[PDF] Situations concr`etes exploitant des barycentres

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SBPMef

J. Bair

V. Henry

Situations concr`etes

exploitant des barycentres

Commission p´edagogique de la SBPMef

2008
Soci´et´e Belge des Professeurs de Math´ematique d"expression fran¸caise

Rue du Onze novembre 24, B 7000 Mons, Belgique

Situations concr`etes

exploitant des barycentres

Jacques BAIR

Val´erie HENRY

2008

D´epˆot l´egal: D/2008/7075/1

Avant-propos

Lors du Congr`es de la SBPMef organis´e`aLi`ege en aoˆut 2004, Christian Van Hooste

avait fait un int´eressant expos´eintitul´e "Plaidoyer pour la notion de barycentre - de 15 `a

18 ans". Il y montrait que le concept g´eom´etrique de barycentre intervient `a de multiples

reprises dans les cours de math´ematiques des trois derni`eres ann´ees du secondaire...ce qui lui permettait de conclure son r´esum´edel"´epoque par ce joli slogan: "le barycentre: une notion de poids dont le centre est partout! " A la suite de cette conf´erence, il nous a sembl´e opportun de prolonger l"´etude de Christian Van Hooste en montrant que le concept de barycentre admet de nombreuses applications non seulement dans le champ des math´ematiques pures, mais aussi au niveau des math´ematiques plus appliqu´ees.

C"est ainsi que nous avons rassembl´e, apr`es un premier chapitre fait de g´en´eralit´es com-

prenant notamment un bref historique, diverses situations concr`etes et simples montrant que les barycentres peuvent ˆetre exploit´es en m´ecanique, en statistique, en particulier pour des s´eries chronologiques et des graphiques triangulaires, en contrˆole flou ainsi que pour les courbes de B´ezier. Nous sommes reconnaissants envers les administrateurs de la SBPMef d"avoir bien voulu proposer notre manuscrit `asacommissionp´edagogique puis d"avoir accept´edele publier. Nous tenons encore `a remercier les membres de la Soci´et´e qui ont relu notre texte et nous ont communiqu´e diverses remarques et suggestions pour am´eliorer le travail original.

1G´en´eralit´es

1.1 Bref historique

C"est Archim`ede (287-212 avant J´esus-Christ), un des plus grands math´ematiciens grecs de l"Antiquit´e, qui introduisit la notion de centre de gravit´e. On lui doit notamment leprincipe du levier 1 selon lequel un levier est en ´equilibre lorsque les moments des deux forces motrice-→F A appliqu´ee au pointAet r´esistante-→F B appliqu´ee au pointBpar rapport au point d"appuiOsont ´egaux et oppos´es; en d"autres termes, les modulesF A etF B de ces deux forces et les distancesd A etd B des points d"applicationAetBau point d"appui

Ov´erifient cette ´egalit´e

F A ×d A =F B ×d B Nous disons aujourd"hui que le point d"appuiOdu levier `al"´equilibre est lecentre de gravit´eou lebarycentredes points d"applicationAetBpond´er´es respectivement par les distancesd A etd B Le motcentre de gravit´eprovient de l"adjectif latingravisqui signifielourdoupesant. Il fut utilis´e dans ce sens par des scientifiques des XVI `eme et XVII `eme si`ecle, notamment par le brugeois Simon Stevin (1548-1620; voir section 1.5) et le math´ematicien suisse P. Guldin (1577-1643) dans son ouvrage intitul´eDe centro gravitatis(1635). Les travaux du savant anglais I. Newton (1642-1727) mirent `a l"honneur le substantifgravitation`a partir du XVIII `eme si`ecle. Le pr´efixebarysignifie ´egalementlourd, mais provient lui du grecbarys.Ilestplus r´ecent puisqu"il apparaˆıt probablement pour la premi`ere fois dans l"ouvrageDer barycen- trische Calculpubli´e en 1827 par le math´ematicien-astronome allemand A. M¨obius (1790- 1868)
2 .Celui-cid´eveloppa le barycentre d"un point de vue purement math´ematique, en

le consid´erant comme un point "repr´esentatif" d"un ensemble de points affect´es de coeffi-

cients positifs ou n´egatifs. Il rendit donc cette notion ind´ependante de son interpr´etation

physique originelle et en fit un concept abstrait dont de nombreuses applications concr`etes furent trouv´ees ult´erieurement. De nos jours, la notion de barycentre est reli´ee ´etroitement `a celle d"ensembleconvexe,

dont les premi`eres ´etudes syst´ematiques sont dues au c´el`ebre math´ematicien allemand H.

