[PDF] 6. Algèbre : calcul littéral et équations du 1er degré.

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- 1 - Algèbre

A. Arnautovic

6. Algèbre : calcul littéral et équations du 1er degré.

§ 6.1 Calcul littéral

Définition :

Le calcul littéral consiste principalement

1 à regrouper (réduire) des expressions algébriques

. Une expression algébrique est une succession de nombres et de lettres. Les lettres désignent des

variables ou des inconnues.

Exemples :

1) 2547xx

2) 45332xyxyx

3) 22

324243ab ab b ab ab b

4) 344xyxy

5) 2xxyy

La distributivité : ()abc abbc

Exemples :

1) 3(4 )x

2) (2)xx

3) 2( 2)xxx

4) 2( )xy

5) 3(1 )xx

6) (2)x

7) (2 3)x

Exercice 1 :

Réduire les expressions suivantes :

1) 2) 32323

2835aaaaa

2

234 324xyx xyx

3) 4) 22
56aa
22

38 65xxxx

5) 6) 33

826 235xx xx

22

25 328aaa

1

Les factorisations font également partie du calcul littéral et d'une manière générale toutes les opérations d'addition,

soustraction et multiplication des expressions algébriques. - 2 - Algèbre

A. Arnautovic

Exercice 2 :

Calculer et réduire:

1) xx 2) 1b 3) 4) 5) 35 2a
3 25xx

52 34bc cb

6) 22

23525aa a a a

Exercice 3

Calculer et réduire:

1) 37x

2) 2 3aa 3) 2

43 5 32aa a

4) 53x

5) 2 3xx 6) 22

45223xx xx

7) 5xy

8) 22
32aaa

9) 24a

10) 35 2 8 4xx

4

11) 83 521ab ab

12) 232

23 5xx x x x

13) 32 4 2ab ab

Exercice 4

Calculer et réduire:

1) 2) 3)

45 8 3 5xx

3 232

523xx x x x

34 33xyxy

4) 5) 6) 2

352 8 5aa a a

232

2xx x x x

2

33 38aaaa

- 3 - Algèbre

A. Arnautovic

Exercice 5

Calculer et réduire:

1) 2) 3) 3343

34 8 5 3aa a a a

22

53 24xy yx

22

32a b ab a b ab

4) 5)

532513xx

33
35
xax x ax 6)

42 323xx

Exercice 6

Calculer et réduire:

1) 44
88xx
2) 3) 33 2

33443aa aa

2

42 25 8xx xx

4) 5) 6) 7) 3 333aa
32 5

68125xx x

6 9 12 15 11abc b c a

578xyxy

Exercice 7

Calculer et réduire:

1) 2) 3)

345 23abc abc

732 256 1xy xxy

3232xxy x xy xy x

4) 22

23 94 5aa a a

5)

4233aab a ab ab b

6) 22

65 34 3xx x x

7) 2

232 5 2aaababaa a

La maitrise du calcul littéral est indispensable pour la résolution d'

équation.

- 4 - Algèbre

A. Arnautovic

§ 6.2 Equations et techniques de résolution :

Vocabulaire :

Une équation (à une inconnue) est une égalité qui contient une inconnue ( un nombre souvent désigné par la lettre x).

Une solution de l'équation est un nombre qui substitué dans l'équation (en lieu et place de la

lettre) rend l'égalité vraie. Résoudre une équation signifie " trouver toutes ses solutions ».

Exemple :

2

324xxx est une équation d'inconnue x

3 n'est pas une solution car : ..............................

Le nombre 1 est une solution car : ................................. Une autre solution est , car : ................................................ (2)x

Remarque :

Il n'y a pas besoin de savoir résoudre une équation pour tester si, oui ou non, un nombre donné est

solution. Et il est toujours possible d'effectuer une vérification quand on pense avoir trouvé une

solution.

Exercice 8 :

a) Montrer que 2 est solution de l'équation 5127xx b) Montrer que 3 2 est solution de l'équation 3851xx1

Définition :

On dit que deux équations sont équivalentes si elles ont le même ensemble de solutions. - 5 - Algèbre

A. Arnautovic

Les techniques de résolution des équations s'appuient sur les p ropriétés ci-dessous.

Les propriétés de l'égalité :

Une égalité vraie reste vraie :

- P1 : si on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres ; - P2 : si on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul. Enfin, si on ajoute ou si l'on soustrait deux égalités vraies on ob tient une égalité vraie.

Exemples :

a) b) 1413 8x8x

Exercice 9 :

Résoudre les équations suivantes : (voir P1) a) d) 1715 12x15x b) e) 1713 14x15x c) f) 15 1812 6xx

Exercice 10 :

Est-ce que 3 est solution de l'équation

15 1 24 3

24 53xxx x

- 6 - Algèbre

A. Arnautovic

Exercice 11 :

a) Est-ce que 1 est solution de l'équation

1743122xxx

2 ?

b) Est-ce que est solution de l'équation 1

1743122xxx

2 ?

L'utilisation des propriétés P1 et P2 permet la résolution d'équations plus complexes.

Exemples :

a) 3 b) 24x93x c) 351x7 - 7 - Algèbre

A. Arnautovic

Exercice 12 :

Résoudre les équations suivantes :

a) 10 11xb) 13 169xc) 12 18x d) 124x e) 1012x f) 5 125xg) 324x h) 234x3

Exercice 13 :

a) Montrer que 5 2 est solution de l'équation 22

342 2 12

xxxx b) Est-ce que 1 2 est solution de l'équation 32
51222
2 xxxx ?

