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Roulement d"un cylindre dans un autre.

Un cylindre plein, homog`ene, de massem, de rayona, de centreCd"axeCyhorizontal, de moment

d"inertieJ= (1/2)ma2par rapport `a cet axe roule sans glisser `a l"int´erieur d"un cylindre fixe creux

de rayonR, de centreOet d"axeOy.Ozest la verticale descendante etOxhorizontal et orthogonal

`a l"axe. On noteθl"angle orient´e entreOzetOCet?l"angle dont tourne le cylindre mobile dans le

rep`ere barycentriqueCxyz. On appelleIle point de contact entre les deux cylindres,-→N=-N-→eret-→T=T-→eθles composantes normale et tangentielle de la force exerc´ee par le cylindre fixe sur le cylindre

mobile (cf figure).Question 1:

Quelle relation lie?etθ?

Attention, dans cet exercice, si l"on se fie `a son intuition, on se trompe ais´ement en consid´erant

tacitement et fautivement que?est compt´e `a partir deCIet non deCz.

Le vecteur rotation est identique dans le r´ef´erentiel barycentrique et dans le r´ef´erentiel du labora-

toire. Par d´efinition, dans le premier donc aussi dans le second, il vautω= ?-→ey Il n"y a pas de glissement enI, donc par d´efinition du non-glissement,-→vI=-→0

Le pointCd´ecrit un cercle de centreO, de rayon (R-a) et sa position est rep´er´ee par l"angleθ,

donc classiquement, en introduisant la base locale form´ee de-→er, vecteur unitaire deOC, radial et-→eθ

orthoradial,-→vC= (R-a)θ-→eθ La formule de changement de point, pour le champ des vitesses du cylindre mobile, donne vC=-→vI+-→CI?-→ωsoit (R-a)θ-→eθ=-→0 +a-→er??-→eysoit d"o`u ?=-R-aa

Question 2:

En d´eduire en fonction deθ, de ses d´eriv´ees et des constantes du probl`eme l"´energie

cin´etique du cylindre mobile. En d´eduire l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parθ.

Pour un solide en rotation autour d"un axe fixe dans son r´ef´erentiel barycentrique, on a E C=12 mv2G+E?C=12 mv2G+12

J ω2

1

Iciω= ?=-R-aa

θ,Gest le pointCet-→vC= (R-a)θ-→eθet enfinJ= (1/2)ma2d"o`u E C=12 mv2C+12

J?2=12

m(R-a)2θ2+14 ma2(R-a)2a

2θ2=34

m(R-a)2θ2 par ailleurs, avec un axe verticaldescendant, l"´energie potentielle de pesanteur est : E

P=-mg zG=-mg(R-a) cosθ

La seule autre force subie par le cylindre mobile est la force de contact -→N+-→T, appliqu´ee au point

Ide vitesse nulle puisqu"il n"y a pas glissement; sa puissance est donc nulle et il y a conservation de

l"´energie m´ecanique, soit34 m(R-a)2θ2-mg(R-a) cosθ=Cte

En d´erivant par rapport au temps, on trouve

32
m(R-a)2¨θθ+mg(R-a) sinθθ= 0

Soit apr`es simplifications par

θ,m, (R-a),

θ=-2g3(R-a)sinθ

Question 3:

Trouver la p´eriode des petites oscillations.

Si au cours du mouvementθreste petit alors sinθ≈θet

θ=-2g3(R-a)θ

qui donne un mouvement sinuso¨ıdal de pulsation Ω = ?2g3(R-a)et de p´eriode

T=2πΩ

= 2π?3(R-a)2g

Question 4:

Alors queθ= 0, on communique au cylindre une vitesse angulaireθ=ω0. A quelle condition le cylindre peut-il faire un tour complet? On utilisera une premi`ere approche ´energ´etique et une seconde concernant la r´eaction normale du support. Lorsque le tour complet est impossible, que se passe-t-il selon les valeurs deω0? La conservation de l"´energie et les conditions initiales conduisent `a 34
m(R-a)2θ2-mg(R-a) cosθ=34 m(R-a)2ω20-mg(R-a) (´equation 1) soit apr`es d´erivation et simplification par 32
m(R-a)2¨θ+mg(R-a) sinθ= 0 (´equation 2) 2

Aucune de ces ´equations ne peut ˆetre r´esolues explicitement; par contre elles donnent respectivement

une relation entre l"acc´el´eration angulaire et la position angulaire et entre la vitesse angulaire et la

position angulaire :

θ2=ω20-4g3(R-a)(1-cosθ) (´equation 3)

