[PDF] 5. Calcul littéral et équations

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5. Calcul littéral et équations

1.Développeretfactoriser

Activité d"introduction :

Les lettresa,b,cetddésignent des nombres positifs.ab c d 1. Écris l"aire du grand rectangle ci-dessus sous la forme d"un pro duit. 2. Écris l"aire du grand rectangle ci-dessus sous la forme d"une somme. 3. Quelle égalité p eux-tudéduire des deux questions précéden tes?

Solution:

1.Aire= (a+b)×(c+d).

2.Aire=a×c+a×d+b×c+b×d.

3.(a+b)×(c+d) =a×c+a×d+b×c+b×d.Définition

Développersignifie transformer un produit en somme ou en différence.Définition Factorisersignifie transformer une somme ou une différence en un produit.1

Propriété (admise)

Pour tous nombres relatifsa,betk, on a

k(a+b) =ka+kb.Exemple : Développe les expressions suivantes :

Forme produitA = 6(4x + 8)

B = 5(9-3y)

C = -3(5z- 4)Forme développéeA = 24x + 48

B = 45 - 15y

C = -15z + 12Propriété (admise)

Pour tous nombres relatifsa,b,cetd, on a

(a+b)(c+d) =ab+ac+bc+bd.Exemple : Développe et réduisA= (x+ 5)(2x+ 1).

A=x×2x+x×1 + 5×2x+ 5×1

= 2x2+x+ 10x+ 5 = 2x2+ 11x+ 5Exercices: Sésamath p 20, p 21 (ex 5 à 8) et p 24. 2

2.Identitésremarquables

Activité d"introduction :

1. Marc affirme a voirétabli l"égalité suiv ante: (x+ 2)2=x2+ 22.

En effet, six= 0, on a

(0 + 2)

2= 22= 4et02+ 22= 0 + 4 = 4.

Qu"en penses-tu?

2. Les lettres aetbreprésentent des nombres positifs.ab a b (a) Écris l"aire du c arréde côté a+bsous la forme d"un produit. (b) Écr isl"aire du car réde côté a+bsous la forme d"une somme. (c) Q uelleégalité p eux-tudédu iredes deux que stionsprécéden tes?

Solution:

1.L"égalité est fausse car elle n"est pas vraie pour toutes les valeurs dex. Par exemple,

six= 1, on a (1 + 2)

2= 32= 9et12+ 22= 1 + 4 = 5.

2. (a) Aire= (a+b)×(a+b)ouAire= (a+b)2. (b)Aire=a2+ab+ba+b2=a2+ 2ab+b2. (c)(a+b)2=a2+ 2ab+b2. 3

Propriété

Pour tous nombres relatifsaetb, les égalités suivantes sont toujours vraies. (a+b)2=a2+ 2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a-b) =a2-b2→Carré de la somme →Carré de la différence →Produit de la somme par la différence.

Démonstration :

(a+b)2= (a+b)×(a+b) =a×a+a×b+b×a+b×b =a2+ab+ba+b2 =a2+ab+ab+b2 =a2+ 2ab+b2 (a-b)2= (a-b)×(a-b) =a×a+a×(-b) + (-b)×a+ (-b)×(-b) =a2-ab-ba+b2 =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 (a+b)×(a-b) =a×a+a×(-b) +b×a+b×(-b) =a2-ab+ba-b2 =a2-ab+ab-b2 =a2-b2Exemple : Développe les expressionsA= (x+ 6)2etB= (3x-4)2.

A= (x+ 6)2

=x2+ 2×x×6 + 62 =x2+ 12x+ 36B= (3x-4)2 = (3x)2-2×3x×4 + 42 = 9x2-24x+ 16Exemple : Factorise l"expressionC= 4x2-25.

C= 4x2-25

= (2x)2-52 = (2x+ 5)(2x-5)4 Exercices: Sésamath p 21 (ex 9), p 22, p 23 et p 25 à 28.

3.Équationsdupremierdegré

Activité d"introduction :

Voici deux programmes de calculs :

John-Cho isisun nom bre.

Multiplie-le par 11.

Ajout e17 au ré sultat.Pierre-Choisis un nom bre.

Divise-le par 2.

Soustra is4 au résultat.

1. John obtien t0 comme résultat. Quel nom brea-t-il c hoisi? 2. Pierr eobtien t64 comme résult at.Quel nom brea-t-il c hoisi?

3.En choisissant le même nombre de départ, John et Pierre trouvent le même résultat.

Quel nombre ont-ils choisi?

Solution:

1.11x+ 17 = 0??11x=-17??x=-1711

John a choisi-1711

2. x2 -4 = 64??x2 = 64 + 4??x2 = 68??x= 68×2??x= 136.

Pierre a choisi 136.

3.

11x+ 17 =x2

-4??11x-x2=-4-17??21x2=-21??21x= -21×2??21x=-42??x=-2.

Ils ont choisi le nombre -2.Définition

Uneéquationest une égalité comprenant un ou plusieurs nombres inconnus désignés par des lettres. On appelle ces nombres les inconnues de l"équation.Définition Unesolutionde l"équation est une valeur de l"inconnue pour laquelle l"égalité est vraie.5

Définition

Résoudreune équation c"est trouver toutes les solutions de l"équation.Propriété (admise)Lorsqu"on additionne ou qu"on soustrait un même nombre aux deux membres d"une

équation, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.Propriété (admise)

Lorsqu"on multiplie ou qu"on divise par un même nombre non nul les deux membres

d"une équation, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.Exemple : Résous l"équation12x-(x-5) = 4(x+ 2) + 1.

12x-(x-5) = 4(x+ 2) + 1??12x-x+ 5 = 4x+ 8 + 1

??11x+ 5 = 4x+ 9 ??11x-4x= 9-5 ??7x= 4 ??x=47

La solution de l"équation est

47
.Exercices: Sésamath p 32 et p 33.

4.Équationsproduits

Activité d"introduction :

Question ouverte : A quelle condition un produit est-il égal à zéro?

Solution:

Il faut qu"au moins un des facteurs soit égal à zéro. 6

Propriété (admise)

SoientAetB, deux expressions littérales.

A×B= 0??A= 0ou B= 0.Exemple : Résous les équations suivantes. (3x+ 2)(x÷5-4) = 09x2-49 = 0??3x+ 2 = 0oux÷5-4 = 0??(3x)2-72= 0 ??3x=-2oux÷5 = 4??(3x+ 7)(3x-7) = 0 ??x=-23 oux= 4×5??3x+ 7 = 0ou3x-7 = 0 ??x=-23 oux= 20??3x=-7ou3x= 7??x=-73 oux=73

Exercices: Sésamath p 34.

Exercices: Sésamath p 38 à p 42.

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