[PDF] Seconde 2 DM n°3 : 3 cercles inscrits dans un triangle équilatéral

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Seconde 2 DM n°3 : 3 cercles inscrits dans un triangle équilatéral 2013-2014 1

FIGURE 1 FIGURE 2

Un jardin a la forme d'un triangle équilatéral de côté 1. On dispose de trois arroseurs circulaires disposés selon la figure 1 ou la figure 2. (Les triangles ABC et A'B'C' sont deux triangles équilatéraux de côté 1). Les cercles sont tangents entre eux et aux côtés du triangle. Comparer les surfaces arrosées des deux systèmes. Seconde 4 DM n°2 : 3 cercles inscrits dans un triangle équilatéral 2012-2013

FIGURE 1 FIGURE 2

Un jardin a la forme d'un triangle équilatéral de côté 1. On dispose de trois arroseurs circulaires disposés selon la figure 1 ou la figure 2. (Les triangles ABC et A'B'C' sont deux triangles équilatéraux de côté 1). Les cercles sont tangents entre eux et aux côtés du triangle. Comparer les surfaces arrosées des deux systèmes Seconde 2 DM n°3 : 3 cercles inscrits dans un triangle équilatéral 2013-2014

SOLUTION

2 Calculons les rayons des cercles pour chaque figure.

FIGURE 1

Le point O est le centre de gravité du triangle ABC.

Posons R

1 = OH le rayon du grand cercle.

R

1 = OH = 1

3×AH = 1

3×3

2 = 3 6

Calculons R

2 = O1F le rayon d'un petit cercle.

On peut remarquer que BT = OT = OW =

1 3

×AH

Dans le triangle BVT rectangle en T,

aBVT = 90° - aVBT = 60°

Le triangle BVD est donc équilatéral.

Donc le triangle BDV est une réduction au tiers du triangle ABC.

Donc R

2 = R1

3 = 3 18 Seconde 2 DM n°3 : 3 cercles inscrits dans un triangle équilatéral 2013-2014

SOLUTION

3

Autre solution (plus longue)

On applique le théorème de Thalès, dans les triangles BFO1 et BGO, les droites (O1F) et (OG) étant parallèles.

On obtient :

R2

R1= BO1

OB

Or : OB = BO

1 + R1 + R2 = 2

3 ×3 2 = 3 3

On obtient le système :

R2 × 3

3 = 3

6 × BO1

BO

1 + R2 = 3

6 Soit

2R2 = BO1

BO

1+ R2 = 3

6

On en déduit R

2 = 3 18

L'aire des trois disques est alors :

A

1 = pR1² + 2pR2² = p´

3

6² +2´p´

3

18²= p´3

36 + 2´p´3

324 = 

1

12 + 1

54´p = 11

108p
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SOLUTION

4

FIGURE 2

O

1O2PN est un rectangle.

Posons l = A'N et R = O

1N : un rayon du cercle.

On a alors 2l + 2R = 1 car NP = O

1O2 =2R et A'N = PC' = l.

Dans le triangle A'NO

1 rectangle en N, on a tan aO1A'N = O1N

AN = R

l

Or tan

aO

1AN = tan 30° = 13

On a donc l = R

3 et 2R + 2R 3 = 1

D'où : R =

1 2(1 +

3) = 3 - 1

4

L'aire des trois disques est alors A

2 = 3 pR² = 3

8 (2 - 3) p

Autre méthode :

Montrons le résultat suivant :

Soit un triangle quelconque ABC et R le rayon de son cercle inscrit.

Alors Aire(ABC) = p´R avec p = AB + AC + BC

2 (demi-périmètre) Seconde 2 DM n°3 : 3 cercles inscrits dans un triangle équilatéral 2013-2014

SOLUTION

5

Aire(ABC) = Aire(AIB) + Aire(AIC) + Aire(BIC)

Aire(ABC) =

AB´IE

2 + AC´IF

2 + BC´IG

2 = AB + AC + BC

2 ´ R car R = IE = IF = IG = rayon du

cercle inscrit On a donc Aire(ABC) = p´R avec p = AB + AC + BC 2

Revenons à la figure 2 :

Pour des raisons de symétrie, le cercle inscrit au triangle demi-équilatéral A'DC' est un des trois cercles de rayon R. Le demi-périmètre du cercle du triangle A'DC' est p = 1 2

´(A'D + DC' + A'C')

p = 1 2 3 2 + 1

2 + 1 = 3 + 3

4 L'aire du triangle rectangle A'DC' est égale à : 1 2

´A'D´DC' = 3

8

Donc R =

A p = 3

8´4

3 + 3 = 3

2( 3 +

3) = 3 - 1

4

Comparons A

1 et A2

A

1 » 0,1019p et A2 » 0,1005p

La surface arrosée la plus grande correspond donc à la figure 1. L'écart est de 1,35% environ entre les deux aires).quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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