θ=-2g3(R-a)sinθ(´equation 4)

La premi`ere condition pour que le cylindre arrive en haut (et fasse donc un tour complet) est qu"il

ait l"´energie suffisante pour le faire. Quand il monte, son ´energie potentielle augmente et son ´energie

cin´etique diminue. Si cette derni`ere s"annule avant d"arriver en haut, le cylindre s"arrˆete puis redescend

et amorce un mouvement pendulaire p´eriodique; par contre, si elle reste positive jusqu"en haut, le

cylindre tourne toujours dans le mˆeme sens. La charni`ere entre les deux comportements est obtenue quand l"´energie cin´etique, donc

θ2, s"annule

exactement pourθ=πsoit cosθ=-1, c"est `a dire, selon l"´equation 3, pour une valeurω1deω0´egale

`a

1=?8g3(R-a)

En de¸ca de cette valeur, le cylindre s"arrˆete pour l"angleθ1qui annuleθ2, soit

0 =ω20-4g3(R-a)(1-cosθ1)

1-cosθ1=3(R-a)ω204g

1= arccos?4g-3(R-a)ω204g?

La seconde condition est que le cylindre ne d´ecolle pas, pour cela il faut la composante normale de

la r´eaction du support ne s"annule pas; on la calcule `a partir du th´eor`eme du centre de gravit´e appliqu´e

au cylindre. m-→aC=-→N+-→T+m-→g soit en projection sur les directions radiales et orthoradiales : -m(R-a)θ2=-N+mgcosθ m(R-a)¨θ=T-mgsinθ On en d´eduit, en reportant les r´esultats de l"´equation 3 et de l"´equation 4

N=mgcosθ+m(R-a)?

20-4g3(R-a)(1-cosθ)?

N=mg7 cosθ-43

+m(R-a)ω20(´equation 5)

T=mgsinθ-m(R-a)2g3(R-a)sinθ

3 T=13 mgsinθ(´equation 6)

L"´equation 5 montre que la valeur deNd´ecroˆıt deθ= 0 `aθ=π. Si elle ne s"annule jamais

le cylindre ne d´ecolle pas et les conclusions de l"´etude ´energ´etique restent valables; sinon le cylindre

d´ecolle et quitte la piste, on assiste alors `a une chute libre. La charni`ere entre les deux comportements est obtenue quandNs"annule exactement pourθ=π soit cosθ=-1, c"est `a dire, selon l"´equation 5, pour une valeurω2deω0´egale `a

2=?11g3(R-a)

En de¸ca de cette valeur, le cylindre s"arrˆete pour l"angleθ2qui annuleN, soit

0 =mg7 cosθ2-43

+m(R-a)ω20

4-7 cosθ2=3(R-a)ω20g

2= arccos?4g-3(R-a)ω207g?

Pour que le cylindre puisse arriver en haut sans d´ecoller, il fautω0> ω1etω0> ω2; orω2> ω1, la

condition pour que le mouvement puisse ˆetre toujours dans le mˆeme sens est doncω0> ω2.

Pourω1< ω0< ω2, le cylindre a l"´energie suffisante pour arriver en haut mais il d´ecolle avant.

Pourω0< ω1, le cylindre n"a l"´energie que pour aller enθ1mais il peut d´ecoller enθ2; reste `a savoir

siθ2peut ˆetre atteint c"est `a dire s"il est inf´erieur `aθ1 L"´etude est facilit´ee si l"on remarque que cosθ2=47 cosθ1. Ou bien cosθ1>0 (soitθ1< π/2) alors cosθ2=47 cosθ1 θ1et le point de d´ecollage n"est pas atteint : le mouvement est alternatif p´eriodique. Ou bien cosθ1<0 (soitθ1> π/2) alors cosθ2=47 cosθ1>cosθ1etθ2< θ1et le point de d´ecollage est atteint : le cylindre quitte la piste. La charni`ere entre les deux comportements est obtenue quand cosθ1s"annule c"est `a dire pour une valeurω3deω0´egale `a

3=?4g3(R-a)

En r´esum´e

- pourω0< ω3, le mouvement est alternatif p´eriodique. - pourω3< ω0< ω2, le cylindre d´ecolle et tombe en chute libre parabolique. - pourω0> ω2, le cylindre tourne toujours dans le mˆeme sens.

Question 5:

L"´etude ci-dessus suppose qu"il n"y a pas glissement. Est-ce le cas?

