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Résumé de ce qu'il faut savoir en Algèbre linéaire (ou Calcul Matriciel) au sortir du L1 en préalable au cours d'Algèbre linéaire du L2
Licence Sciences de l"Ingénieur
etLicence Informatique
Niveau L2 (=2`emeannée)
Mathématiques :
Résumé de ce qu"il faut savoir en Algèbre linéaire (ou Calcul Matriciel) au sortir du L1, en préalable au cours d"Algèbre linéaire du L2, concernant :MATRICES
SYSTÈMES LINÉAIRES
DÉTERMINANTS
par J.-B. HIRIART-URRUTY, Professeur de mathématiques 20072
Table des matières
I Matrices5
I.1 Définitions de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5I.2 Matrices (très) spéciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 I.3 Transposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.4 Egalité de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.5 Addition de matrices, multiplication d"une matrice par un scalaire. . . . . . . . . . . 7 I.6 Multiplication de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.7 Trace d"une matrice carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.8 Matrices inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.9 Explication de la multiplication matricielle à l"aide des transformations linéaires. . . 10I.10 Définitions complémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 I.11 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II Systèmes Linéaires 15
II.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15II.2 Procédé d"élimination de GAUSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 II.3 Rang d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19II.4 Solutions de systèmes linéaires : existence de solutions, unicité. . . . . . . . . . . . .
20 II.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20IIIDéterminants23
III.1 Déterminants d"ordre 1 et 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23III.2 Déterminants d"ordre 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
III.3 Déterminants d"ordre quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III.3.1 Définition à l"aide des permutations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III.3.2 Développements suivant une ligne ou une colonne. . . . . . . . . . . . . . . . 25
III.4 Propriétés générales des déterminants (important!). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25III.5 Règles importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25III.6 Inversion d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III.7. Résolution de systèmes linéaires à l"aide de déterminants, autant d"équations linéaires
que d"inconnues (systèmes dits de CRAMER). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.8 Déterminants et volumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III.9 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory 31 3 4
I. Matrices
I.1.D éfinitionsde base.
KdésigneraRouC; ses éléments seront appelés desscalaires(des nombres réels ou complexes). Une
matriceà coefficients dansKest un tableau rectangulaire présenté habituellement de la manière
suivante : m lignes ????a11a12... a1n
a21a22... a2n...
a m1am2... amn? n colonnes où les coefficientsaijsont des éléments deK(des scalaires donc). a ij: terme de la i-ème ligne et de la j-ème colonne. Notation recommandée : LI-CO, ligne puis colonne dans l"indiceijdeaij. M m,n(K): notation pour l"ensemble des matricesm×n(ou (m,n)) à coefficients dansK. Sim=n, on parlera de matrices carrées et on se contentera de la notationMn(K). CommeR?C,Mm,n(R)? Mm,n(C). Pour certains résultats concernantMm,n(R), on passera dans M m,n(C)puis on reviendra dansMm,n(R)(comme, par exemple, pour la résolution des équations du second degré à coefficients réels). DansA= [aij]? Mm,n(K), il y am×ncoefficients. Dans des calculs matriciels en Sciences de l"ingénieur,metnpeuvent atteindre des millions. I.2.M atrices(très) sp éciales.
Les matrices (dites) scalaires:m=n= 1etA= [a], oùa?K. On peut identifierKetM1(K).La matrice iden titée: In=?
?????1 0...0 0 1 .........00...0 1?
?????(des 1 sur la diagonale, des 0 partout ailleurs). Un peu plus général : les matrices (carrées)diagonales: diag(a1,a2,...,an) =? ?????a10...0
0a2......
.........00...0an?
?????(a1,...,ansur la diagonale, des 0 partout ailleurs) Les matrices (carrées)triangulaires(inférieures, resp. supérieures) 5 A=? @@0 ?????ouA=? @@0 (aij= 0si i < j) (aij= 0si i > j) Les matrices unicolonnes(ou matrices colonnes) :A=? ????a 1 a 2... a m? ????? M m,1(K) On peut identifier cette matrice unicolonne avec le vecteur : ((((a 1 a 2... a m) ))))deKm. Matrices unilignes (ou matrices lignes) : définition mutatis mutandis.A= [aij]? Mm,n(K)comportem×ncoefficientsaij?K.
La matrice diag (a1,...,an) comporten(n-1)coefficients nuls; lesnautres coefficientsa1,...,an la déterminent.La matrice triangulaire
A=? @@@0 ?????comporten(n-1)2 coefficients nuls; lesn(n+1)2 autres coefficientsaijla détermine.Noter quen2-n(n-1)2
=n(n+1)2 ... qui est aussi1 + 2 +...+n. Dans une matriceA? Mn(K), il y a n termes diagonaux etn2-n=n(n-1) = 2×n(n-1)2 termes non diagonaux.Exemple:
Matrice des coefficients dans un système linéaire.Dans?5x-2y+z= 1
3x+ 4z= 5(2 équations, 3 inconnuesx,y,z)
la matrice des coefficients des inconnuesx,y,zestA=?5-2 13 0 4?
