[PDF] Math2 – Chapitre 5 Circulation et flux

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Math2 { Chapitre 5

Circulation et

ux 5.1 {

Courb es

5.2 {

Circulation

5.3 {

Surfaces

5.4 {

Flux, Stok eset Gau ss

5.1 { Courbes

Dans cette section:

Courbes donnees par deux equations

Courbes parametrees

Element de ligne

Courbes

Idee {Unecourbeest une gure geometriqueCdedimension intrinsequeegale a 1, comme une droite, une parabole, un cercle, ou l'union d'arcs de ce type: Une courbe estplanesi elle est contenue dans un plan. Elle estorientee, et noteeC, si on xe un sens de parcour (il y en a toujours deux).

Dans ce cas, on noteCla

courbe orientee dans le sens oppose.C C Elle estfermeesi en la parcourant en revient au point de depart, comme sur un cercle.

Courbes donnees par des equations

Denition {Comme sous-ensemble deR3, unecourbeest

l'union d'ensembles donnes par deux equations: C! xPR3Fp~xq 0 etGp~xq 0, plus restrictions sur~x) ouF;G:R3ÝÑRsont deux fonctions reelles et les \restrictions" sont des inegalitesdans les coordonnees.

Exemple {

En coordonnees cartesiennes, les equations

xy0 etx2z0; avec la restrictionxP r0;1s, decrivent un arc de la parabolezx2sur le planyx.yz x En coordonnees cylindriques, le m^eme arc de parabole est decrit par22z0 et'{40 avecP r0;1s.

Courbes parametrees

Denition {Unecourbe parametreeest une courbe pour

laquelle on donne aussi lafacon de la parcouriren fonction d'un parametret(qui represente letempsen physique): C! ptq ~xptqtP rt0;t1s €R) ou :rt0;t1s ÑR3est une fonction vectorielle derivable qui s'appelleparametrisationet denote souvent la courbe m^eme.L'orientationde est donne par le sens croissant det.

La courbe estfermeesi

pt0q pt1q.Parametrisation des coordonnees { cartesiennes: ptq pxptq;yptq;zptqq cylindriques: ptq ptq~eptq zptq~k spheriques: ptq rptq~erptq

Exemple: parametrisation d'une courbe

Exemple {L'arc de parabole

peut ^etre parametre comme suit:yz x

En coordonnees cartesiennes, on azx2,yx, et

xP r0;1s, alors on peut choisir xptq t;yptq t;zptq t2;avectP r0;1s et on obtient ptq pt;t;t2q, avectP r0;1s.

En coordonnees cylindriques, on a22z,'{4, et

P r0;1s, alors on peut choisir:

ptq t'ptq {4;zptq t2{2;avectP r0;1s et on obtient ptq t~eptq t2{2~k, avectP r0;1s.

Vitesse et acceleration

Denition {Pour une courbe parametree

ptq ~xptqon appelle: vitesse, le vecteur9 ptq ddt ~xptq, acceleration, le vecteur: ptq d2dt

2~xptq.

Lemme {Les vecteurs~,~ et~k sont constants, par contre:

9~e9'~e'

9~e' 9'~e$

%9 ~er9'~e'9~e

9~e' 9'sin~er9'cos~e

9~e 9~er9'cos~e'Parametrisation de la vitesse en coordonnees {

cartesiennes:9 ptq 9xptq~9yptq~9zptq~k cylindriques:9 ptq 9ptq~eptq ptq9'ptq~e'ptq 9zptq~k spheriques:9 ptq 9rptq~erptq rptq9'ptq~e'ptq rptq9ptq~eptq

Courbes regulieres

Denition {La courbe

:rt0;t1s ÑR3estregulieresi la vitesse ne s'annulle jamais, c'est-a-dire si 9 ptq ~0pou bien}9 ptq} 0qpour touttP rt0;t1s: Dans ce cas, la vitesse est un vecteur tangent a la courbe,et on appelle: element de ligne, le vecteurÝÑd`9 ptqdt; abscisse curviligne, la primitive de}9 ptq}, noteessptq, donc on as1ptq }9 ptq}; element d'arc, la dierentielleds }9 ptq}dt; longueur, l'integraleLt1t0p q » t1 t 0} 9 ptq}dt» spt1q spt0qds.

