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Pierre-Emmanuel Chaput
2Ce polycopié est très largement inspiré du polycopié utilisé par mon prédecesseur J.F. Gros-
jean, que je remercie pour son travail de rédaction.Table des matières
1 Déterminants 5
1.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.1.1 Permutations : définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.1.2 Signature d"une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61.2 Applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.2.1 Applications multinéaires : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.2.2 Applications multilinéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101.3 Définition du déterminant et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141.3.1 Déterminant d"une famille den-vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
1.3.2 Déterminant d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151.3.3 Déterminant d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171.3.4 Déterminant des matrices carrées22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
1.3.5 Matrices transposées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181.3.6 Opérations sur les lignes et les colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191.4 Développement d"un déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201.4.1 Cofacteurs et comatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201.4.2 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231.4.3 Matrices inverses et déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241.5 Formules de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261.6 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272 Réduction des endomorphismes 29
2.1 Sous-espaces propres et diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292.1.1 Valeurs propres, vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292.1.2 Sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
332.1.3 Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . .
342.1.4 Calcul des puissances d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372.2 Trigonalisation et théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372.2.1 Endomorphismes trigonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372.2.2 Polynômes d"endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
422.2.3 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
432.3 Polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
452.3.1 Théorème de décomposition des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453
4TABLE DES MATIÈRES
2.3.2 Polynômes annulateurs, polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . .
462.4 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
502.5 Sous-espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
532.5.1 Indice d"un endomorphisme et endomorphismes nilpotents . . . . . . . . .
532.5.2 Sous-espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
562.5.3 Décomposition de Dunford-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
582.6 Applications et exemples : suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
612.6.1 Calcul des puissances d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . .
612.6.2 Une méthode de trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
622.6.3 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
623 Systèmes différentiels linéaires 67
3.1 Exponentielle d"une matrice ou d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . .
673.1.1 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
673.1.2 Norme sur l"espace des endomorphismes et sur les matrices . . . . . . . .
693.1.3 Dérivabilité et intégration des fonctions à variable réelle et à valeurs dans
un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1.4 Exponentielle d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
733.2 Calcul pratique de l"exponentielle d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
773.3 Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . .
793.3.1 Système différentiel linéaire homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
803.3.2 Système différentiel linéaire non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . .
823.4 Équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83Chapitre 1
Déterminants
1.1 Permutations
1.1.1 Permutations : définitions
Définition 1.1Unepermutationde l"ensembleFn=f1;:::;ngest une bijection deFnsurFn. Exemples de permutations:SoitF4=f1;2;3;4get soit2S4définie par :(1) = 4, (2) = 3,(3) = 1et(4) = 2. On écrira alors : =1 2 3 44 3 1 2
On noteraSnl"ensemble des permutations.
Remarque 1.2La donnée d"un élémentdeSnest définie par les données successives de (1)2Fn,(2)2Fnn f(1)g;;(n)2Fnn f(1);;(n1)g.On en déduit que card(Sn) =n!.
Exercice de cours 1.1Combien y a-t-il d"éléments dansS3? Donner la liste des éléments de S 3. Remarque 1.3Snmuni de la loi de compositionest un groupe. En effetest une loi interne. En effet si(;0)2S2n, alors02Sncar la composée de deux bijections est une bijection. La loiest associative. En effet si(;0;00)2S3n, alors on a évidemment(0)00= (000). L"application identité notéeid(id(k) =kpour toutk2Fn) est une permutation deFnet est l"élément neutre pour. Pour tout2Snon aId=Id=. Tout élémentdeSnadmet un inverse qui n"est rien d"autre que la bijection réciproque1. Définition 1.4Snmuni de la lois"appelle legroupe des permutationsougroupe sy- métrique. 56CHAPITRE 1. DÉTERMINANTS
Définition 1.5On suppose quen>2. Pour tout(i;j)2F2ntel quei < j, on appelletranspo- sitionéchangeantietjet on noteijla permutation deFndéfinie parij(i) =j,ij(j) =iet ij(k) =k, pour toutk2Fnn fi;jg.On écrira aussiij= (i;j).
