[PDF] Sommaire Figures 1. Cylindres L'intersection de la surface

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Cylindres, cônes, surfaces de révolution et quadriques16-1Sommaire

1. Cylindres1

1.1. Cylindre, génératrice et directrice . . . .1

1.2. Équation générale d"un cylindre . . . . .2

1.3. Plan tangent le long d"une génératrice .3

1.4. Cyl. de direction et directrice données . .3

1.5. Recherche du contour apparent . . . . .5

1.6. Équation d"un cylindre circonscrit . . . .5

2. Cônes6

2.1. Cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

2.2. Équation polynomiale d"un cône . . . . .7

2.3. Plan tangent le long d"une génératrice .7

2.4. Cône de sommet et directrice donnés . .7

2.5. Recherche du contour apparent . . . . .9

2.6. Cône circonscrit à une surface . . . . . .10

3. Surfaces de Révolution10

3.1. Surface de révolution d"axe. . . . . . .10

3.2. Équation cartésienne . . . . . . . . . . .11

3.3. Rotation d"une demi-méridienne /Oz. .11

3.4. Rotation deautour de. . . . . . . . .124. Cylindres et cônes de révolution13

4.1. Cylindre de révolution . . . . . . . . . . .13

4.2. Cône de révolution . . . . . . . . . . . . .14

5. Quadriques14

5.1. Quadriques propres ou dégénérées . . .14

5.2. Intersection avec un plan . . . . . . . . .14

5.3. Quadriques de révolution . . . . . . . . .15

5.4. Équations réduites . . . . . . . . . . . . .15

5.5. L"Ellipsoïde(E). . . . . . . . . . . . . . .16

5.6. Le paraboloïde elliptique

(PE). . . . . . .16

5.7. Le paraboloïde hyperbolique(PH). . . .17

5.8. L"hyperboloïde à une nappe(H1). . . . .17

5.9. L"hyperboloïde à 2 nappes(H2). . . . . .19

6. Identification d"une quadrique20

6.1. Réduction de la forme quadratique . . .20

6.2. Transformation de la forme linéaire . . .21

6.3. Réduction finale . . . . . . . . . . . . . .21

6.4. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

6.5. Classification selon les valeurs propres .22

6.6. Identification géométrique . . . . . . . .23Figures

1 Exemples de cylindres . . . . . . . . . . .2

2 Cylindre : direction et directrice . . . . . .3

3 Contour apparent dans une direction . .5

4 Exemples de cônes . . . . . . . . . . . . .6

5 Cône : sommet et directrice . . . . . . . .8

6 Contour apparent depuis un point . . . .107 Surface de révolution . . . . . . . . . . . .12

8 Ellipsoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

9 Paraboloïde Elliptique . . . . . . . . . . .17

10 Paraboloïde Hyperbolique . . . . . . . . .18

11 Droites sur un Paraboloïde Hyperbolique18

12 Hyperboloïde à 1 nappe . . . . . . . . . .19

13 Droites sur un Hyperboloïde à 1 nappe . .20

14 Hyperboloïde à 2 nappes . . . . . . . . . .21Ce chapitre étudie quelques surfaces particulières : les cylindres et cônes qui sont formés de droites,

les surfaces de révolution et les quadriques. Enfin, on traitera à part les cylindres et cônes de révolu-

tion. Dans tout le chapitre,R3sera muni d"un repère orthonormal

O;!{ ;!| ;!k

1. Cylindres

1.1. Cylindre, génératrice et directriceDéfinition :

Uncylindre de direction!uest une surface formée d"une famille de droites de direction!u. Ces droites sont lesgénératricesdu cylindre. Une courbe qui rencontre toutes les génératrices est unedirectrice.

L"intersection de la surface avec un plan perpendiculaire à la direction!u, est unesection droitedu

cylindre.On peut voir sur figure 1, page suivante, deux exemples de cylindres, au sens mathématique du terme!

Un cylindre n"est pas, en général, un cylindre de révolution!

Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

16-2Cylindres, cônes, surfaces de révolution et quadriques

Figure 1 -Exemples de cylindresDéfinition :SiSest une surface, l"ensemble des points M deStels que la direction du plan

tangent àSen M contient!uest lecontour apparentdeSdans la direction!u. Le cylindre de direction!uet de directrice ce contour apparent est lecylindre circonscritàSdans la direction!u.1.2. Équation générale d"un cylindre Théorème :Sest un cylindre de direction!k,Sa une équation de la forme : F(x;y) = 0.

C"est aussi, dans le planxOy, l"équation de la section droite deS.La courbe d"équation F(x;y) = 0 dans le planxOyest la section droite du cylindre d"équa-

tion F(x;y) = 0 dans l"espace. Ainsi,l"interprétationd"une équation incomplète (enx, ouyouz) est celle, dans le plan considéré, d"une courbe ou, dans l"espace, d"une surface... De même, s"il manqueydans l"équation, on a un cylindre de direction!|. Démonstration :On admet queSa une équation de la forme H(x;y;z)= 0.

