[PDF] Algèbre Linéaire 2 2019-2020 Université de Bordeaux

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Algèbre Linéaire2

2019-2020

Université de Bordeaux

Table des Matières

Chapitre 1. Groupes, anneaux et corps5

I. Groupes5

I.1. Définition et premières propriétés 5

I.2. Exemples6

I.3. Sous-groupes8

I.4. Sous-groupes engendrés par une partie 9

I.5. Ordres9

I.6. Morphisme de groupe 10

II. Le groupe symétriqueSn11

II.1. Définition11

II.2. La décomposition canonique d"une permutation en produit de cycles 13

II.3. La signature14

III. Anneaux et corps15

III.1. Définitions15

III.2. Exemples16

III.3. Sous-anneaux et idéaux 16

Chapitre 2. Polynômes à coefficients dans un corps19

I. Généralités19

II. Arithmétique dansK[X]21

II.1. Division euclidienne et divisibilité 21

II.2. PGCD22

II.3. Théorème de Bézout. Algorithme d"Euclide étendu 23

II.4. PPCM25

II.5. Irréductibilité25

III. Racines et factorisation d"un polynôme 27

III.1. Racines d"un polynôme 27

III.2. Factorisation d"un polynôme dansCet dansR28

Chapitre 3. Rappels sur les espaces vectoriels31

I. Définitions31

II. Somme et somme directe de sous-espaces vectoriels 32

Chapitre 4. Déterminant33

I. Définition et premières propriétés du déterminant d"une matrice 33 II. Determinant des matrices triangulaires par blocs 34

III. Déterminant d"une famille de vecteurs, multiplicativité et critère d"inversibilité 36

IV. Déterminant de matrices semblables et determinant d"un endomorphisme 38 V. Développement par rapport à une ligne ou une colonne 39

VI. Calcul de l"inverse d"une matrice 40

VII. Système de Cramer41

Chapitre 5. Réduction des endomorphismes43

3

I. Diagonalisation43

I.1. Valeur propre et vecteur propre 43

I.2. Polynôme caractéristique 44

I.3. Étude des sous-espaces propres 46

I.4. Endomorphismes diagonalisables 47

I.5. Exemple de diagonalisation 48

II. Trigonalisation49

II.1. Endomorphismes trigonalisables 49

II.2. Exemple de trigonalisation 50

III. Polynômes d"endomorphismes - Polynôme minimal 51

III.1. Polynômes d"endomorphismes 51

III.2. Polynôme minimal 52

III.3. Théorème de Cayley-Hamilton 52

III.4. Lemme de décomposition des noyaux 54

III.5. Diagonalisation à l"aide du polynôme minimal 55

IV. Sous-espaces caractéristiques 57

IV.1. Définition et premières propriétés 57

IV.2. Applications linéaires restreintes 59

IV.3. Trigonalisation des matrices en blocs relatifs aux sous-espaces caractéristiques 60

V. Endomorphismes nilpotents 62

V.1. Caractérisation des endomorphismes nilpotents 62

V.2. Décomposition de Dunford 62

V.3. Décomposition de Jordan 63

4

CHAPITRE 1

Groupes, anneaux et corps

Ce premier chapitre est consacré à l"introduction de quelques structures algébriques fondamentales de

l"algèbre générale, en particulier les groupes, les anneaux et les corps. Nous étudierons particulièrement le

groupe symétrique qui sera très utile dans la suite du cours à travers notamment la notion de déterminant.

I. Groupes

I.1. Définition et premières propriétés.

Définition 1.Un groupe est un ensembleGmuni d"une loi de composition interne, c"est-à-dire d"une

application : GG!G (x;y)7!xy vérifiant les propriétés suivantes : (1) L aloi estassociative:x(yz) = (xy)zpour toutx;y;zdansG. (2)(G;)possède unélément neutre, c"est-à-dire un élémente2Gtel queex=xe=xpour tout xdansG. (3) T outélément de Gestinversible: pour toutx2G, il existey2Gtel quexy=yx=e. Si de plus,xy=yxpour toutx;yappartenant àG, on dit que(G;)est un groupe commutatif (ou abélien).

