TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES
PR1. Propriété réciproque relative cercle circonscrit à un triangle rectangle. Si un triangle est défini par le diamètre d'un cercle et un autre point du.
Médiatrices des côtés dun triangle et cercle circonscrit
cercle circonscrit. Définitions et propriétés. Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
triangles-cercle-circonscrit.pdf
L'intersection des trois médiatrices d'un triangle correspond au centre du cercle circonscrit au triangle. Tracer une médiatrice. Il y a deux méthodes pour
CERCLE CIRCONSCRIT AU TRIANGLE
Construire le cercle circonscrit au triangle ABC. Expliquer la construction. 5) Marquer l'angle et afficher sa mesure. Que se passe-t
Médiatrice cercle circonscrit et médiane dun triangle
Illustration C est le cercle circonscrit au triangle ABC. Son centre O est le point de concours des trois médiatrices du triangle. C. B. A.
Chapitre 8 – Cercles et perpendiculaires
a) Propriété. Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. Démonstration. Soit ABC un triangle rectangle en B.
cours triangle rectangle et cercle circonscrit
Remarque : Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. Donnée. Conclusion. A. B. C. Le triangle ABC est rectangle
BERTRAND GAMBIER - Relation dEuler entre le cercle circonscrit à
Relation d'Euler entre le cercle circonscrit à un triangle et les cercles tangents aux trois côtés de ce triangle. Nouvelles annales de mathématiques 4e
4 Chap G3 TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE. TRIANGLE
1) Triangle inscrit dans un cercle cercle circonscrit à un triangle. Df: Si les trois sommets d'un triangle appartiennent à un même cercle
ENGAGER LES ELEVES DANS UNE REELLE ACTIVITE
Pour cela nous avons choisi un objet d'enseignement: le cercle circonscrit en cinquième. Dans une première partie nous analysons une "activité" de manuel
Chapitre 8 - Cercles et perpendiculaires
1- Cercle circonscrit à un triangle rectangle
a) Propriété Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse.Démonstration
Soit ABC un triangle rectangle en B.
Considérons la droite ( d ), médiatrice de [ AB ]. On appelle O le point d'intersection de ( d ) et [ AC ]. Comme ( d ) et ( BC ) sont perpendiculaires à ( AB ) : ( d ) // ( BC ). Dans le triangle ABC, ( d ) est donc parallèle à un côté et coupe un deuxième côté en son milieu.D'après la propriété de la droite des milieux, elle coupe le troisième côté en son milieu,
donc O est le milieu de [ AC ] et : OA = OC. Or O est sur la médiatrice de [ AB ] donc O est équidistant de A et de B.En définitive : OA = OB = OC .
Donc O est le centre du cercle circonscrit à ABC. CQFD ! b) Propriété réciproque Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle et il admet ce côté comme hypoténuse.Démonstration
Soit un cercle de centre O et de diamètre [ AB ] et soit un point C du cercle, distinct de A et de B.
On note : CAB=a et CBA=b
Le triangle AOC est isocèle en O donc :
OCA=OAC=a.Le triangle BOC est isocèle en O donc :
OCB=OBC=b. La somme des trois angles du triangle ABC égale 180°.Donc : a + b + ( a + b ) = 180°.
D'où : 2 a + 2 b = 180°.
Par conséquent : 2 ( a + b ) = 180°.
Et par suite : a + b = 90°.
Or : ACB=ab. En définitive : ACB=90°. CQFD !ABC ( d )O ABC ab Oab2- Distance d'un point à une droite
a) DéfinitionOn considère une droite ( d ) et un point A.
On appelle distance du point A à la droite ( d ) la plus courte distance entre A et un point de ( d ).
b) PropriétéLa distance de A à ( d ) est la longueur AH, où H est le pied de la perpendiculaire à ( d ) passant par A.
Démonstration
* 1 er cas : si A appartient à ( d ), la distance de A à ( d ) est nulle et la propriété est évidente.
* 2 ème cas : supposons que A n'appartient pas à ( d ). Soit H le pied de la perpendiculaire à ( d ) passant par A et M un autre point de ( d ).Le triangle AHM est rectangle en H.
Or, dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté.Par conséquent : AH < AM CQFD !
3- Droite tangente à un cercle
a) DéfinitionOn considère un cercle ( C ) de centre O.
On appelle tangente au cercle ( C ) toute droite qui n'a qu'un seul point d'intersection avec ce cercle.
Ce point d'intersection est alors appelé le point de tangence ou point de contact entre la droite et le cercle.
Exemple A
HM( d )
M( C )
( d )O( d ) est tangente à ( C ) en M b) Propriété caractéristique Soit un cercle ( C ) de centre O, un point M sur ( C ) et une droite ( d ). * Si ( d ) est tangente au cercle ( C ) en M, alors ( OM ) est perpendiculaire à ( d ).* Réciproquement, si ( OM ) est perpendiculaire à ( d ), alors ( d ) est tangente au cercle ( C ) en M.
Démonstration : admise.
4- Cercle inscrit dans un triangle
a) Propriété caractéristique de la bissectrice* Si un point est sur la bissectrice d'un angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle.
* Réciproquement, si un point est équidistant des côtés d'un angle, alors il est sur la bissectrice de cet angle.
Démonstration : admise.
b) Propriété des bissectrices d'un triangle Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes.Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle, c'est-à-dire du cercle qui est
tangent aux trois côtés du triangle.Démonstration : admise.
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