Minkowski (1864-1909).

Dans l"espace num´eriqueR

n de dimensionnquelconque 3 , un ensemble convexe est 1

Un levier est constitu´e d"une barre rigide, de poids souvent n´egligeable, mobile autour d"un axe

d"appuiOsous l"action de deux forces qui tendent `a la faire tourner en sens oppos´es. 2

M¨obius est bien connu pour le ruban qui porte son nom; celui-ci est obtenu en collant une extr´emit´e

d"une bande de papier sur l"autre extr´emit´e, apr`es l"avoir retourn´ee, de sorte qu"est ainsi obtenue une

“surface poss´edant un seul cˆot´e".

3

Cette pr´esentation englobe ´evidemment les cas particuliers et classiques du plan (pourn=2)oude

l"espace (pourn= 3) muni d"un rep`ere cart´esien, souvent (mais pas n´ecessairement) suppos´e orthonorm´e;

elle peut ˆetre g´en´eralis´ee sans peine `a tout espace vectoriel r´eel, mˆeme de dimension infinie.

2 caract´eris´e par le fait que le segment de droite reliant deux quelconques de ses points est enti`erement inclus dans l"ensemble (Figure 1). Figure 1: Ensemble convexe et ensemble non convexe Il apparašt en eet que tout barycentre de points, pond´er´es par des coecients r´eels non n´egatifs, nest rien dautre quun point appartenant `alenveloppe convexede ces points, c"est-`a-dire `a l"intersection de tous les ensembles convexes comprenant les points en question. Grˆace notamment aux d´eveloppements r´ecents de lag´eom´etrie convexe,lanotionde barycentre est de nos jours largement exploit´ee en physique, en statistique, en ´economie, en

gestion,...; en particulier, elle intervient de fa¸con d´ecisive pour r´esoudre des probl`emes

concrets comme la prise de d´ecision face `a des informations vagues ou encore pour con- cevoir des formes harmonieuses `a donner `a des carrosseries d"automobiles. Lespagesquivontsuivrevisent`a donner un petit aper¸cu de telles applications, peut- ˆetre moins courantes mais concr`etes et pour la plupart modernes, de la notion de barycen- tre. Mais auparavant, nous allons profiter dans la structure vectorielle des espaces con-

sid´er´es pour d´efinir ponctuellement le concept de barycentre; cette d´efinition sera ensuite

illustr´ee par quelques cas particuliers parmi les plus simples.

1.2 Pr´esentation ponctuelle

Consid´eronsppointsP

i , chacun d"eux ´etant affect´e d"un coefficient r´eel (appel´eparla suitepoids)λ i positifounul,avecdeplus? p i=1 i =0.

Le barycentre desppoints pond´er´esP

i i ) est le pointGd´efini par l"´egalit´e vectorielle p i=1 i -→PG= p i=1 i --→PP i o`uPd´esigne un point quelconque. 3 Il est `anoterqueGne d´epend qu"en apparence du choix deP, car le remplacement dePpar un autre pointQdonnerait un barycentreG telque,ennotantsimplementλ la somme? p i=1 i

λ--→QG

p i=1 i --→QP i p i=1 i ?-→QP+--→PP i =λ-→QP+ p i=1 i --→PP i =λ-→QP+λ-→PG =λ-→QG de sorte queG=G En particulier, si l"on prend pourPl"origineOde l"espace, on obtient cette ´egalit´e: -→OG= p i=1 i --→OP i