Remarque 2.L"axiome d"associativité permet de définir l"opération sur trois éléments et non plus deux,

en enlevant les parenthèses. Evidemment par une récurrence triviale le principe se généralise à un nombre

quelconque fini d"éléments.

Remarque 3.Dans les exemples qui vont suivre, nous verrons que l"opérationpeut désigner suivant les

cas l"addition+, la multiplicationou encore la composition. Il faut donc en pratique toujours avoir à

l"esprit l"opérationassociée au groupe.

Remarque 4.Notons que l"on a précisé dans(2)que le neutre est neutre à gauche et à droite, et dans(3)

que l"inverse est inverse à gauche et à droite car dans le cas général d"un groupe non commutatif le résultat

des opérationsxyetyxpeuvent différer. Cependant les axiomes peuvent être réduits. Par exemple, on

obtient une définition équivalente si on remplace les deux derniers axiomes de la définition ci-dessus par les

conditions suivantes : il existe un élémentedeGqui est neutre à gauche et tout élément admet un inverse

à gauche, i.e. pour tout élémentadeG, il existebdansGtel queba=e(ce qu"on peut exprimer en disant que tout élément deGadmet un symétrique à gauche en association avece).

En particulier, si les conditions affaiblies sont vérifiées alors on peut montrer que les deux derniers

axiomes de la définition sont vérifiés. En effet, supposons qu"il existe un élémentedeGqui est neutre

à gauche et tout élément admet un inverse à gauche et montrons successivement que tout élément admet

aussi un inverse à droite puis queeest aussi élément neutre à droite.

Soitaun élément deGetbun inverse à gauche. Choisissons de même un inversecà gauche deb.

On a donc :ba=eetcb=e. Doncab=e(ab)careest élément neutre à gauche. Ainsi ab= (cb)(ab)carcb=eet doncab=c(ba)b; par associativité. On obtientab=ceb; puisqueba=e, puisab=cb; careb=b, puisqueeest élément neutre à gauche. Enfinab=e; carcest un inverse à gauche deb. Ainsibest aussi un inverse à droite dea. 5 6

Prouvons maintenant queeest élément neutre à droite. Soitaun élément du groupe. D"après ce qui

précède, nous pouvons choisir un élémentbqui est inverse à gauche et à droite dea. Alorsa=ea=

(ab)a=a(ba) par associativité donca=aeet donceest bien aussi élément neutre à droite. Proposition 5.Dans un groupe(G;), on a les propriétés suivantes : (1)

L"élément neutr eest unique.

(2) L"inverse d"un élémen test unique. On n otex1l"inverse dex2G. (3)

L eneutr evérifie e1=e.

(4)

Pour tout xdansG, on a(x1)1=x.

(5)

Pour tout xet pour toutydansG, on a(xy)1=y1x1.

(6) Pour tout a;x;ydansG, siax=ayou sixa=ya, alorsx=y.

Démonstration.On procède successivement.

(1) S iGpossède deux neutreseete0alorsee0=emais aussiee0=e0donce=e0. (2) S upposonsque xait deux inversesyety0. Alorsxy=eetxy0=epar définition. On en

déduit quexy=xy0. On multiplie cette identité à gauche paryet on utilise l"associativité :

y(xy) =y(xy0)donc(yx)y= (yx)y0. Maisyx=edoncey=ey0doncy=y0. (3) Pui squeeest neutre, en particulier,ee=e. Maisea un unique inverse donc cet inverse est bien e. (4) De même, la propriété xx1=x1x=emontre quexest l"inverse dex1. (5) Enfin en utilisan tdeux fois l"asso ciativitéde l aloi, que yest l"inverse dey1, puis quexest l"inverse dex1, on obtient : (xy)(y1x1) =(xy)y1x1 x(yy1)x1 xex1 =xx1 =e: et on en conclut donc que l"inverse dexyesty1x1. (6)

Il suffit d"utiliser l"i nversede a.

