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Partie II

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SADIK Omar CPGE FES Corrigé du concours Mines ponts 2015

A. Opérateur de Volterra

1)On aV(f)?=fetV?(f)?=-f

Par intégration par parties

= -[V(f)V?(g)]π/20+?

π/2

0 f(t)V?(g)(t)dt=. car

V(f)(0)=V?(g)(π/2)=0.

obtient : V(g)>. DoncV?◦Vest un endomorphisme symétrique. suppose que=0, alorsV(f) est nulle, doncV(f)?=f=0, alorsV?◦Vest défini positif. Soitλune valeur propre deV?◦Vqui existe car elle est symétrique, il existe alorsfnon nulle deEtelle queV?◦V(f)=λf, alors : =<λf,f>=λ. Comme les deux quantitésetsont strictement positif, alorsλ>0.

3)On a alorsV?◦V(f)(fλ)=λfλ.

CommeV?◦V(fλ) estC1et (V?◦V(fλ))?=-(V(fλ)) et puisqueV(fλ) est C

1aussi etV(fλ)?=fλ:

alorsfλ=1λ

V?◦V(f)(fλ) estC2etλf??

λ=-fλ.

De plusV?◦V(f)(π/2)=0 et queV(f)(0)=0, alorsfλ(π/2)=f?

λ(0)=0.

4)D"après la question précédente, siλest une valeur propre deV?◦Valors

f

λvérifie???

?y ??+1λ y=0 y ?(π2 )=y(0)=0

Réciproquement sifλvérifie

?y ??+1λ y=0 y ?(π2 )=y(0)=0 1 Comme ?V?◦V(fλ)???=-fλ, alors (λfλ-V?◦V(fλ))??=0 Donc (λfλ-V?◦V(fλ))?=cte, en évaluant enπ2 ,cte=0 Alorsλfλ-V?◦V(fλ)=cte, en évaluant en 0,cte=0, par conséquent

λfλ-V?◦V(fλ)=0

Ainsiλest une valeur propre deV?◦Vsi et seulement sifλ?vect(x→ cos(

1?λ

x),x→sin(1?λ x)) etfλ(π/2)=0=f?

λ(0) ceci est équivalent àfλ?

vect(x→cos(1?λ x)) etfλ(π/2)=0=f?

λ(0) si et seulement si cos(1?λ

π2

0 si et seulement si il existen?Ztq1?λ

π2 =π2 +nπsi et seulement si il existen?Ntel queλ=1(2n+1)2. et dans ce casE1(2n+1)2=vect(x?-→cos((2n+1)x)) qui est de dimension 1.

B. Théorème d"approximation de Weirstrass

5)Il est évident queSn(Ω)={0,1,...,n} et queSnsuit une loi binômiale de

paramètres (n,x), alors?k?{0,1,...,n},P(Sn=k)=Cknxk(1-x)n-k. l"espéranceestlinéairedoncE(Sn)=n? k=1E(Xk)=nx,etV(Xk)=n? k=1V(Xk) car lesXksont mutuellement indépendantes, doncV(Sn)=nx(1-x). 6)On? |kn -x|≥αx k(1-x)n-k=P(? |kn -x|≥α(Sn=k))

Soitω?Ω, alors :

|kn -x|≥α(Sn=k)=? ?k?{0,1,...,n},Sn(ω)=k et|kn -x|≥α

Sn(ω)n

-x|≥α =?ω?(|Snn -x|≥α) Donc |kn -x|≥α(Sn=k)?(|Snn -x|≥α), donc P(? |kn -x|≥α) 2

OrP(|Snn

2α2

c"est d"après l"inégalité de Bienaymé-Tchibychev. Mais

V(Sn)n

2α2=nx(1-x)n

7)D"une partf(x)=n?

tème complet d"événements, alors :Bn(f)(x)=n? k=0Cknxk(1-x)n-kf(kn

EtE(Sn)=n?

k=0kCknxk(1-x)n-k, donc :E(Snn )=n? k=0kn

P(Sn=k)

Par application du théorème de Transfert, on a : E f?Snn =n? k=0f?kn

P(Sn=k)=n?

k=0f?kn C knxk(1-x)n-k=Bn(f)(x) Donc B n(f)(x)-f(x)=n? k=0Cknxk(1-x)n-k? f(kn )-f(x)? fest continue sur le segment [0,1] donc uniformément continue, alors pour?>0,?α>0 tq|x-y|<α=?|f(x)-f(y)|D"autre part si on considère I=? k?{0,1,...,n}/|kn -x|<α? etJ=? k?{0,1,...,n}/|kn -x|≥α? , on aI?J={0,1,...,n}etI?J=Ø.

Donc :

k?ICknxk(1-x)n-k|f(kn )-f(x)|+? k?JCknxk(1-x)n-k|f(kn )-f(x)| ?2 k?ICknxk(1-x)n-k|+2??f??∞? k?JCknxk(1-x)n-k ?2 +2??f??∞? k?JCknxk(1-x)n-k ?2 +2??f??∞14nα2

Donc sup

gence uniforme deBn(f) versfsur [0,1]. 3 C. Développement deV?◦V(f)en série trigonométrique

8)Soitm?N, ett?R, alors

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