Mais, si M

0:0

BBBBBBBBBB@x

0 y 0 z 01

CCCCCCCCCCAappartient àS, la droite

M 0;!k est tracée surSet donc :8z2R;H(x0;y0;z)= 0

Ce qui prouve qu"en fait, H ne dépend pas dez. On peut donc écrire : H(x;y;z)= F(x;y)Théorème :Sest un cylindre de direction!u,Sa une équation de la forme :

F(P

1;P2) = 0

avec P

1(x;y;z)=k1et P2(x;y;z)=k2, l"équation de deux plans.

Et enfin, P

1\P2donne la direction!u.

Démonstration :Un changement de repère orthonormal où!K==!u, fournit F(X;Y)= 0, et en revenant

dans le repère d"origine, F(P

1;P2) = 0.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Cylindres, cônes, surfaces de révolution et quadriques16-31.3. Plan tangent le long d"une génératrice

Théorème :Le plan tangent à un cylindre le long d"un génératrice est invariant.Démonstration :Quitte à changer de repère, on peut travailler avec F(x;y) = 0. Le plan tangent le long

de la génératrice (x0;y0;)est d"équation : xx0)@F@x (x0;y0)+(yy0)@F@y (x0;y0)= 0

qui clairement ne contient pas.1.4. Équation d"un cylindre de direction et de directrice données

On va chercher l"équation d"un cylindrede direction!uet de directricedonnés. F aireune figure symbolique, comme la figure 2, ci-dessous.

Figure 2 -Cylindre : direction et directrice•P artird"un poin tquelconquedu cylindrecherché M :0

BBBBBBBBBB@X

Y Z1

CCCCCCCCCCA

Écrire que la droite, décrite en par amétrique,

M;!urencontre:92R;M+!u2

Pour cela, on a, en pratique, deux cas selon queest donnée en paramétriques ou par intersection

de surfaces.

Siest définie en paramétriques.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

16-4Cylindres, cônes, surfaces de révolution et quadriquesOn a

!u:0

BBBBBBBBBB@

1

CCCCCCCCCCA, et:8

>>>>><>>>>>:x (t) y (t) z (t)t2I M : 0

BBBBBBBBBB@X

Y Z1

CCCCCCCCCCA2,8

>><>>:92R 9t2I8 >>>>><>>>>>:x (t)= X+ y (t)= Y+ z (t)= Z+

On a directement une représentation deen nappe paramétrée. Pour obtenir une équation car-

tésienne, on élimineettentre ces deux équations, on obtient l"équation d"un cylindre0qui contient le cylindre cherché.

Siest définie par intersection de surfaces.

On a !u:0

BBBBBBBBBB@

1

CCCCCCCCCCA, et:8

>><>>:F (x;y;z)= 0 G (x;y;z)= 0 M : 0

BBBBBBBBBB@X

Y Z1

CCCCCCCCCCA2, 92R;8

>><>>:F (X+;Y+;Z+ )= 0 G (X+;Y+;Z+ )= 0 On élimine le paramètre, on obtient l"équation d"un cylindre0qui contientle cylindre cher- ché.Dans le cas oùest définie en paramétriques:8 >>>>><>>>>>:x (t) y (t) z (t)t2I, on peut aussi paramétrer la droite de direction !u:0

BBBBBBBBBB@

1

CCCCCCCCCCApassant par un point de, on obtient :

M : 0

BBBBBBBBBB@X

Y Z1

CCCCCCCCCCA2,8

>><>>:92R 9t2I8 >>>>><>>>>>:X =x(t)+

Y =y(t)+

Z =z(t)+

Par rapport à la méthode précédente, cela revient à changeret. On a encore directement

une représentation en nappe paramétrée. Exemple :On cherche une équation cartésienne du cylindrede direction!u:0

BBBBBBBBBB@1

1 01

CCCCCCCCCCAet de directrice

définie part2R:8 >>>>><>>>>>:x= cost y= sint z=t.

On a donc M :

0

BBBBBBBBBB@X

Y Z1

CCCCCCCCCCA2, 9;t2R:8

>>>>><>>>>>:cost= X+ sint= Y+

t= Z.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Cylindres, cônes, surfaces de révolution et quadriques16-5On élimine facilementt, ce qui donne8

>><>>:cosZ = X+ sinZ = Y+. Tout aussi facilement, on élimine, et on obtient enfin : cosZsinZ = XY qui est l"équation d"un cylindre0qui contient le cylindre cherché.

1.5. Recherche du contour apparent

On cherche le contour apparent de la surfaceSd"équation F(x;y;z) = 0 dans la direction!u:0

BBBBBBBBBB@

1

CCCCCCCCCCA.

Pour cela, on prend un point M de la surfaceS, et on écrit que le gradient de F en ce point est normal

à!u.

Cela donne :

F (x;y;z)= 0 @F@x (x;y;z)+@F@y (x;y;z)+ @F@z (x;y;z)= 0

On a ainsi le contour apparent par intersection de surfaces.Si on peut, il faut absolument simplifier, au maximum et dès que possible, les équations

intervenant dans la recherche de ce contour apparent. La figure 3, ci-dessous, illustre cette recherche.

Figure 3 -Le plan tangent àSenMcontient la direction!u1.6. Équation d"un cylindre circonscrit à une surface

Il sut de chercher le contour apparent, puis de chercher le cylindre de la direction donnée et dequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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