Exercice 14 :

Résoudre les équations suivantes :

a) 32 c) 4121x1111x b) 21012x d) 78x 5 Pour résoudre une équation on la transforme, par ét ape. Il faut bien sûr qu'à chaque étape, les

équations obtenues soient équivalentes.

Méthode :

Simplifier au maximum chacun des membres en utilisant les propriétés du calcul littéral (développer, distribuer, réduire, ...) pour se ramener à une équation plus facile à résoudre.

Isoler et regrouper les termes contenant l'inconnue dans un membre de l'égalité (par exemple à gauche) et les autres dans l'autre membre (par exemple à droite). Pour cela on utilise les propriétés de l'égalité.

Conclure en donnant l'ensemble solution, noté S.

Exemple :

9( 1) 4 5 3xxx (on effectue la distributivité)

99453xxx (on réduit les deux membres)

592xx (on " passer » le x à gauche et le 9 à droite)

(on divise les deux membres par 6) 52xx9
67x
7 6x 7 6S - 8 - Algèbre

A. Arnautovic

Trois situations sont possibles :

1) Une équation admet une solution a (ou plusieurs si l'équation est d'ordre supérieur à 1).

On écrit alors :

{}Sa

2) Une équation n'admet pas de solution. On écrit alors S ou {}S.

3) Une équation admet une infinité de solutions. On écrit alors : S

Exemples :

1) 2328xx

3

Or comme

0, 228xx
05 5 on a obtenu une égalité fausse !

Ainsi : S

2)333(1xx)

3333xx

333xx3

00

La dernière égalité est toujours vraie !

Quelque soit la valeur de x,

l'équation est satisfaite.

Donc : S

Exercice 15 :

a) 78 1 13 4 1 6xx b) 434 244 3xx c) 625 358 4xx d) 35 2 7632xx

Exercice 16 :

a) Donner un exemple d'équation dont la solution est 3x b) Donner un exemple d'équation dont la solution est 3 2x

Méthode du D.C. (dénominateur commun)

Si l'on rencontre une équation avec des fractions il est bien plus aisé de se débarrasser le plus rapidement possible de l'écriture fractionnaire. Pour cela on place tous les monômes sur le même dénominateur. En vertu de P2 on peut tout multiplier par le DC et l'équation à résoudre devient d'un coup nettement plus simple.

La suite de la résolution est standard.

Exemple :

524323xx

- 9 - Algèbre

A. Arnautovic

Exercice 17

Résoudre les équations suivantes: (réponses irréductibles). 1)

282315x

2) 731

13 4 26

x 3)

32587x

4) 59 1

12 20 30x

5) 42 7

53 15x

6) 53 7

64 12x

Exercice 18

Résoudre les équations suivantes: (réponses irréductibles). 1) 32
49x1
3 2)

2523633xx

3)

43854x

4) 25 3

58 20x

Exercice 19

Le quadruple d'un nombre, augmenté de 3 égale 47. Quel est ce nombre ? (Justifier.)

Exercice 20

Trouver deux nombres tels que le deuxième soit égal au triple du premier et que leur somme soit

égale à 76.

Exercice 21

Trouver deux nombres tels que le deuxième soit égal au quintuple du premier et que leur somme soit égale à 138.

Exercice 22

Partager 4800 fr. entre deux personnes de telle sorte que la part de la deuxième soit égale au triple de la part de la première.

Exercice 23

Partager 740 fr. entre deux personnes de telle sorte que la deuxième reçoive 300 F de moins que la

première.

Exercice 24

Pour trouver le prix d'une course en taxi, on co

mpte 1,50 Fr. par kilomètre puis on ajoute 3,50 Fr. de prise en charge. Calculer la longueur d'un trajet qui a coûté 45,50 Fr.

Exercice 25

Pour trouver le montant de ma facture d'électricité, je compte l'abonnement à 48 Fr. par période. Il

faut ajouter à cela 14 cts le KWH. Quelle a été ma consommation en KWH : si le montant de la facture est de 250,30 Fr. pour une période ?

Exercice 26

En multipliant un nombre par 4 puis en ajoutant 12, on obtient le même résultat que si on avait

multiplié ce nombre par 6. Quel est ce nombre ? - 10 - Algèbre

A. Arnautovic

Solutions

Ex 1 : 1) ; 2)

3 23aa
22

45xxy ; 3)

2 a 4) 2

39xx ; 5)

3

651xx1 ; 6)

2 23aa

Ex 2 : 1)

2 x ; 2) b ; 3) 30 ; 4) a 4

10x ; 5) 95bc ; 6)

32

2415aa a

Ex 3 : 1) 21x ; 2) ; 3) ; 4) 5

3 3a 2

12aa15x ; 5)

3

3xx ; 6)

2

10 16xx ; 7) 55xy

8) ; 9) ; 10) 7

43

32aa a

2

402a1x ; 11) 31ab ; 12)

32

614xx ; 13) 10 7ab

Ex 4 : 1) ; 2) 2717x

32

14 7xx ; 3) 12 13xy ; 4)

2

7aa ; 5)

3 3 2 xx ; 6) a

Ex 5 : 1) ; 2)

43

17 5aa

2

9xy ; 3) ; 4)

2

5ab51x ; 5) 8ax ; 6)98x

Ex 6 : 1)

4

16x ; 2) ; 3)

3 27a
2

32xx ; 4)

3

33aa3 ; 5)

87

30 40 60

5 xxxquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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