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Barycentres dans l"espace de Wasserstein

Guillaume CARLIER

a Journées IOPS - Image, Optimisation, Probabilités et

Statistique

Réserve ornithologique du Teich, 5-8 Juillet 2017. aCEREMADE, Université Paris Dauphine et MOKAPLAN, Inria-Paris /1 Plan2 Plan ➀Préliminaires: espace de Wasserstein ➁Barycentres dans l"espace de Wasserstein: existence,unicité, caractérisation ➂Formulation multi-marges ➃Exemples ➄Fonctionnelles convexes, intégrabilité du barycentre ➅Calcul numérique des barycentres ➆Propriétés asymptotiques, LGN, TLC ➇Barycentre régularisé (Bigot, Cazelles, Papadakis), point de vue EDP /2

Espace de Wasserstein3

Espace de Wasserstein

Transport optimal avec coût quadratique. NotonsP2(Rd) l"ensemble des mesures de probabilités surRdde second moment finis, pourρ0etρ1dansP2(Rd), la2-distance de Wasserstein entreρ0etρ1,W2(ρ0,ρ1)est donnée par W

22(ρ0,ρ1) = infγ?Π(ρ0,ρ1)?

R d×Rd|x-y|2dγ(x,y) oùΠ(ρ0,ρ1)est l"ensemble des plans de transport entreρ0etρ1 i.e. les probas surRd×Rdayantρ0etρ1pour marges.

Préliminaires, espace de Wasserstein/1

Espace de Wasserstein4

Formulation à la Monge

inf

T:T#ρ0=ρ1?

R d|x-T(x)|2dρ0(x) oùT#ρ0désigne la mesure image: T #ρ0(B) =ρ0(T-1(B)). La contrainteT#ρ0=ρ1exprime le fait queTtransporteρ0sur

1. Transports induisent des plans:(id,T)#ρ0?Π(ρ0,ρ1).

C"est un problème non linéaire et il se peut qu"il n"existe pas de transport deρ0versρ1(exρ0=δxetρ1=1

2(δy+δz)avec

y?=z), néanmoins siρ0n"a pas d"atome, on a W

22(ρ0,ρ1) = infT:T#ρ0=ρ1?

R d|x-T(x)|2dρ0(x)

Préliminaires, espace de Wasserstein/2

Espace de Wasserstein5

L"existence d"un plan est presque triviale,Π(ρ0,ρ1)est tendu et le critère est faiblement?sci.W2est une distance surP2(Rd), (P2(Rd),W2)espace de Wasserstein. Cette distance métrise la convergence faible?(+ convergence des seconds moments). Mais surtout, comme c"est un problème linéaire, il a une formulation duale (commode en l"occurence).

Préliminaires, espace de Wasserstein/3

Espace de Wasserstein6

Dualité de Kantorovich (cf livres de Villani, Santambrogio):

12W22(ρ0,ρ1) = sup??

R d?ρ0+? R

2|x-y|2?

ce sup est atteint, ses solutions sont appelées potentiels de Kantorovich, ces potentiels sont reliés par les formules d"inf-convolution ?(x) = infy{1

2|x-y|2-ψ(y)}

et

ψ(y) = infx{12|x-y|2-?(x)}.

Préliminaires, espace de Wasserstein/4

Espace de Wasserstein7

En particulier?etψsont semi-concaves:u:=1

2|.|2-?et

v:=1

2|.|2-ψsont convexes et conjuguées:

u=v?,v=u? transformée de Legendre: v ?(x) := sup x{x·y-v(y)}.

Préliminaires, espace de Wasserstein/5

Espace de Wasserstein8

Siγest un plan optimal et?,ψest un couple de potentiels de

Kantorovich on a

?(x) +ψ(y) =1

2|x-y|2γ-p.p.

ce qui revient à u(x) +u?(y) =x·y γ-p.p. ce qui revient à dire quey?∂u(x)si bien que le support deγ est inclus dans le graphe de∂u. Il est bien connu que les fonctions convexes finies sont différentiables en dehors d"ensemble "petits".

