[PDF] 1. Démonstrations du formulaire de trigonométrie:

View - Download 1. Démonstrations du formulaire de trigonométrie:

Previous PDF

Next PDF

1.Démonstrations du formulaire de trigonométrie:

1.1.Formules d'addition:

a) cosab: On sait que eix=cosxisinx Or cosab=ℜeiab

On a alors eiab=eiaeib=cosaisinacosbisinb =

cosacosb-sinasinbisinbcosasinacosbEt donc

cosab=cosacosb-sinasinbb) sinab:

De même, on sait que sinx=ℑeix Or

sinab=sinacosbsinbcosac) cosa-bet sina-b:

Ici il suffit de remplacer

bpar -bOn a alors

cosa-b=cosacos-b-sinasin-bOr cos-x=cosx et sin-x=-sinx

Donc

cosa-b=cosacosbsinasinbDe la même manière on trouve:

cos2aet sin2a: En utilisant les formules précédentes, on remplace bpar aOn a alors:

cosaa=cos2a=cosacosa-sinasina=cos²a-sin²aSachant que cos²asin²a=1

On peut également dire que:

cos2a=2cos²a-1=1-2sin²aOn utilise le même raisonnement pour

sin2a et on obtient: e) tanabtana-btan2a:

On sait que

tanx=sinx cosxDonc

On factorise par

cosbau numérateur et au dénominateur et on simplifie par cosbOn simplifie les sinx

cosx par tanx On obtient: tanab=sinatanbcosa

On factorise par

cosaau numérateur et au dénominateur et on simplifie par cosaEnsuite on remplace les

sinx cosx par tanx On obtient: tanab=tanatanb

1-tanatanb

Pour obtenir

tana-b, on remplace bpar -bdans la formule précédente

On obtient

1-tanatan-bOr tan-x=-tanxdonc: tana-b=tana-tanb

1tanatanb

Pour tan2a, on remplace bpar a, on obtient: tan2a=2tana

1-tan²a

1.2.Formules d'Euler:

On sait que:

eix=cosxisinx et e-ix=cosx-isinxDonc eixe-ix=2cosxet donc cosx=eixe-ix

2

De même: eix-e-ix=2isinxet donc

sinx=eix-e-ix 2i

1.3.Formules de linéarisation :

a) cosacosb:

On sait que cosa-b=cosacosbsinasinbet que cosab=cosacosb-sinasinb

Donc cosabcosa-b=2cosacosb Soit cosacosb=cosa-bcosab 2 b) sinasinb: De même cosa-b-cosab=2sinasinb Donc 2c) sinacosb:

Pour finir, on sait que

sinab=sinacosbsinbcosaet que sina-b=sinacosb-sinbcosa

Donc sina-bsinab=2sinacosb Et donc sinacosb=sina-bsinab 2 d)cos²a:

On sait que

2On remplace bpar a, on obtient:

2soit

2e) sin²a:

On sait que

2, donc de la même manière:

sin²a=1-cos2a 2 f) tan²a: tana=sina cosa donc tan²a=sin²a cos²a Soit tan²a=1cos2a

1-cos2a

1.4.Formules de transformation de somme en produit:

a) cosacosb: On sait que cosacosb=cosa-bcosab 2

On remplace apar ab

2et bpar a-b

2

On a donc

cosab

2cosa-b

2=

cosab

2a-b

2cosab

2-a-b

2

2En simplifiant, on obtient:

cosab

2cosa-b

2 Soit cosacosb=2cosab

2cosa-b

2

b) cosa-cosb:

On sait que

2On remplace apar ab

2et bpar

a-b

2On a donc

sinab

2sina-b

2=

cosab 2-a-b

2-cosab

2a-b

2

2Qu'on simplifie pour obtenir

sinab

2sina-b

2Et donc

2sina-b

2

On sait que sinacosb=sinabsina-b 2 De la même manière que les démonstrations précédentes, on remplace apar ab 2 et bpar a-b

2, on obtient alors:

2cosa-b

2

d)sina-sinb: De la même manière que les démonstrations précédentes, on trouve:

2sina-b

2

1.5.Formules dites d'arc moitié :

a) cosx:

On pose t=tana

2 donc 1-t²

1t²=1-tan²a

2

1tan²a

2

Or tan²x=1cos2x

1-cos2x

Alors 1-t²

1t²=2cosa

1cosa

2

1cosa, on simplifie par 1cosa

On obtient alors:

cosx=1-t²

1t²b)

sinx: 2t

1t²=

2tana

2

1tan²a

2

=2tana

2cos²a

2car 1tan²x=cos²x

On a donc: 2t

1t²=2sina

2cos²a

2

cosa

2=2sina

2cosa

2=sina

car sin2x=2sinxcosx

Donc sinx=2t

1t²

c)tanx: 2t

1-t²=2tana

2

1-tan²a

2

Or tan2x=2tanx

1-tan²xdonc 1-tan²x=2tanx

tan2x

On a alors 2t

1-t²=

2tana

2tana

2tana

2Donc tana=2t

1-t²

1.6.Formule de Moivre:

On sait que

eixn=einxor eix=cosxisinxDonc eixn=cosxisinxn=einx=cosnxisinnx

Et donc

cosxisinxn=cosnxisinnx1.7.Formule d'angle moitié:

On sait que

2, donc cos²a

2=1cosa

2

De plus, on sait que

x²=∣x∣, donc ∣cosa 2

De même, on sait que

sin²a=1-cos2a

2et de la même manière on prouve que:

∣sina

2∣=1-cosa

2

On sait que tanx

2=sinx

2

cosx

2

on multiplie au numérateur et au dénominateur par: 2cosx

2

On obtient tanx

2=2sinx

2cosx

2

2cos²x

2 Sachant que sin2a=2sinacosa

et que cos²a=1cos2a

2, on simplifie l'expression précédente et on obtient:

tanx

2=sinx

1cosx1.8.Autres Formules:

2cosx

2eix

2=[2cosx

2][cosx

2isinx

2]=2cos²x

22isinx

2cosx

2

Or cos²x=1cos2x

2 et sin2x=2sinxcosx

Donc

2cos²x

22isinx

2cosx

2=1cosxisinx=1eixEt donc eix1=2cosx

2eix

2

2isinx

2eix

2=[2isinx

2][cosx

2isinx

2]=2icosx

2sinx

2-2sin²x

2

On sait que

sin2a=2sinacosaDonc 2isinx

2eix

2=isinx-2sin²x

2

De plus, on sait que sin²a=1-cos2a 2

On obtient alors

isinx-2sin²x

2=isinx-1cosx=eix-1Et donc

eix-1=2isinx

2eix

2quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

[PDF] cosef maroc

[PDF] cosider construction

[PDF] cosider groupe

[PDF] cosider recrutement 2017

[PDF] cosmetique arabie saoudite

[PDF] cosmétologie cours gratuit

[PDF] costumbres cultura japonesa

[PDF] côte d'ivoire

[PDF] cote de force 0 ? 5

[PDF] cote laval medecine

[PDF] cote r droit

[PDF] cote r maximum

[PDF] cote r mcgill 2016

[PDF] cote r physiothérapie

[PDF] cote r physiothérapie udem