comme l'intersection de trois demi-plans : pour chacun des trois côtés Le volume de ce cylindre est égal `a Aire de la base ×.
Léonard de Vinci et le tracé des formes elliptiques
observations représente la projection géométrique sur un plan horizontal d'un cercle l'ellipse : Df4 à savoir l'intersection d'un cylindre par un plan ...
TRIGONOMÉTRIE
Dans le plan muni d'un repère orthonormé O ; i.. ; j.. ( )et orienté dans le sens direct le cercle trigonométrique est.
PHQ114: Mecanique I
30 mai 2018 Cette masse est libre de se déplacer sans frottement sur un plan (le plan ... L'intersection de cette droite avec le cylindre est le point ...
Sommaire Figures 1. Cylindres
Cylindres cônes
Sommaire Figures 1. Cylindres
L'intersection de la surface avec un plan perpendiculaire à la direction. ?? u est une section droite du cylindre. On peut voir sur figure 1
Problèmes de géométrie et de trigonométrie rectiligne et sphérique
d'intersection par une droite qui coupera la droite donnée en son milieu. Sur le terrain
Math2 – Chapitre 5 Circulation et flux
Une courbe est plane si elle est contenue dans un plan. ‚ Elle est orientée et notée C`
SOMMAIRE Introduction ..........................................................
vue d'ensemble des difficultés pour enseigner la trigonométrie au lycée notamment comment L'intersection de ce plan P avec le cylindre d'équation x2.
LEÇONS À LORAL DU CAPES DE MATHÉMATIQUES
9 Trigonométrie. Applications. 103. 10 Géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace 20 Problèmes d'alignement de parallélisme
1. Cylindres1
1.1. Cylindre, génératrice et directrice
. . . . 11.2. Équation générale d"un cylindre
. . . . . 21.3. Plan tangent le long d"une génératrice
. 31.4. Cyl. de direction et directrice données
. . 31.5. Recherche du contour apparent
. . . . . 51.6. Équation d"un cylindre circonscrit
. . . . 52. Cônes6
2.1. Cône
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Équation polynomiale d"un cône
. . . . . 62.3. Plan tangent le long d"une génératrice
. 72.4. Cône de sommet et directrice donnés
. . 72.5. Recherche du contour apparent
. . . . . 92.6. Cône circonscrit à une surface
. . . . . . 103. Surfaces de Révolution10
3.1. Surface de révolution d"axe. . . . . . .10
3.2. Équation cartésienne
. . . . . . . . . . . 103.3. Rotation d"une demi-méridienne /Oz. .11
3.4. Rotation deautour de. . . . . . . . .114. Cylindres et cônes de révolution13
4.1. Cylindre de révolution
. . . . . . . . . . . 134.2. Cône de révolution
. . . . . . . . . . . . . 135. Quadriques14
5.1. Quadriques propres ou dégénérées
. . . 145.2. Intersection avec un plan
. . . . . . . . . 145.3. Quadriques de révolution
. . . . . . . . . 145.4. Équations réduites
. . . . . . . . . . . . . 155.5. L"Ellipsoïde(E). . . . . . . . . . . . . . .15
5.6. Le paraboloïde elliptique(PE). . . . . .16
5.7. Le paraboloïde hyperbolique(PH). . . .17
5.8. L"hyperboloïde à une nappe(H1). . . . .17
5.9. L"hyperboloïde à 2 nappes(H2). . . . .18
6. Identification d"une quadrique19
6.1. Réduction de la forme quadratique
. . . 196.2. Transformation de la forme linéaire
. . . 206.3. Réduction finale
. . . . . . . . . . . . . . 216.4. Exemple
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.5. Classification selon les valeurs propres
. 226.6. Identification géométrique
. . . . . . . . 22Figures1 Exemples de cylindres
. . . . . . . . . . . 22 Cylindre : direction et directrice
. . . . . . 33 Contour apparent dans une direction
. . 54 Exemples de cônes
. . . . . . . . . . . . . 65 Cône : sommet et directrice
. . . . . . . . 86 Contour apparent depuis un point
. . . . 97 Surface de révolution
. . . . . . . . . . . . 128 Ellipsoïde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Paraboloïde Elliptique
. . . . . . . . . . . 1610 Paraboloïde Hyperbolique
. . . . . . . . . 1711 Droites sur un Paraboloïde Hyperbolique18
12 Hyperboloïde à 1 nappe
. . . . . . . . . . 1913 Droites sur un Hyperboloïde à 1 nappe
. . 2014 Hyperboloïde à 2 nappes
. . . . . . . . . . 21Ce chapitre étudie quelques surfaces particulières : les cylindres et cônes qui sont formés de droites,
les surfaces de révolution et les quadriques. Enfin, on traitera à part les cylindres et cônes de révolu-
tion. Dans tout le chapitre,3sera muni d"un repère orthonormalO;!{ ;!| ;!k
1. Cylindres
1.1. Cylindre, génératrice et directriceDéfinition :
Uncylindre de direction!uest une surface formée d"une famille de droites de direction!u. Ces droites sont lesgénératricesdu cylindre. Une courbe qui rencontre toutes les génératrices est unedirectrice.L"intersection de la surface avec un plan perpendiculaire à la direction!u, est unesection droitedu
cylindre.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
16-2Cylindres, cônes, surfaces de révolution et quadriques
Figure 1 -Exemples de cylindresOn peut voir sur figure1 , ci-dessous, deux exemples de cylindres, au sens mathématique du terme!