Préliminaires, espace de Wasserstein/6

Espace de Wasserstein9

On appellera ensemble petit deRdtout Borélien de dimension de Hausdorff au plusd-1. Théorème de Brenier, McCann: siρ0ne charge pas les ensembles petits, il y a une unique solutionγau problème de transport optimal, qui est caractérisée parγ= (id,?u)#ρ0avec uconvexe. Lien avec l"équation de Monge-Ampère: det(D2u)ρ1(?u) =ρ0, uconvexe. Théorie de la régularité L. Caffarelli (avancées récentes: Figalli, De Philippis, livre récent de Figalli). Siρ0,ρ1ont des densités C r,αbornées par en dessous et des supports convexes, le transport optimal?uest unCr+1,α-difféomorhisme.

Préliminaires, espace de Wasserstein/7

Espace de Wasserstein10

Noter queW22(ρ0,ρ1)est une fonction convexe deρ0etρ1. Si en outre,ρ0ne charge pas les ensembles petits alors

1? P2(Rd)?→W2(ρ0,ρ1)eststrictementconvexe. En effet

supposons que W

22(ρ0,(1-t)ρ1+tν1) = (1-t)W22(ρ0,ρ1) +tW22(ρ0,ν1),

t?(0,1)alors siγ= (id,T)#ρ0(resp.θ= (id,S)#ρ0) est un plan optimal entreρ0etρ1(resp.ν1) alors(1-t)γ+tθest optimal entreρ0et(1-t)ρ1+tν1. Ce plan devrait donc être porté par un graphe ce qui n"est le cas que lorsqueS=T

0-p.p. i.eρ1=ν1.

Préliminaires, espace de Wasserstein/8

Espace de Wasserstein11

Interpolation (McCann): courbe de mesures

t?[0,1]?→ρt= ((1-t)id+t?u)#ρ0, c"est la géodésique (à vitesse constante) entreρ0etρ1. Notion de convexité par déplacement i.e. de convexité le long de ces géodésiques, nous y reviendrons.

Préliminaires, espace de Wasserstein/9

Espace de Wasserstein12

Formulation dynamique de Benamou-Brenier:

W

22(ρ0,ρ1) = inf?

1 0? R d|vt(x)|2ρt(dx)dt sous les contraintes: tρ+ div(ρv) = 0, ρ|t=0=ρ0, ρ|t=1=ρ1. F. Otto: structure formelle de variété Riemannienne, calcul d"Otto. Formellement, étant donnée une énergieEsurP2(Rd), l"équation tρ= div(ρ?E?(ρ)) est le flot de gradient (pourW2) deE. En particulier

E(ρ) =?

R dρlog(ρ): le flot de la chaleur est le flot de l"entropie pourW2. Multiples exemples, théorie très riche (livre d"Ambrosio-Gigli-Savaré)

Préliminaires, espace de Wasserstein/10

Barycentres dans l"espace de Wasserstein13

Barycentres dans l"espace de Wasserstein

SoitNun entier plus grand que1,ν1,...νNdes éléments de P

2(Rd)etλ= (λ1,...,λN)?RN+des poids positifs normalisés

par?Ni=1λi= 1, un barycentre dans l"espace de Wasserstein des mesuresνiavec les poidsλiest un minimiseur de J

λ(μ) :=N?

i=1λ i

2W22(νi,μ).(1)

Existence par la méthode directe du calcul des variations (suite minimisante, borne sur le moment d"ordre 2 puis sci deJλ), unicité par stricte convexité si l"un desνine charge pas les ensembles petits.

