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Cours de logique - CNRS
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Chapitre 1 Logique et raisonnements - editions-ellipsesfr
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DP 14 Types de raisonnement - Université du Québec à
• Le raisonnement déductif – Ce type de raisonnement se fait à partir d'une situation générale pour en arriver à des cas particuliers Des faits reconnus des règles générales me permettent de prédire ce qui peut arriver et la vérification se fait par l’observation prévisible des résultats • Le raisonnement analogique
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Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture mais est (avec le chapitre suivant « Ensembles ») probablement le plus important de l’année car il est à la base de tous les raisonnements usuels (ou de la plupart des erreurs de raisonnement usuelles) de premier cycle d’études
Quels sont les différents types de raisonnement ?
Exemples de types de raisonnement. • Le raisonnement par opposition; – Le raisonnement par opposition confronte deux situations pour en faire ressortir les différences, les divergences, les ressemblances. • Le raisonnement critique;
Comment évaluer les raisonnements à partir de traces écrites?
?Évaluation de raisonnements à partir de traces écrites : Deux principes sont essentiels : • On distingue le fond de la forme : Comme il a déjà été dit en introduction, la mise en forme de la production d’une preuve ne doit pas donner lieu à un formalisme excessif et/ou prématuré.
Quel est le rôle du raisonnement inductif en mathématiques?
Le raisonnement inductif prend toute sa place en mathématiques dans la phase de recherche, en particulier sous la forme du schéma explicatif dans le raisonnement par chaînage arrière – essentiel en géométrie2. Dans la phase de recherche, cela conduirait à se poser la question de ce qu’il suffirait d’avoir pour emporter la conclusion.
Comment expliquer le raisonnement en géométrie?
Mais le raisonnement en géométrie s’appuie aussi sur l’observation et la construction de figures, la mise en place d’expérimentations, de procédures d’essais-erreurs, l’élaboration et la critique de conjectures.
Logique et
raisonnementsVidéo"partie 1. LogiqueVidéo"partie 2. Raisonnements
Fiche d"exercicesLogique, ensembles, raisonnementsQuelques motivations
•Il est important d"avoir unlangage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons
l"exemple de la conjonction "ou»; au restaurant "fromage ou dessert» signifie l"un ou l"autre mais pas
les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche "les as ou les coeurs» alors il ne faut pas exclure
l"as de coeur. Autre exemple : que répondre à la question "As-tu10euros en poche?» si l"on dispose de
15 euros?
Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d"une fonction est
souvent expliquée par "on trace le graphe sans lever le crayon». Il est clair que c"est une définition peu
satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d"une fonctionf:I!Ren un point
x02I:8 >09 >08x2I(jxx0j< =) jf(x)f(x0)j< ).
C"est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire! C"est lalogique.Enfin les mathématiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Par exemple "Est-ce qu"une augmentation
de20%, puis de30%est plus intéressante qu"une augmentation de50%?». Vous pouvez penser "oui»
ou "non», mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette
démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle deraisonnement.Les mathématiques sont un langage pour s"exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes,
qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider - ou d"infirmer - une
hypothèse et de l"expliquer à autrui.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE2
1. Logique
1.1. Assertions
Uneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.Exemples :
"Il pleut.» "Je suis plus grand que toi.» " 2+2=4 » " 23=7 » "Pour tout x2R, on a x2>0.»"Pour tout z2C, on ajzj=1.»SiPest une assertion etQest une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions construites à
partir dePet deQ.L"opérateur logique "et»
L"assertion "PetQ» est vraie siPest vraie etQest vraie. L"assertion "P et Q» est fausse sinon.On résume ceci en unetable de vérité:
PnQVF VVF FFFFIGURE1.1 - Table de vérité de "P et Q»
Par exemple siPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est coeur» alors l"assertion
"P et Q» est vraie si la carte est l"as de coeur et est fausse pour toute autre carte.L"opérateur logique "ou»
L"assertion "PouQ» est vraie si l"une (au moins) des deux assertionsPouQest vraie. L"assertion "Pou
Q» est fausse si les deux assertionsPetQsont fausses.On reprend ceci dans la table de vérité :
PnQVF VVV FVFFIGURE1.2 - Table de vérité de "P ou Q»
SiPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est coeur» alors l"assertion "PouQ»
est vraie si la carte est un as ou bien un coeur (en particulier elle est vraie pour l"as de coeur).Remarque.