Un cylindre n"est pas, en général, un cylindre de révolution! Définition :SiSest une surface, l"ensemble des points M deStels que la direction du plan tangent àSen M contient!uest lecontour apparentdeSdans la direction!u. Le cylindre de direction!uet de directrice ce contour apparent est lecylindre circonscritàSdans la direction!u.1.2. Équation générale d"un cylindre Théorème :Sest un cylindre de direction!k,Sa une équation de la forme : F(x;y) = 0.C"est aussi, dans le planxOy, l"équation de la section droite deS.La courbe d"équation F(x;y) = 0 dans le planxOyest la section droite du cylindre d"équa-
tion F(x;y) = 0 dans l"espace. Ainsi,l"interprétationd"une équation incomplète (enx, ouyouz) est celle, dans le plan considéré, d"une courbe ou, dans l"espace, d"une surface... De même, s"il manqueydans l"équation, on a un cylindre de direction!|. Démonstration :On admet queSa une équation de la forme H(x;y;z)= 0.Mais, si M
0:0BBBBBBBBBB@x
0 y 0 z 01CCCCCCCCCCAappartient àS, la droite
M 0;!k est tracée surSet donc :8z2;H(x0;y0;z)= 0Ce qui prouve qu"en fait, H ne dépend pas dez. On peut donc écrire : H(x;y;z)= F(x;y)Théorème :Sest un cylindre de direction!u,Sa une équation de la forme :
F(P1;P2) = 0
avec P1(x;y;z)=k1et P2(x;y;z)=k2, l"équation de deux plans.
Et enfin, P
1\P2donne la direction!u.
Démonstration :Un changement de repère orthonormal où!K==!u, fournit F(X;Y)= 0, et en revenantCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Cylindres, cônes, surfaces de révolution et quadriques16-3dans le repère d"origine, F(P1;P2) = 0.1.3. Plan tangent le long d"une génératrice
Théorème :Le plan tangent à un cylindre le long d"un génératrice est invariant.Démonstration :Quitte à changer de repère, on peut travailler avec F(x;y) = 0. Le plan tangent le
long de la génératrice (x0;y0;)est d"équation : xx0)Fx (x0;y0)+(yy0)Fy (x0;y0)= 0qui clairement ne contient pas.1.4. Équation d"un cylindre de direction et de directrice données
On va chercher l"équation d"un cylindrede direction!uet de directricedonnés.F aireune figure symbolique, comme la figure
2 , ci-dessous.Figure 2 -Cylindre : direction et directrice•P artird"un poin tquelconquedu cylindrecherché M :0
BBBBBBBBBB@X
Y Z1CCCCCCCCCCA
Écrire que la droite, décrite en par amétrique,M;!urencontre:92;M +!u2
Pour cela, on a, en pratique, deux cas selon queest donnée en paramétriques ou par intersection
de surfaces.Siest définie en paramétriques.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
16-4Cylindres, cônes, surfaces de révolution et quadriquesOn a
!u:0BBBBBBBBBB@
1CCCCCCCCCCA, et:8
>>>>><>>>>>:x (t) y (t) z (t)t2I M : 0BBBBBBBBBB@X
Y Z1CCCCCCCCCCA2,8
>><>>:92 9t2I8 >>>>><>>>>>:x (t)= X + y (t)= Y + z (t)= Z +On a directement une représentation deen nappe paramétrée. Pour obtenir une équation car-
tésienne, on élimineettentre ces deux équations, on obtient l"équation d"un cylindre0qui contient le cylindre cherché.Siest définie par intersection de surfaces.
On a !u:0BBBBBBBBBB@
1CCCCCCCCCCA, et:8
>><>>:F (x;y;z)= 0 G (x;y;z)= 0 M : 0BBBBBBBBBB@X
Y Z1CCCCCCCCCCA2, 92;8
>><>>:F (X +;Y +;Z + )= 0 G (X +;Y +;Z + )= 0 On élimine le paramètre, on obtient l"équation d"un cylindre0qui contientle cylindre cherché.Dans le cas oùest définie en paramétriques:8 >>>>><>>>>>:x (t) y (t) z (t)t2I, on peut aussi paramétrer la droite de direction !u:0BBBBBBBBBB@
1CCCCCCCCCCApassant par un point de, on obtient :
M : 0BBBBBBBBBB@X
Y Z1CCCCCCCCCCA2,8
>><>>:92 9t2I8 >>>>><>>>>>:X =x(t)+Y =y(t)+
Z =z(t)+
Par rapport à la méthode précédente, cela revient à changeret. On a encore directement
une représentation en nappe paramétrée. Exemple :On cherche une équation cartésienne du cylindrede direction!u:0BBBBBBBBBB@1
1 01CCCCCCCCCCAet de directrice
définie part2:8 >>>>><>>>>>:x= cost y= sint z=t.On a donc M :
0BBBBBBBBBB@X
Y Z1CCCCCCCCCCA2, 9;t2:8
>>>>><>>>>>:cost= X + sint= Y + t= Z.On élimine facilementt, ce qui donne8
>><>>:cos Z = X +sin Z = Y +.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr
Cylindres, cônes, surfaces de révolution et quadriques16-5Tout aussi facilement, on élimine, et on obtient enfin : cos Zsin Z = XY qui est l"équation d"un
quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] La trigonométrie exo
[PDF] la trisomie 21 ou le mongolisme
[PDF] la tristesse du roi matisse cycle 3
[PDF] la tristesse du roi matisse histoire des arts
[PDF] La troisième personne du pluriel
[PDF] La trompette du jugement dernier
[PDF] La troncature au millimetre d'un nombre
[PDF] LA TRONCATURE ECT
[PDF] la trousse de Leïla
[PDF] La trouver tension electrique
[PDF] la truie de falaise
[PDF] La tuberculose
[PDF] la tuberculose au maroc
[PDF] La Tuberculose au XXème siècle