Hauteur et barycentre dun triangle de paramètre a : • Dans le
le barycentre d'un triangle équilatéral se trouve aux deux tiers de ses hauteurs. Diagonales d'un cube de paramètre a : a dcube dface a dcube.
Vecteurs et barycentres
Ce point est appelé barycentre des deux points pondérés (A; ?) et (B ; ?). On note G = bar{(A?);(B
BARYCENTRES I) Barycentre de deux points
Vocabulaire : Lorsque a = b le barycentre G appelé isobarycentre des points A et B est le milieu du segment [AB]. Théorème : Si A et B sont deux points
1 Barycentre partie convexe
D´EFINITION 2. Le segment [x y] est l'ensemble des barycentres `a coefficients positifs de x et y. On peut donc paramétrer par [
Notion de barycentre - Lycée dAdultes
29 juin 2015 1 Barycentre de deux points. 1.1 Définition. Remarque : Le mot barycentre renvoie à la notion de centre d'inertie ou de gravité en physique.
1 S Barycentres de trois points ou plus
Le barycentre n'existe pas lorsque. 0. a b c. + + = . 3°) Exercice. ABC est un triangle quelconque. G : barycentre des points pondérés (A ; – 3) (
Barycentres dans lespace de Wasserstein
? Fonctionnelles convexes intégrabilité du barycentre. ? Calcul numérique des barycentres. ? Propriétés asymptotiques
Sur le barycentre dune probabilité dans une variété
polation géodésique qui consiste à remplacer deux points par leur barycentre pris sur la géodésique qui les joint
Situations concr`etes exploitant des barycentres
Nous disons aujourd'hui que le point d'appui O du levier `a l'équilibre est le centre de gravité ou le barycentre des points d'application A et B pondérés
Problème de synthèse - Barycentres - points alignés - droites
Barycentres - points alignés - droites concourantes. 1. Partie A. ABC est un triangle J est le milieu de [AC] et I le barycentre de (B
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Chap II :Vecteurs et barycentres
I. Vecteurs
1) Définitions
Définition 1 :Un vecteur-→uest défini par unedirection, unsenset une longueur (appeléenorme).
La norme du vecteur--→ABest la longueurAB.
Elle est notée???--→AB???
. Ainsi???--→AB??? =AB.Propriété 1 :Lorsque les pointsA,B,CetD, ne sont pas alignés, on a--→AB=--→DC??ABCDest un parallèlogramme.×D×C×
A×B
Définition 2 :Relation de Chasles: On a--→AB+--→BC=--→AC.×A×B×
C --→AB+--→BC Remarque :??Règle du parallélogramme??:--→AB+--→AC=--→AD.×A×B×
D×C
--→AB+--→AC Définition 3 :Dire que(x;y)sont lescoordonnées(uniques) du pointMdans le repère?
O;-→i,-→j?
signifie que--→OM=x-→i+y-→j. On note :M(x;y). Les coordonnées d"un vecteur-→usont celles du pointMtel que--→OM=-→u. On note :-→u(x;y).×Oy xM -→i -→j -→u Remarque :Ainsi, dire que les coordonnées de-→udans le repère?O;-→i,-→j?
sont(x;y)signifie que-→u=x-→i+y-→j. (On dit aussi que(x;y)sont les coordonnées de-→udans la base?-→i,-→j?
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2) Colinéarité
Définition 4 :Lorsque le vecteur-→uet le nombreksont non nuls, le vecteurk-→ua :même direction que-→u,
même sens que-→usik>0et sens contraire sik<0.pour norme le réel :|k|×??-→u??.
Remarque :Les vecteurs--→ABet--→BAsont
opposés:--→BA=---→AB. ATTENTION, la??multiplication??et la??division??entre vecteurs n"est pas définie. Définition 5 :Dire que deux vecteurs non nuls--→ABet--→ACsontcolinéaires signifie qu"ils ont la même direction, c"est-à-dire que les droites(AB)et(CD)sont parallèles.×A×B
C×D
-→u -→vOn peut également dire que deux vecteurs non nuls--→ABet--→CDsont colinéaires s"il existe un réelk
tel que--→AB=k--→CD. Remarque :Parconvention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.Propriété 2 :Dire que trois points distinctsA,BetCsontalignéséquivaut à dire qu"il existe
un nombrektel que--→AB=k--→AC.Dire que deux droites(AB)et(CD)sont
parallèleséquivaut à dire qu"il existe un nombrektel que--→AB=k--→CD. On peut caractériser la colinéarité avec les coordonnées.Propriété 3 :Dire que-→u(x;y)et-→v(x?;y?)sontcolinéaireséquivaut à dire quexy?-yx?=0.