Exemples de courbes parametrees

Exemples {

Parabole:xy,zx2etxP r0;1s

ptq pt;t;t2qavectP r0;1s 9 ptq p1;1;2tq ~~2t~kyz x 9 ptq} ?24t20ùñ est reguliere

ÝÑd` p1;1;2tqdtdt~dt~2t dt~k.

Ellipse:x29

z24

1 ety0

ptq p3cost;0;2sintq,tP r0;2s 9 ptq p3sint;0;2costq ~0yz x d` p3sint;0;2costqdt 3sint dt~2cost dt~k.

Exemples de courbes parametrees

Helice circulaire:

ptq pcost;sint;tqavectP r0;6s

ùñx2y21,yx

tanz(six0) 9 ptq psint;cost;1q ~0ñ reg.

ñÝÑd` psint~cost~~kqdtyz

x }9 ptq} asin

2tcos2t1?2

ñL20p

q » 2 0 }9 ptq}dt» 2

0?2dt2?2En cylindriques:ptq 1,'ptq t,zptq t

ptq ptq~ezptq~k~et~k9 ptq 9ptq~eptq9'ptq~e'9zptq~k~e'~k

ÝÑd` p~e'~kqdt

5.2 { Circulation

Dans cette section:

Circulation d'un champ de vecteurs le long d'une courbe

Circulation d'un champ de gradient

Circulation et integrale curviligne

Denition {SoitÝÑVun champ de vecteurs deR3et soitCune courbe orientee dans le domaine deÝÑV, parametree par :rt0;t1sÑR3. On appellecirculation deÝÑVle long deC l'integrale curviligne C

ÝÑVÝÑd`»

t1 t

0ÝÑ

V ptq9 ptqdtou

ÝÑV

ptqindique que le champÝÑVest evalue sur les points de la courbe etindique le produit scalaire entre vecteurs.Notation {SiCest une courbe fermee, la circulation deÝÑVle long deCs'ecrit¾ C VÝÑd`Proposition {Si Cest orientee dans le sens opposea C , on a» C

ÝÑVÝÑd` »

C

ÝÑVÝÑd`:

Exercices

Enonce {Calculer la circulation des champs suivants, le long des courbes indiquees.

ChampÝÑFpx;y;zq z~y~x~k

Parabole

ptq pt;t;t2q, tP r0;1syz x

Reponse {On a

ÝÑFp

ptqq t2~t~t~k 9 ptq ~~2t~k:La circulation de

ÝÑFle long de

est donc C

1ÝÑ

FÝÑd`»

1 0 t 2t2t2 dt 1 0 3t2t dt t

312t21

011212:

Exercices

ChampÝÑVp;';zq '~ez~e'~k

Cercle x

2y29, z2

oriente en sens antihoraireyz x

Reponse {On parametrise

ptq ptq~ezptq~kavec ptq 3; 'ptq tetzptq 2;tP r0;2s:On a alors

ÝÑVp

ptqq t~e2~e'3~k 9 ptq 9ptq~eptq9'ptq~e'9zptq~k3~e'et la circulation de

ÝÑVle long de

est donc

ÝÑVÝÑd`»

2 0

6dt12:

Exercices

ChampÝÑUpr;';q '~ersin~e'~e

Demi-cercle x

2y2z24, yx¥0

oriente en sens horaireyz x

Reponse {On parametrise

ptq rptq~eravec rptq 2; 'ptq 4 ; ptq t;tP r0;s:On a alors

ÝÑUp

ptqq {4~ersint~e'2~e 9 ptq 9rptq~errptq9'ptq~e'rptq9ptq~e2~e et la circulation de

ÝÑUle long de

est donc

ÝÑUÝÑd`»

0 4dt4:

Travail d'une force

Denition {SoitÝÑFun champ de force deR3qui deplace un corps le long d'un trajet parametre par la courbe :rt0;t1sÑR3.

Letravail de la forceÝÑFest l'energieW

fournie pour accomplir le deplacement et est donne par la circulation deÝÑFle long de .W» ÝÑFÝÑd`Exemple {Calculons le travail eectue par la force

ÝÑFpx;y;zq z~y~x~k

pour deplacer un objet le long de l'arc d'helice ptq pcost;sint;tq;tP r0;2s:yz x On a

ÝÑFp

ptqq t~sint~cost~k 9 ptq sint~cost~~k;donc W»

ÝÑFÝÑd`»

2 0 tsintsintcostcost dt tcost 2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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