Exemple 1.6=1 2 3 4
4 2 3 1
est une transposition et on a= (1;4). Nous admettons maintenant le théorème suivant qui nous sera utile par la suite. Théorème 1.7Tout élément deSnest produit de transpositions.1.1.2 Signature d"une permutation
Définition 1.8Soient2Sneti;j2 f1;;ng. On dit que le couple(i;j)présente une inversion pour(ou est uneinversion de) si :i < jet(i)> (j). On note`()le nombre d"inversions de. Exemple 1.9La permutation Id ne possédant aucune inversion, on a`(Id) = 0.Exemple 1.10Considérons=1 2 3 4
4 3 1 2
. Les couples(1;2),(1;3),(1;4),(2;3);(2;4), sont des inversions de. En revanche(3;4)n"est pas une inversion. Donc`() = 5. Soit= (i;i+1)une transposition élémentaire et soit2Sn. EtudionsI(). Pourk < l, on a(k;l)2I()ssi((k))> ((l)). Il y a deux cas de figure : si(k;l)6= (i;i+ 1)alors (k)< (l). Alors(k;l)2I()ssi((k);(l))2I()ssi(k;l)2(I()). Si(k;l) = (i;i+1), alors(k;l)2I()ssi(i;i+ 1)62I(). On a donc montré le résultat suivant : Exemple 1.11Soit= (i;i+ 1)une transposition élémentaire et soit2Sn. Si (i;i+1)2I()alorsI() =(I())nf(i+1;i)g. Dans ce cas`() =`()1. Si (i;i+1)62I()alorsI() =(I())[f(i;i+1)g. Dans ce cas`() =`()+1. Exercice de cours 1.2Montrer que pour tout2S4, on a`()6. Existe-t-il une permuta- tion2S4telle que`() = 6? Les trouver toutes. Exercice de cours 1.3Soitla permutation de l"exemple 1.10. Vérifier le Théorème 1.7 pour en écrivantcomme produit de cinq transpositions de la forme(i;i+ 1)aveci2 f1;2;3g. On pourra utiliser le fait que pour toute permutation0, si0(i)> 0(i+1), alors`(0(i;i+1)) =`(0)1, et trouver ainsi des entiersi1;i2;i3;i4;i5tels que`((i1;i1+ 1)) =`()1,
`((i1;i1+ 1)(i2;i2+ 1)) =`((i1;i1+ 1))1, et ainsi de suite. On observera alors que (i1;i1+1)(i2;i2+1)(i3;i3+1)(i4;i4+1)(i5;i5+1)est de longueur0, donc est l"élément neutre.1.1. PERMUTATIONS7
Définition 1.12On appellesignaturede2Sn, le nombre"() = (1)`().Remarque 1.13"()2 f1;1g.
Définition 1.14Soit2Sn. On dit queestpairesi"() = 1etestimpairesi"() =1.Théorème 1.15Soient;02Sn. Alors :
1."() =Y
16i 2."(0) ="()"(0).
3."(1) ="().
Preuve:
1. Remarquons d"ab ordque :
:F2nn f(i;i) ;i2Fng !F2nn f(i;i) ;i2Fng (i;j)7!((i);(j)) est une bijection. Donc : Y 16i6=j6n(j)(i)ji= 1
Or Y 16i6=j6n(j)(i)ji=0
Y 16i A0 Y 16j A 0 Y 16i A2 = 1 Donc Y 16i a inversion en(i;j)et négatif sinon, le signe deY 16i déduit que Y 16i 2. Mon tronsla deuxième assertion.
8CHAPITRE 1. DÉTERMINANTS
"(0) =Y 16i Y 16i 0(j)0(i)
0(j)0(i)ji
0 Y 16i 0(j)0(i)1
A "(0) 0 B B@Yquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
2."(0) ="()"(0).
3."(1) ="().
Preuve:
1.Remarquons d"ab ordque :
:F2nn f(i;i) ;i2Fng !F2nn f(i;i) ;i2Fng (i;j)7!((i);(j)) est une bijection. Donc : Y16i6=j6n(j)(i)ji= 1
Or Y16i6=j6n(j)(i)ji=0
Y16i A0 Y 16j A 0 Y 16i A2 = 1 Donc Y 16i a inversion en(i;j)et négatif sinon, le signe deY 16i déduit que Y 16i 2. Mon tronsla deuxième assertion.
8CHAPITRE 1. DÉTERMINANTS
"(0) =Y 16i Y 16i 0(j)0(i)
0(j)0(i)ji
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A "(0) 0 B B@Yquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
16j A 0 Y 16i A2 = 1 Donc Y 16i a inversion en(i;j)et négatif sinon, le signe deY 16i déduit que Y 16i 2. Mon tronsla deuxième assertion.
8CHAPITRE 1. DÉTERMINANTS
"(0) =Y 16i Y 16i 0(j)0(i)
0(j)0(i)ji
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16i A2 = 1 Donc Y 16i a inversion en(i;j)et négatif sinon, le signe deY 16i déduit que Y 16i 2. Mon tronsla deuxième assertion.
8CHAPITRE 1. DÉTERMINANTS
"(0) =Y 16i Y 16i 0(j)0(i)
0(j)0(i)ji
0 Y 16i 0(j)0(i)1
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16i a inversion en(i;j)et négatif sinon, le signe deY 16i déduit que Y 16i 2. Mon tronsla deuxième assertion.
8CHAPITRE 1. DÉTERMINANTS
"(0) =Y 16i Y 16i 0(j)0(i)
0(j)0(i)ji
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16i déduit que Y 16i 2. Mon tronsla deuxième assertion.
8CHAPITRE 1. DÉTERMINANTS
"(0) =Y 16i Y 16i 0(j)0(i)
0(j)0(i)ji
0 Y 16i 0(j)0(i)1
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16i 2. Mon tronsla deuxième assertion.
8CHAPITRE 1. DÉTERMINANTS
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0(j)0(i)ji
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Mon tronsla deuxième assertion.
8CHAPITRE 1. DÉTERMINANTS
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0(j)0(i)ji
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0(j)0(i)
0(j)0(i)ji
0 Y16i 0(j)0(i)1
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0(j)0(i)1
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