(Forme vectorielle du théorème de Thalès) Théorème 1 :SoitABCun triangle.Msur(AB)etNsur(AC).Si(MN)est parallèle à(BC)soitkle nombre tel que--→AM=k--→AB. alors--→AN=k--→AC
et---→MN=k--→BC.A×B×M
C ×N k>0×A×B
M×C×N
k<0(Réciproque)S"il existe un réelktel que--→AM=k--→ABet--→AN=k--→AC, alors(MN)
et(BC)sont parallèles.Page 2/5
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3) Vecteurs directeurs et équations de droites
Définition 6 :Unvecteur directeurd"une droite(D)est un vecteur dont la direction est celle de (D).En particulier,
--→ABest un vecteur directeur de la droite (AB)et tous les vecteurs directeurs de cette droite sont les vecteursk--→AB, oùkest un réel non nul. E× F×A×
B (D) -→uPropriété 4 :Toute droite(D)estcaractériséepar uneéquation cartésiennede la formeax+
by+c=0, aveca?=0oub?=0, Le vecteur-→u(-b;a)est alors un vecteur directeur de(D).Propriété 5 :Toute droitenon parallèle à l"axe des ordonnéesa uneéquation réduitede la
forme :y=mx+p.Propriété 6 :Dire que les droites d"équationsy=mx+pety=m?x+p?sont parallèles équivaut
à dire quem=m?.
Dire que les droites d"équationsax+by+c=0eta?x+b?y+c?=0sont parallèleséquivaut à dire queab?-a?b=0.
II. Barycentre
1) Barycentre de deux points
La notion mathématique de barycentre est intuitivement très proche de la notion physique de centre
de gravité. Théorème 2 :SoientAetBdeux points du planP,αetβdeux réels. Lorsqueα+β?=0, il existe un unique pointGtel que : --→GA+β--→GB=-→0 .Ce point est appelé
barycentredes deux points pondérés(A;α)et(B;β).On noteG=bar?(A,α);?B,β??.
Siα=β?=0
(et notammentα=β=1), on dit queGest l"isobarycentredeAetB. -→démonstrationRemarque :L"isobarycentre deAetBest le milieu de[AB], c"est le pointItel que-→I A+-→IB=-→0.
Théorème 3 :Soientαetβtels queα+β?=0et soientAetBdeux points du planP, -→démonstrationPage 3/5
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Propriété 7 :Le barycentre de?(A;α); (B;β)?est situé sur la droite(AB). Remarque :Siαetβsont de même signe,G?[AB].Siαetβsont de signes contraires,G?[AB].
Si |α|>??β??alorsGest plus près deAque deB. -→Penser à l"équilibre d"une barre avec une masse à chaque bout. Remarque :?k?R?:G=bar?(A,α);?B,β??=bar?(A,kα);?B,kβ??. Théorème 4 :SoitGle barycentre du système?(A;α); (B;β)?dans un repère?O;-→i,-→j?
SiA(xA;yA)et siB(xB;yB)alors les coordonnées deGdans ce repère sont : G ?αxA+βxBα+β;αyA+βyBα+β?
-→démonstration2) Barycentre de trois points
Théorème 5 :SoientA,BetCtrois points du planP,α,βetγtrois réels tels queα+β+γ?=0.
Il existe un unique pointGtel que :
--→GA+β--→GB+γ--→GC=-→0 .Ce point est appelé
barycentredes trois points pondérés(A;α),(B;β)et(C;γ).On noteG=bar?(A,α);?B,β?;?C,γ??.
Siα=β=γ?=0, on dit queGest l"
isobarycentredeA;BetC.Théorème 6 :Soientα,βetγtels queα+β+γ?=0et soientA,BetCtrois points du planP,
Remarque :?k?R?:G=bar?(A,α);?B,β?;?C,γ??=bar?(A,kα);?B,kβ?;?C,kγ??.Remarque :Par définition
lecentre de gravitéGd"un triangleABCest l"isobarycentre des points A,BetC. On a donc :--→GA+--→GB+--→GC=-→0.Théorème 7 :(barycentre partiel)
?G=bar?(A,α);?B,β?;?C,γ?? -→Penser à l"équilibre d"une barre en T avec une masse à chaque bout. -→démonstrationPage 4/5
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Théorème 8 :SoitGle barycentre du système?(A;α); (B;β); (C;γ)?dans un repère?O;-→i,-→j?
SiA(xA;yA),B(xB;yB)etC(xC;yC)alors les coordonnées deGdans ce repère sont :G?αxA+βxB+γxC
-→démonstration3) Barycentre denpoints(HP)
On peut généraliser à un nombre plus grand de points la notionde barycentre. Les propriétés
resteront alors similaires. Dans toute la suitenest un entier naturel supérieur ou égal à 2.Théorème 9 :SoientA1,A2, ...,Annpoints du planP,α1,α2, ...,αnnréels tels queα1+α2+
···+αn?=0. Il existe un unique pointGtel que :1---→GA1+α2---→GA2+···+αn---→GAn=-→0 .
Ce point est appelé
barycentredesnpoints pondérés(A1;α1),(A2;α2), ...,(An;αn). On noteG=Bar?(A1;α1),(A2;α2),...,(An;αn)?.Théorème 10 :Soientα1,α2, ...,αntels queα1+α2+···+αn?=0et soientA1,A2, ...,Annpoints
du planP,il y a équivalence entre etThéorème 11 :SoitGle barycentre du système?(A1;α1),(A2;α2),...,(An;αn)?dans un repère?
O;-→i,-→j?
SiA1(xA1;yA1),A2(xA2;yA2), ...,An(xAn;yAn)alors les coordonnées deGdans ce repère sont : G ?α1xA1+α2xA2+···+αnxAnPage 5/5
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