I.2. Exemples.Dans la suite,KdésigneQ;RouC.

Débutons avec quelques exemples standards :

les ensem blesZ,Q,RetCtous munis de la somme sont des groupes pour lesquels le neutre est e= 0, l"inverse dexestx. Ils sont commutatifs. Observons qu"en revanche(N;+)n"est pas un groupe. les ensem blesQ,RetCtous munis du produit sont des groupes pour lesquels le neutre este= 1, l"inverse dexest1=x. Ils sont commutatifs. L"ensem bleMm;n(K)des matrices de taille(m;n)à coefficients dansKmuni de la somme est un groupe commutatif,eest la matrice nulle. L"ensem bleGL(n;K)des matrices carrées inversibles de taillenà coefficients dansK, muni du

produit des matrices. Le neutre est la matrice identité, l"inverse est la matrice inverse. Il est non

commutatif sin >1. Le grou pesymétrique Sndes bijectionsdef1;2;:::;ngdans lui-même. Nous allons revenir en

détails surSnpar la suite. Ses élémentssont appelés des permutations def1;2;:::;ng. L"ensemble

S

n, muni de la composition des applications est un groupe dont l"élément neutre est l"identité, noté

Id. Il est non commutatif sin3. On note parfois la composition plus simplement12au lieu de 12. 6 7 Rappelons maintenant la définition deZ=nZ, oùn1est un entier. On définit surZla congruence modulonde la manière suivante : on dit queaest congruent àbsiabest divisible par net on notea=bmodn. C"est une relation d"équivalence. On noteZ=nZl"ensemble quotient pour cette relation d"équivalence. On noteamodn,aou tout simplementas"il n"y a pas d"ambiguïté, la classe d"équivalence d"un élémenta2Z. Le cardinal deZ=nZestn.

V enons-enà l"exemp letrès imp ortantdu groupecommutatif(Z=nZ;+). On définit une opération

d"addition dansZ=nZen posant : (amodn) + (bmodn) = (a+b) modn:

Pour avoir un sens, il faut montrer que cette définition ne dépend pas du choix d"un représentant

d"une classe de congruence modulon. Autrement dit, sia=a0modnetb=b0modn, il faut montrer que(a+b) = (a0+b0) modn. Pour cela, on traduit les congruences par des égalités dans Z: il existeutel quea=a0+unet il existevtel queb=b0+vn. Alors(a+b) = (a0+b0)+(u+v)n

ce qui conduit à :(a+b) = (a0+b0) modn. On vérifie aisément que le neutre pour cette opération

est0 modnet que tout élémentxmodnest inversible, d"inversexmodn.

On p eutégalemen tutiliser le groupe multiplicatif(Z=nZ).De la même façon que pour l"addition,

on peut définir une multiplication dansZ=nZen posant : (amodn)(bmodn) = (ab) modn:

Cette loi est associative, commutative, et possède un élément neutre qui est1 modn. Par contre,

tout élément n"est pas inversible, en particulier0 modnn"estjamaisinversible. Par exemple, on vérifie facilement que les inversibles modulo4sont1et3. Définition 6.Pourn2, on note(Z=nZ)l"ensemble des éléments deZ=nZqui sont inversibles pour la multiplication.

On a donc :

(Z=nZ)=famodn:il existeb2Ztel queab= 1 modng: Alors(Z=nZ)muni de la multiplication est un groupe commutatif.

Par exemple :

En général,(Z=nZ)n"est donc pasZ=nZprivé de0.

Exercice 7.Démontrez en détail que la multiplication définie ci-dessus a bien un sens, et que

(Z=nZ)muni de cette multiplication est un groupe commutatif.