Sifest le coefficient de frottement, la condition de non-glissement est?-→T?< f?-→N?, soit|T|< f N

soit en reportant les r´esultats de l"´equation 5 et de l"´equation 6 et pour 0< θ < π

13 mgsinθ < f m? g7 cosθ-43 + (R-a)ω20? 4 soit sinθ < f(7 cosθ-4 +α) avecα=3(R-a)ω20g

Un r´esolution graphique s"impose : on trace le graphe des deux membres en fonction deθOn a ici trac´e le graphe de sinθet deux graphes pour le second membre, tous deux avecf= 0,5, le

premier (celui du haut) avecα= 13 et le second (celui du bas) avecα= 10. Dans le premier cas, pas

d"intersection et le mouvement et celui qui a ´et´e pr´evu plus haut. Dans le second, il y a une intersection

et `a un moment donn´e le cylindre commence `a glisser; `a partir de ce moment l"´etude cesse d"ˆetre

valable. Remarque :On peut r´esoudre explicitement l"´equation r´e´ecrite kcosθ-sinθ=βaveck= 7fetβ=f(4-α)

Successivement

?k

2+ 1?k⎷k

2+ 1cosθ-1⎷k

2+ 1sinθ?

Soit?l"angle compris entre 0 etπ2

tel que cos?=k⎷k

2+1et sin?=1⎷k

2+1donc tan?=1k

ou ?= arctan(1k ). On a cosθcos?-sinθsin?=β⎷k 2+ 1 cos(θ+?) =β⎷k 2+ 1

θ+?=±arccosβ⎷k

2+ 1 Cette ´equation a des solutions, donc le glissement s"amorce, si|β|<⎷k

2+ 1 soit|4-α|<⎷49f2+1f

soit enfin -?49f2+ 1f <3(R-a)ω20g -47, on se convainc ais´ement que la borne inf´erieure ne peux pas ˆetre atteinte et que la condition est donc

3(R-a)ω20g

<4 +?49f2+ 1f ≈11

C¸a donnera certes, apr`es le report des expressions de?,βpuis deketαune expression litt´erale

monstrueuse mais le calcul num´erique pr´ecis est possible. On n"oubliera pas d"en d´eduire la valeur deθgrˆace `a l"´equation 3 car les valeurs deθet deθserviront ´eventuellement `a raccorder la solution

valable jusqu"au d´ebut du glissement avec la solution qu"on peut rˆever trouver pour le mouvement avec

glissement.

Question 6:

Mettre en ´equation le mouvement dans le cas du glissement. Comme plus haut, le th´eor`eme du centre de gravit´e donne -m(R-a)θ2=-N+mgcosθ m(R-a)¨θ=T-mgsinθ

Ici puisqu"il y a glissementT=±f N, l"´etude pr´ec´edente montre que la limite du non-glissement

est atteinte avec le signe positif. Onb a donc -m(R-a)θ2=-N+mgcosθ(´equation 7) m(R-a)¨θ=f N-mgsinθ(´equation 8) On multiplie l"´equation 7 parfet on lui ajoute l"´equation 8, d"o`u m(R-a)¨θ-f m(R-a)θ2=mg(fcosθ-sinθ)

θ-fθ2=gR-a(fcosθ-sinθ)

Question 7:

Pour les sportifs : faute de pouvoir r´esoudre explicitement cette ´equation, on cherche un lien entre vitesse et position. A cet effet, on poseθ2=F(θ). En d´eduire une expression de¨θet donner la m´ethode de r´esolution.

Remarquons que l"id´ee provient de l"´etude pr´ec´edente o`u l"on avait trouv´e un lien entre

θ2etθ.

D´erivons

θ2=F(θ)par rapport au temps: on en tire 2θ¨θ=F?(θ)θsoit¨θ=F?(θ)/2 et l"´equation

devient12 dFdθ-f F=gR-a(fcosθ-sinθ)

qui est lin´eaire `a coefficients constants. L"´equation homog`ene a des solutions enCteexp(2f θ) et

l"on cherche une solution particuli`ere par la m´ethode des amplitudes complexes :F=Re(Fexpıθ)

d"o`u ?ı2 +f? F= gR-a(f+ı) On en tire l"expression de la solution particuli`ere comme d"habitude et la constante multiplicative

de la solution de l"´equation homog`ene sera calcul´ee `a partir des conditions initiales calcul´ees en fin de

question 5. Bien sˆur, pour cette phase, on prendra l"origine des temps au d´ebut du glissement. Qu"on

me permette de ne pas pousser plus loin les calculs; l"essentiel a ´et´e dit. Acta est fabula. 6quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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