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A. Opérateur de Volterra
1)On aV(f)?=fetV?(f)?=-f
Par intégration par parties
π/2
0 f(t)V?(g)(t)dt=V(f)(0)=V?(g)(π/2)=0.
obtient : V(g)>. DoncV?◦Vest un endomorphisme symétrique. suppose que3)On a alorsV?◦V(f)(fλ)=λfλ.
CommeV?◦V(fλ) estC1et (V?◦V(fλ))?=-(V(fλ)) et puisqueV(fλ) est C1aussi etV(fλ)?=fλ:
alorsfλ=1λV?◦V(f)(fλ) estC2etλf??
λ=-fλ.
De plusV?◦V(f)(π/2)=0 et queV(f)(0)=0, alorsfλ(π/2)=f?λ(0)=0.
4)D"après la question précédente, siλest une valeur propre deV?◦Valors
fλvérifie???
?y ??+1λ y=0 y ?(π2 )=y(0)=0Réciproquement sifλvérifie
?y ??+1λ y=0 y ?(π2 )=y(0)=0 1 Comme ?V?◦V(fλ)???=-fλ, alors (λfλ-V?◦V(fλ))??=0 Donc (λfλ-V?◦V(fλ))?=cte, en évaluant enπ2 ,cte=0 Alorsλfλ-V?◦V(fλ)=cte, en évaluant en 0,cte=0, par conséquentλfλ-V?◦V(fλ)=0
Ainsiλest une valeur propre deV?◦Vsi et seulement sifλ?vect(x→ cos(1?λ
x),x→sin(1?λ x)) etfλ(π/2)=0=f?λ(0) ceci est équivalent àfλ?
vect(x→cos(1?λ x)) etfλ(π/2)=0=f?λ(0) si et seulement si cos(1?λ
π20 si et seulement si il existen?Ztq1?λ
π2 =π2 +nπsi et seulement si il existen?Ntel queλ=1(2n+1)2. et dans ce casE1(2n+1)2=vect(x?-→cos((2n+1)x)) qui est de dimension 1.B. Théorème d"approximation de Weirstrass
5)Il est évident queSn(Ω)={0,1,...,n} et queSnsuit une loi binômiale de
paramètres (n,x), alors?k?{0,1,...,n},P(Sn=k)=Cknxk(1-x)n-k. l"espéranceestlinéairedoncE(Sn)=n? k=1E(Xk)=nx,etV(Xk)=n? k=1V(Xk) car lesXksont mutuellement indépendantes, doncV(Sn)=nx(1-x). 6)On? |kn -x|≥αx k(1-x)n-k=P(? |kn -x|≥α(Sn=k))Soitω?Ω, alors :
|kn -x|≥α(Sn=k)=? ?k?{0,1,...,n},Sn(ω)=k et|kn -x|≥αSn(ω)n
-x|≥α =?ω?(|Snn -x|≥α) Donc |kn -x|≥α(Sn=k)?(|Snn -x|≥α), donc P(? |kn -x|≥α) 2OrP(|Snn
2α2
c"est d"après l"inégalité de Bienaymé-Tchibychev. MaisV(Sn)n
2α2=nx(1-x)n
7)D"une partf(x)=n?
tème complet d"événements, alors :Bn(f)(x)=n? k=0Cknxk(1-x)n-kf(knEtE(Sn)=n?
k=0kCknxk(1-x)n-k, donc :E(Snn )=n? k=0knP(Sn=k)
Par application du théorème de Transfert, on a : E f?Snn =n? k=0f?knP(Sn=k)=n?
k=0f?kn C knxk(1-x)n-k=Bn(f)(x) Donc B n(f)(x)-f(x)=n? k=0Cknxk(1-x)n-k? f(kn )-f(x)? fest continue sur le segment [0,1] donc uniformément continue, alors pour?>0,?α>0 tq|x-y|<α=?|f(x)-f(y)|2D"autre part si on considère
I=? k?{0,1,...,n}/|kn -x|<α? etJ=? k?{0,1,...,n}/|kn -x|≥α? , on aI?J={0,1,...,n}etI?J=Ø.Donc :
k?ICknxk(1-x)n-k|f(kn )-f(x)|+? k?JCknxk(1-x)n-k|f(kn )-f(x)| ?2 k?ICknxk(1-x)n-k|+2??f??∞? k?JCknxk(1-x)n-k ?2 +2??f??∞? k?JCknxk(1-x)n-k ?2 +2??f??∞14nα2Donc sup
gence uniforme deBn(f) versfsur [0,1]. 3 C. Développement deV?◦V(f)en série trigonométrique8)Soitm?N, ett?R, alors
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