Or, dans l"espaceR

n , pour un point arbitraireX`ancoordonn´ees, le vecteur--→OX poss`ede pr´ecis´ement les mˆemes composantes que les coordonn´ees correspondantes deX; de la sorte, len-uple (x 1 ,x 2 ,...,x n )peutˆetre regard´e indiff´eremment comme repr´esentant le pointXou le vecteur--→OX 4 .Ainsi,toute´egalit´e vectorielle peut ˆetre traduite ponctuelle- ment et une alg`ebre peut ˆetre instaur´ee entre les points deR n . La somme de deux points X=(x 1 ,x 2 ,...,x n )etY=(y 1 ,y 2 ,...,y n ) est le point

X+Y=(x

1 +y 1 ,x 2 +y 2 ,...,x n +y n tandis que le produit du pointX=(x 1 ,x 2 ,...,x n )parler´eelλest le point

λX=(λx

1 ,λx 2 ,...,λx n En cons´equence, le barycentreGdesppoints pond´er´esP i i ) est donn´epar G= p i=1 i λP i Cette formule montre queGappartient `a l"enveloppe convexe des pointsP 1 ,P 2 ,...,P p puisque cette derni`ere est compos´ee de tous les points de la forme? p i=1 i P i pour des r´eelsα i non n´egatifs tels que? p i=1 i = 1 (Figure 2). 4

Dans la suite, nous privil´egierons souvent la notation ponctuelle. Nous laissons le soin au lecteur

d"opter pour l"une ou l"autre approche et ´eventuellement d"adapter le texte en cons´equence. 4 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6

Figure 2: Enveloppe convexe de 6 points

1.3 Coordonn´ees de barycentres dans le plan et dans l"espace

Appliquons la th´eorie expos´ee ci-dessus dans les cas les plus familiers. Le barycentreGde deux points pond´er´esA(α)etB(β), avecα+β?=0,dansleplan ou l"espace muni d"un rep`ere d"origineO,poss`ede pour coordonn´ees dans ce rep`ere:

•dans le plan, siA=(x

A ,y A )etB=(x B ,y B x G =αx A +βx B

α+β,y

G =αy A +βy B

•dans l"espace, siA=(x

A ,y A ,z A )etB=(x B ,y B ,z B x G =αx A +βx B

α+β,y

G =αy A +βy B

α+β,z

G =αz A +βz B Le barycentre de plus de deux points peut ˆetre obtenu en exploitant, plusieurs fois si n´ecessaire, la propri´et´ed"associativit´e 5 . Par exemple, recherchons le barycentreGdes

trois points pond´er´esA(α),B(β)etC(γ), avecα+β+γ?=0.Siα+β?=0,d´eterminons

le barycentreKdeA(α)etB(β). Le pointGs"obtient en construisant le barycentre des deux points pond´er´esK(α+β)etC(γ), puisque (α+β)K+γC

αA+βB

+γC +β+γ=αA+βB+γC+β+γ=G 5

Elle est valable non seulement dans le plan ou dans l"espace, mais´egalement dans tout espace vectoriel,

et avec une d´emonstration similaire. 5

1.4 Barycentres de points pond´er´es

Dans le plan, les barycentres de points pond´er´es peuvent ˆetre ais´ement construits

g´eom´etriquement lorsque le nombrepde points pond´er´es est peu ´elev´e. Contentons-nous

de d´etailler les premiers cas, en commen¸cant par la recherche d"isobarycentres,c"est-`a-dire de barycentres de points dont les poids sont suppos´es ˆetre tous unitaires. -Pourp= 2, l"isobarycentreGde deux pointsP 1 etP 2 co¨ıncide avec le milieu du segmentdedroited"extr´emit´esP 1 etP 2 . On a en effet cette ´egalit´e: G=?x 1 +x 2 2,y 1 +y 2 2? =P 1 +P 2 2. -Pourp= 3, nous admettrons que les trois pointsP 1 ,P 2 ,P 3 envisag´es ne sont pas align´es, de sorte qu"ils sont les sommets d"un triangle. Le point iso-barycentrique Gest le point d"intersection des trois m´edianes du triangle, situ´e aux deux tiers de chacune d"elles en partant du sommet. En effet, en d´esignant parM i le milieu du cˆot´eoppos´e au sommetP i , on dispose de ces ´egalit´es G=P 1 +P 2 +Pquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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