Pour définir les opérateurs "ou», "et» on fait appel à une phrase en français utilisant les motsou,et! Les
tables de vérités permettent d"éviter ce problème.La négation "non»
L"assertion "nonP» est vraie siPest fausse, et fausse siPest vraie.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE3
PVF nonPFVFIGURE1.3 - Table de vérité de "non P»
L"implication=)
La définition mathématique est la suivante :L"assertion "(non P) ou Q» est notée "P=)Q».Sa table de vérité est donc la suivante :
PnQVF VVF FVVFIGURE1.4 - Table de vérité de "P=)Q»
L"assertion "P=)Q» se lit en français "P implique Q». Elle se lit souvent aussi "si P est vraie alors Q est vraie» ou "si P alors Q».Par exemple :
" 06x625=)px65 » est vraie (prendre la racine carrée). "x2]1,4[ =)x2+3x4>0 » est vraie (étudier le binôme). " sin() =0=)=0 » est fausse (regarder pour=2par exemple). •"2+2=5=)p2=2» est vraie! Eh oui, siPest fausse alors l"assertion "P=)Q» est toujours vraie.L"équivalence()
L"équivalenceest définie par :"P()Q» est l"assertion "(P=)Q) et (Q=)P)».On dira "Pest équivalent àQ» ou "Péquivaut àQ» ou "Psi et seulement siQ». Cette assertion est vraie
lorsquePetQsont vraies ou lorsquePetQsont fausses. La table de vérité est : PnQVF VVF FFVFIGURE1.5 - Table de vérité de "P()Q»
Exemples :
Pourx,x02R, l"équivalence "xx0=0()(x=0ou x0=0)» est vraie. Voici une équivalencetoujours fausse(quelle que soit l"assertionP) : "P()non(P)».On s"intéresse davantage aux assertions vraies qu"aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors de ce
chapitre on écrira "P()Q» ou "P=)Q» uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Parexemple si l"on écrit "P()Q» cela sous-entend "P()Qest vraie». Attention rien ne dit quePetQ
soient vraies. Cela signifie quePetQsont vraies en même temps ou fausses en même temps.Proposition 1.
Soient P,Q,R trois assertions. Nous avons les équivalences (vraies) suivantes : 1.P ()non(non(P))
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE42.(PetQ)()(QetP)3.(PouQ)()(QouP)
4.non(PetQ)()(nonP)ou(nonQ)
5.non(PouQ)()(nonP)et(nonQ)
6.Pet(QouR)()(PetQ)ou(PetR)
7.Pou(QetR)()(PouQ)et(PouR)
8. " P =)Q »()"non(Q) =)non(P)»Démonstration.Voici des exemples de démonstrations :4.Il suffit de comparer les deux assertions "non(P et Q)» et "(non P)ou(non Q)» pour toutes les valeurs
possibles dePetQ. Par exemple siPest vrai etQest vrai alors "PetQ» est vrai donc "non(P et Q)»est faux; d"autre part (nonP) est faux, (nonQ) est faux donc "(non P)ou(non Q)» est faux. Ainsi dans
ce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse ainsi les deux tables de vérités et
comme elles sont égales les deux assertions sont équivalentes. PnQVF VFV FVV FIGURE1.6 - Tables de vérité de "non(P et Q)» et de "(non P)ou(non Q)» 6.On fait la même chose mais il y a trois variables :P,Q,R. On compare donc les tables de vérité d"abord
dans le cas oùPest vrai (à gauche), puis dans le cas oùPest faux (à droite). Dans les deux cas les deux
assertions "P et(Q ou R)» et "(P et Q)ou(P et R)» ont la même table de vérité donc les assertions
sont équivalentes. QnRVF VVV FVF QnRVF VFF FFF 8.Par définition, l"implication "P=)Q» est l"assertion "(nonP) ouQ». Donc l"implication "non(Q) =)
non(P)» est équivalente à "non(non(Q))ou non(P)» qui équivaut encore à "Q ou non(P)» et donc est
équivalente à "P=)Q». On aurait aussi pu encore une fois dresser les deux tables de vérité et voir
qu"elles sont égales.1.2. QuantificateursLe quantificateur8: "pour tout»
Une assertionPpeut dépendre d"un paramètrex, par exemple "x2>1», l"assertionP(x)est vraie ou
fausse selon la valeur dex.L"assertion
8x2E P(x)
est une assertion vraie lorsque les assertionsP(x)sont vraies pour tous les élémentsxde l"ensembleE.