I.3.T ransposition.
SiA? Mm,n(K), la matricetransposéedeA, notéeAToutA(Atest à éviter, car génératrice de confusions) est la matricen×mdont le terme(i,j)est le terme(j,i)deA(les lignes deA deviennent les colonnes deAT, les colonnes deAdeviennent les lignes deAT).Exemple:
A=?5-8 1
4 0 0?
devient A T=? ?5 4 -8 0 1 0? Lorsque A est à coefficients complexes, on définit aussi latransconjugée(ouadjointe)A?deA: A ?=(AT) (ou, ce qui revient au même,(A)T). 6En bref, on transposeAet on prend les conjuguées des termes de la matrice (ou dans l"ordre inverse).
Par exemple,
A=?5i 1 2i? devient A ?=?5 1 -i-2i? Une matrice (carrée)A? Mn(R)est ditesymétriquelorsqueAT=A,antisymétriquelorsque A T=-A(notions qui n"ont d"intérêt que pour des matrices à coefficients réels). Une matrice (carrée)A? Mn(C)est ditehermitiennelorsqueA?=A,antihermitiennelorsque A ?=-A(notion généralisant les deux précédentes au cas complexe). I.4.Egalité de matrices.
A= [aij]? Mm,n(K)etB= [bij]? Mm,n(K)(les deux matrices sont donc de même format!) sontégales lorsque :
a ij=bijpour tout i= 1,...,m et j= 1,...,n. I.5. A dditionde matrices, m ultiplicationd"une matrice par un s ca- laire. A= [aij]? Mm,n(K)etB= [bij]? Mm,n(K)(les deux matrices sont donc de même format!) peuvent être additionnées pour donner une nouvelle matrice[cij] =C=A+Bdéfinie comme suit : c ij=aij+bijpour touti,j(addition coefficient par coefficient). SiA= [aij]? Mm,n(K)etc?K, la nouvelle matricecAest définie naturellement comme ceci : pour tout i,j le coefficient(i,j)de cA est caij.Quelques propriétés (faciles) :
.A+B=B+A;(A+B) +C=A+ (B+C)(écritA+B+Csans ambiguïté).Si 0 est la matrice nulle (i.e. des coefficients 0 partout),
A+ 0 =A,
A+ (-A) = 0..c(A+B) =cA+cB;(c+d)A=cA+dA;c(dA) = (cd)A..(A+B)T=AT+BT;(cA)T=cAT;(AT)T=A..(A+B)?=A?+B?;(cA)?=cA
?;(A?)?=A. @I(attention) I.6.M ultiplicationde matrice s.
Non, ce n"est pas en multipliant les coefficients terme à terme... too bad! Mais ça n"est pas difficile
pour autant. Le produitC=AB(dans cet ordre) deA= [aij]? Mm,n(K)parB= [bkl]? Mr,p(K) n"est défini que sir=n, c"est-à-dire :le nombre de colonnes de A = le nombre de lignes B, auquel cas,C= [cij]? Mm,p(K)a pour coefficients : c ij=n? k=1a ikbkj=ai1b1j+ai2b2j+...+aipbpj. Pour s"en souvenir, rien de plus simple,adopter le schéma de calcul suivant: 7 AB AB m pn n? i? j l"important est lencommun, peu importemetp...# •bkj a ik• • (AB)ijPropriétés(lorsque les multiplications en jeu sont possibles):.(AB)C=A(BC)(on écriraABCsans ambiguïté)..A(B+C) =AB+AC..(A+B)C=AC+BC..(cA)B=A(cB) =cAB..Si 0 est la matrice nulle,0A=A0 = 0..SiInest la matrice identité,InA=AIn=A..(AB)T=BTAT. (attention à l"interversion de l"ordre!).SiAetBsont diagonales, il en est de mêmeAB..SiAetBsont triangulaires inférieures (resp.supérieures), la matriceABest triangulaire inférieure
(resp. supérieure).Exemples particuliers :
????a11... a1n
a21... a2n......
a m1... amn?A? Mm,n(K)?
1 x 2 x n? ????a11x1+a12x2+...+a1nxn
a21x1+a22x2+...+a2nxn...
a m1x1+am2x2+...+amnxn? matrice unicolonne(? Mm,1(K)) y1y2... yn??
????a11... a1n
a21... a2n......
a m1... amn?A? Mm,n(K)=
m? i=1a i1yim i=1a i2yi...m? i=1a inyi? matrice uniligne(? M1,n(K)) x y??a c c b?A? M2(K)?
x y? ax2+by2+ 2cxy? matrice scalaire(Attention, c"est bien 2c!) x1x2... xn??
????y 1 y 2... y n? n? i=1x iyi? matrice scalaire 8 x1x2... xn?
????x 1 x 2... x n? ????x21x1x2... x1xn
x2x1x22... x2xn...
x nx1xnx2... x2n? matrice carr´ee(n,n)sym´etriquequotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] cours algorithme procedure et fonction pdf
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