Barycentres dans l"espace de Wasserstein/1

Barycentres dans l"espace de Wasserstein14

C"est un cas particulier de moyenne de Fréchet (même principe: minimisation de sommes de carrés de distance mais dans un espace métrique général), unicité pour les espaces NPC ce qui n"est pas la cas de l"espace de Wasserstein (cf. travaux de Karcher, Sturm, Arnaudon...). Mauvais comportement (concave et non semi-convexe) deW22le long des géodésiques. Ici c"est la convexité (usuelle, plate) qui nous sert pas la convexité lelong des géodésiques.

Barycentres dans l"espace de Wasserstein/2

Barycentres dans l"espace de Wasserstein15

Théorème 1Le problème (1) possède au moins une solution, qui est unique dès que l"un desνine charge pas les ensembles petits. On appelle alors cette solution barycentre Wasserstein de (ν1,···,νN)avec les poidsλi.

Caractérisation par dualité. Dual de (1):

sup

F(f1,...,fN) =N?

i=1? R dSλifidνi:N? i=1f i= 0,? (2) where S

λf(x) := inf

y?Rd?

2|x-y|2-f(y)?

,?x?Rd, λ >0.

Barycentres dans l"espace de Wasserstein/3

Barycentres dans l"espace de Wasserstein16

Soit

Y:= (1 +|.|2)Cb(Rd) =?

f?C(Rd) :f

1 +|.|2borné?

muni de la norme ?f?Y:= sup x?Rd|f(x)|

1 +|x|2.

SoitXle sous-espace fermé deYdéfini par

X:= (1 +|.|2)C0(Rd) =?

f?C(Rd) : lim|x|→∞f(x)

1 +|x|2= 0?

Proposition 1L"inf de (1) et le supremum de (2) (avec desfi dansY) sont atteints et coïncident.

Barycentres dans l"espace de Wasserstein/4

Barycentres dans l"espace de Wasserstein17

NotantM(Rd)l"espace des mesures de Radon bornées sur Radon surRd, identifié au dual deC0(Rd)et parM1+(Rd)les mesures de probabilités surRd, on identifie le dual deX X ?={μ? M(Rd):(1 +|x|2)μ? M(Rd)}.

La fonctionnelle

H i(f) :=-? R dSλif(x)dνi(x) est convexe sci surYet il découle de la dualité de Kantorovich que, pour toutν?X?, H ?i(ν) =???λ i

2W22(νi,ν)siν?X?∩ M1+(Rd)

+∞sinon.

Barycentres dans l"espace de Wasserstein/5

Barycentres dans l"espace de Wasserstein18

On a directement

inf(1)≥sup f i?Y,?fi=0F(f1,···,fN)≥sup f i?X,?fi=0F(f1,···,fN)

On définit alors pourf?X,

H(f) = inf{N?

i=1H i(fi) :N? i=1f i=f} qui est convexe et bornée (donc continue) au voisinage de0. Il est bien connu que (surX?) H ?=N? i=1H ?i ainsi inf(1) = inf X?N i=1H ?i= infX?H?=-H??(0)

Barycentres dans l"espace de Wasserstein/6

Barycentres dans l"espace de Wasserstein19

Tandis que

sup f i?X,?fi=0F(f1,···,fN) = sup f i?X,?fi=0-? iH i(fi) =-H(0) commeHest continu en0on a l"égalité. Pour montrer l"existence defioptimaux (dansYet pasX) il faut travailler un peu....

Barycentres dans l"espace de Wasserstein/7

Barycentres dans l"espace de Wasserstein20

Relations d"extrémalité. Soitμun barycentre i.e une solution de (1),γiun plan de transport optimal entreνietμ, etfi?Y,? ifi= 0solution du dual. On a N i=1λ i

2W22(νi,ν) =N?

i=1? R dSλifidνi+N? i=1? R dfidμ. et donc, on a pour chaquei i2W22(νi,ν) =? R dSλifidνi+? R dfidμ si bien queγiest portée par l"ensemble des(x,y)pour lesquels S

λifi(x) +fi(y) =λi

2|x-y|2

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