On lit "Pour tout x appartenant à E, P(x)», sous-entendu "Pour tout x appartenant à E, P(x)est vraie».
Par exemple :
"8x2[1,+1[ (x2>1)» est une assertion vraie. "8x2R(x2>1)» est une assertion fausse. "8n2Nn(n+1)est divisible par2 » est vraie.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE5
Le quantificateur9: "il existe»
L"assertion
9x2E P(x)est une assertion vraie lorsque l"on peut trouver au moins unxdeEpour lequelP(x)est vraie. On lit "il
existe x appartenant à E tel que P(x)(soit vraie)».Par exemple :
"9x2R(x(x1)<0)» est vraie (par exemplex=12 vérifie bien la propriété). "9n2Nn2n>n» est vraie (il y a plein de choix, par exemplen=3convient, mais aussin=10ou mêmen=100, un seul suffit pour dire que l"assertion est vraie). "9x2R(x2=1)» est fausse (aucun réel au carré ne donnera un nombre négatif). La négation des quantificateursLa négation de "8x2E P(x)» est "9x2E non P(x)» . Par exemple la négation de "8x2[1,+1[ (x2>1)» est l"assertion "9x2[1,+1[ (x2<1)». Eneffet la négation dex2>1 est non(x2>1)mais s"écrit plus simplementx2<1.La négation de "9x2E P(x)» est "8x2E non P(x)».Voici des exemples :
La négation de "9z2C(z2+z+1=0)» est "8z2C(z2+z+16=0)». La négation de "8x2R(x+12Z)» est "9x2R(x+1=2Z)». Ce n"est pas plus difficile d"écrire la négation de phrases complexes. Pour l"assertion :8x2R9y>0(x+y>10)
sa négation est9x2R8y>0(x+y610).
Remarques
L"ordre des quantificateurs est très important. Par exemple les deux phrases logiques8x2R9y2R(x+y>0)et9y2R8x2R(x+y>0).
sont différentes. La première est vraie, la seconde est fausse. En effet une phrase logique se lit de gauche à
droite, ainsi la première phrase affirme "Pour tout réelx, il existe un réely(qui peut donc dépendre dex)
tel quex+y>0.» (par exemple on peut prendrey=jxj+1). C"est donc une phrase vraie. Par contre ladeuxième se lit : "Il existe un réely, tel que pour tout réelx,x+y>0.» Cette phrase est fausse, cela ne
peut pas être le mêmeyqui convient pour tous lesx!On retrouve la même différence dans les phrases en français suivantes. Voici une phrase vraie "Pour toute
personne, il existe un numéro de téléphone», bien sûr le numéro dépend de la personne. Par contre cette
phrase est fausse : "Il existe un numéro, pour toutes les personnes». Ce serait le même numéro pour tout le
monde!Terminons avec d"autres remarques.
