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PC *| corrige de Mines-Ponts PSI Maths 2 20151 PC *| mathematiques avril 2015 Corrige de l'epreuve 2 du concours Mines-Ponts PSIQuestion 1.Le calcul donnetJ =J et J2=I2n. La matrice J est antisymetrique et inversible, d'inverseJ.

Remarque.On obtient en particulier la relationtJJ = I2n, qui prouve que J est une matrice orthogonale.

Une autre maniere de voir cela est de constater que les colonnes de J sont, a l'ordre pres et au signe pres,

les vecteurs de la base canonique deMn;1(R), si bien qu'ils en forment une base orthonormale.Question 2.L'egalitetJJ = I2ndonnetJJJ = J donc J2 Sp2n.

Soit2R. Le calcul donne

JK() =InIn

I n0 puis tK()JK() =InIn 0 I n InIn I n0 =0In I n0 = J donc K()2 Sp2n.Question 3.Soit U2 Gn. Le calcul donne JL

U=0tU1

U 0 puis tLUJU = tU 0 0 U 1 0tU1 U 0 =0In I n0 = J donc L

U2 Sp2n.Question 4.Question mal posee puisque la reponse a cette question est le but de la derniere partie.

Implicitement, ce qui est demande est de donner une condition necessaire sur det(M) si M est une matrice

symplectique.

Soit M2 Sp2n. L'egalitetMJM = J donne

det( tM)det(J)det(M) = det(J) puis det(M)2det(J) = det(J):

Le determinant de J n'est pas nul donc det(M)

2= 1 donc det(M) vaut 1 ou1.

J'imagine que c'est ce qui est attendu dans cette question et pourtant, la valeur1 n'est pas possible,

comme demontre a la question 19.Question 5.Soient M et N dansSp2n. t (MN)J(MN) =tN(tMJM)N =tNJN = J

donc MN2 Sp2n.Question 6.Soit M2 Sp2n. On sait deja que det(M) n'est pas nul donc M est inversible. De plus, en

partant de l'egalite tMJM = J, en multipliant a gauche partM1et a droite par M1, on obtient J = tM1JM1; donc tM2 Sp2n. PC *| corrige de Mines-Ponts PSI Maths 2 20152 Question 7.Soit M2 Sp2n. On part de l'egalite J =tM1JM1et on passe a l'inverse J

1= MJ1tM:

L'egalite J

1=J donne alors J = MJtM donctM2 Sp2n.Question 8.On trouve d'abord

JM =CD

A B puis tMJM = tAtC tBtD CD A B =tAC +tCAtAD +tCB tBC +tDAtBD +tDB Une condition necessaire pour que M soit symplectique est donc qu'elle verie les egalites t

AC =tCA;tBD =tDB;tADtCB = In:

Les deux premieres conditions signient que les matrices

tAC ettBD sont symetriques.Question 9.Les multiples de Incommutent avec toutes les matrices. De plus, les matrices I2netI2n

appartiennent bien aSp2n(calcul direct). On en deduit l'inclusionfI2n;I2ng Z.Question 10.La matrice L =InIn 0 I n s'ecrit tK(1) (question 2) donc c'est un element deSp2n. Elle commute donc avec M. On trouve LM =

A + C B + D

C D et ML =A A + B

C C + D

donc

A + C = A et B + D = A + B

donc C = 0 et A = D.

Par ailleurs, la transposee de L est aussi un element deSp2n(question 7) donc elle commute avec M. Le

calcul donne tLM =A B

A + C B + D

et MtL =A + B B

C + D D

donc A = A + B donc B = 0. Il reste

M =A 0

0 A donc det(M) = det(A)

2donc det(A)6= 0. La matrice A est inversible.Question 11.La matrice LUest dansSp2n(question 3) donc elle commute avec M. On trouve

L

UM =UA 0

0 tU1A et ML

U=AU 0

0 A tU1

donc A commute avec U.Question 12.Soit (i;j) un couple d'indices distincts de [[1;n]]. La matrice In+ Ei;jest de determinant 1

donc elle est inversible donc elle commute avec A.

La matrice A(I

n+ Ei;j) est obtenue a partir de A en eectuant Cj Cj+ Ci.

La matrice (I

n+ Ei;j)A est obtenue a partir de A en eectuant Li Li+ Lj. L'egalite de ces deux matrices donne donc, en regardant le coecient de position (i;j) a i;j+ai;i=ai;j+aj;jdoncai;i=aj;j: PC *| corrige de Mines-Ponts PSI Maths 2 20153 En regardant le coecient de position (j;j), on obtient a j;j+aj;i=aj;jdoncaj;i= 0:

La matrice A est donc un multiple de I

n. Les egalites det(A)2= det(M) et det(M) =1 donnent que A vaut I nouInpuis que M vaut I2nouI2n.

Cela prouve l'inclusion deZdansfI2n;I2ng. Par double inclusion, ces deux ensembles sont egaux.Question 13.Soient Q;U;V;W des matrices deMn. Le calcul donne

InQ 0 I n U 0 V W =U + QV QW V W

Il sut donc de poser

V = C;W = D;Q = BD1;U = ABD1C

pour que ce produit soit egal a M.Question 14. A la question 8, on a obtenu l'egalitetBD =tDB. En multipliant a droite par D1et a gauche par sa transposee, on en deduit l'egalite tD1tB = BD1, ce qui prouve que la matrice BD1est symetrique.

Par ailleurs, la decomposition de la question precedente donne (en exploitant le determinant des matrices

triangulaires par blocs) det(M) = det InQ 0 I n detU 0 V W = det(I n)det(In)det(U)det(W) = det(ABD1C)det(D): Rappelons qu'une matrice a le m^eme determinant que sa transposee. det(ABD1C) = det(tAtCt(BD1)) = det(tAtCBD1):

On en tire l'egalite

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