Notations.Cette duplicité de structures de groupe lié àZ=nZnous amène aux quelques mots d"aver-

tissement suivants. Pour alléger les notations, on va souvent utiliser lanotation multiplicativepour un

groupe général :xy=xy, ete= 1. On dit quexyest leproduitdexety. On utilise aussi les raccourcis

x n=x x(ntermes),x0=e, pourn2Netxn=x1 x1.

Lorsque le groupe est commutatif, en particulier lorsque la loi est issue de l"addition usuelle, on emploie

souvent lanotation additivexy=x+yete= 0. Alors on parle d"opposé plutôt que d"inverse d"un

élément, et on notenx=x++x.

Notons enfin que si l"on dispose de deux groupes(G;)et(G0;), on peut définir leproduit directGG0 de ces deux groupes comme l"ensemble

GG0=f(x;y) :x2G;y2G0g:

Muni de l"opération :(x;y)(x0;y0) = (xx0;yy0), c"est un groupe dont le neutre est(eG;eG0)et l"inverse

de(x;y)est(x1;y1). 7 8

I.3. Sous-groupes.

Définition 8.Soit(G;)un groupe. Un sous-groupe deGest un sous-ensembleHGtel que la loi préserveHet(H;)est un groupe. Proposition 9.Soit(G;)un groupe et soitHG. AlorsHest un sous-groupe deGsi et seulement si (i)Pour toutx2H;y2H;xy2H: (ii)e2H (iii)Pour toutx2H;x12H: Démonstration.Examinons les propriétés que doit vérifierHGpour être un groupe pour. Tout d"abord il est nécessaire que la loisoit interne dansH, c"est-à-dire quexy2Hpour tout x2H,y2H. Remarquons que la loiétant associative dansG, elle l"est forcément dansH. Le neutre deHne peut être que le neutre deG. En effet, sie0est le neutre deH, on a commee02G, e

0e=e0. Mais aussie0e0=e0en raisonnant dansH. Donce0e=e0e0. Commee02G, il a un inversee01

dansG. On multiplie la précédente égalité à gauche par celui-ci, pour obtenir :(e01e0)e= (e01e0)e0

soitee=ee0soite=e0. Donc si(H;)est un groupe, son neutre estele neutre deG.

Pour ce qui est de l"inverse, un élément deHa bien toujours un inverse (unique) dansG. Il faut donc

que cet inverse appartienne àH.

Réciproquement, si les propriétés (i), (ii), (iii), sont vérifiées, alors(H;)est bien un groupe. En effet,

l"associativité et la propriétéex=xsont automatiquement vraies dansHpuisqu"elles sont vraies dans

G.

La proposition suivante énonce une propriété minimale suffisante à vérifier pour qu"un sous-ensemble

deGsoit un sous-groupe deG. Proposition 10.Soit(G;)un groupe et soitHG. AlorsHest un sous-groupe deGsi et seulement si,Hest non vide, et vérifie :

Pour toutx2H;y2H;xy12H:(1)

Démonstration.Supposons queHsoit un sous-groupe deG. Alors on a vu queHvérifie (i), (ii), (iii). En particulier (ii) indique que le neutreedeGappartient àHdoncHest non vide. Sixetysont dansH, d"après (iii),y12Het, d"après (i),xy12H.

Réciproquement, supposons queHest non vide et vérifie (1). Il contient donc un élémentx. Donc, par

(1),xx1=e2H. En appliquant encore (1), on obtientex1=x12H. Sixetysont dansH, on a vu quey12H, donc encore avec (1),xy=x(y1)12H. Donc (i), (ii), (iii) sont vérifiées doncH est bien un sous-groupe deG.

Exemple 11.