Quand on écrit "9x2R(f(x) =0)» cela signifie juste qu"il existe un réel pour lequelfs"annule. Rien
ne dit que cexest unique. Dans un premier temps vous pouvez lire la phrase ainsi : "il existeau moins
un réelxtel quef(x) =0». Afin de préciser quefs"annule en une unique valeur, on rajoute un point
d"exclamation :9!x2R(f(x) =0).
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS2. RAISONNEMENTS6
•Pour la négation d"une phrase logique, il n"est pas nécessaire de savoir si la phrase est fausse ou vraie.
Le procédé est algorithmique : on change le "pour tout» en "il existe» et inversement, puis on prend la
négation de l"assertionP.Pour la négation d"une proposition, il faut être précis : la négation de l"inégalité stricte "<» est l"inégalité
large ">», et inversement.Les quantificateurs ne sont pas des abréviations. Soit vous écrivez une phrase en français : "Pour tout
réel x, si f(x) =1alors x>0.» , soit vous écrivez la phrase logique :8x2R(f(x) =1=)x>0).
Mais surtout n"écrivez pas "8xréel, sif(x) =1=)xpositif ou nul». Enfin, pour passer d"une ligne à
l"autre d"un raisonnement, préférez plutôt "donc» à "=)». Il est défendu d"écrire69,6=). Ces symboles n"existent pas!Mini-exercices. 1.Écrire la table de vérité du "ou exclusif». (C"est leoudans la phrase "fromage ou dessert», l"un ou
l"autre mais pas les deux.) 2. Écrire la table de vérité de " non (P et Q)». Que remarquez vous? 3.Écrire la négation de " P=)Q».
4. Démontrer les assertions restantes de la proposition ??. 5.Écrire la négation de " P et(Q ou R)».
6.Écrire à l"aide des quantificateurs la phrase suivante : "Pour tout nombre réel, son carré est positif».
Puis écrire la négation.
7.Mêmes questions avec les phrases : "Pour chaque réel, je peux trouver un entier relatif tel que leur
produit soit strictement plus grand que1». Puis "Pour tout entiern, il existe un unique réelxtel que
exp(x)égale n».2. Raisonnements Voici des méthodes classiques de raisonnements.2.1. Raisonnement direct
On veut montrer que l"assertion "P=)Q» est vraie. On suppose quePest vraie et on montre qu"alorsQ est vraie. C"est la méthode à laquelle vous êtes le plus habitué.Exemple 1.
Montrer que sia,b2Qalorsa+b2Q.
Démonstration.
Prenonsa2Q,b2Q. Rappelons que les rationnelsQsont l"ensemble des réels s"écrivant pq avecp2Zetq2N. Alorsa=pqpour un certainp2Zet un certainq2N. De mêmeb=p0q0avecp02Zetq02N. Maintenant
a+b=pq +p0q0=pq0+qp0qq
0.Or le numérateurpq0+qp0est bien un élément deZ; le dénominateurqq0est lui un élément deN. Donc
a+bs"écrit bien de la formea+b=p00q00avecp002Z,q002N. Ainsia+b2Q.
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS2. RAISONNEMENTS7
2.2. Cas par casSi l"on souhaite vérifier une assertionP(x)pour tous lesxdans un ensembleE, on montre l"assertion pour
lesxdans une partieAdeE, puis pour lesxn"appartenant pas àA. C"est la méthode dedisjonctionou du
cas par cas.Exemple 2.
Montrer que pour toutx2R,jx1j6x2x+1.
Démonstration.Soitx2R. Nous distinguons deux cas. Premier cas :x>1.Alorsjx1j=x1. Calculons alorsx2x+1jx1j. x2x+1jx1j=x2x+1(x1)
=x22x+2 = (x1)2+1>0.Ainsix2x+1jx1j>0 et doncx2x+1>jx1j.
Deuxièmecas:x<
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