-fegetGsont des sous-groupes deG. Pour tout nentier naturel, l"ensemblenZ:=fnq; q2Zgest un sous-groupe de(Z;+). En effet, il est non vide puisque02nZet six=nk2nZ,y=n`2Z,xy=n(k`)2nZ. Proposition 12.Les sous-groupes de(Z;+)sont lesnZ, pourndansN. Démonstration.On vient de voir quenZest un sous-groupe deZ. Réciproquement, soitHun sous-

groupe deZ. Il est, par définition, nécessaire queHcontienne le neutre0. SiHcontient un autre élément,

disonsx, alors il contient nécessairement un élément strictement positif, car six <0alors son inverse

xest aussi dansH. Il fait donc sens de considérernle plus petit élément strictement positif. Prenons

maintenantx2Hquelconque. Par division euclidienne il existeqdansZetr2 f0;1;:::;n1gtels que x=qn+r. Alorsqn, et doncr=xqnappartient àH. Commer2 f0;1;:::;n1g \Het quen

est le plus petit élément strictement positif deH, il n"y a qu"une possibilité c"estr= 0. Doncx2nZet

H=nZ. 8 9

Evoquons maintenant la stabilité de la notion de sous-groupes vis-à-vis des opérations ensemblistes

usuelles.

La proposition suivante, relative à l"intersection, dont la preuve est laissée au lecteur, sera utile pour

la suite. Proposition 13.SoitH1etH2deux sous-groupes de(G;). L"intersectionH1\H2deH1etH2est un

sous-groupe deG. De manière générale, une intersection quelconque de sous-groupes est un sous-groupe :

si(Hi)i2Iest une collection de sous-groupes deG, l"intersection\i2IHiest aussi un sous-groupe deG. Attention, en revanche la réunion de deux sous-groupes n"est pas un sous-groupe. Par exemple2Z[3Z n"est pas un sous-groupe de(Z;+)car2 + 3 = 5n"est pas dans cet ensemble.

I.4. Sous-groupes engendrés par une partie.

Définition 14.SoitSG. On appellesous-groupe engendré parSet on notehSil"intersection de tous les sous-groupes deGcontenantS.

Il est facile de vérifier que c"est un sous-groupe deG, et que c"est le plus petit contenantS(au sens

où, siHest un sous-groupe deGcontenantS, alorshSi H).

SiS=fxgavecx2G, on notehxi=hfxgi.

Exemple 15.

(1)

Si S=feg,hei=feg

(2)

Si S=f2;3g Z,hSi=Z. En effet,1 = 322 hSi.

Proposition 16.SoitGun groupe noté multiplicativement. (1)hxi=fxk:k2Zg. (2) Si xetycommutent, i.e.xy=yx, alorshx;yi=fxky`:k;`2Zg.

La preuve est laissée au lecteur.

À partir de maintenant, on utilise systématiquement la notation multiplicativexy=xyete= 1G pour un groupe généralG. Un peu plus tard on simplifiera encore1Gen1.

I.5. Ordres.

Définition 17.L"ordre d"un groupe est le nombre de ses éléments (il peut être infini). On notejGjl"ordre

deG. Définition 18.SoitGun groupe et soitx2G. L"ordre dexest le plus petit entierk1, s"il existe, tel quexk= 1G. Si pour toutk1,xk6= 1G, on dit quexest d"ordre infini.

Exemple 19.

L eneutr e1Gest toujours d"ordre1.

Dans (Z;+), tout élément non nul est d"ordre infini. Dans (Z=nZ;+), tout élémentavérifiena= 0. Maisan"est pas forcément d"ordren. Exemple : dansZ=6Z,2est d"ordre3.

Dans (Z=nZ;+),1est d"ordren.

Proposition 20.SoitGun groupe et soitx2G, un élément d"ordrek. Sin2Zet sin=kq+r, avec q;rdansZet0r < kest la division euclidienne denpark, alors x n=xr:

De plus on a l"équivalence :

x n= 1G()kdivisen 9 10 Démonstration.Sin=kq+ralorsxn=xkq+r= (xk)q:xr. Donc, sixk= 1alorsxn=xr.

En particulier, sikdivisenalorsr= 0etxn=xr= 1.

Réciproquement, sixn= 1, alorsxr= 1avec0r < kmais commekest le plus petit entier positif avec cette propriété, c"est quer= 0et donc quekdivisen.

Remarque 21.

(1) Si xn= 1G, il ne faut pas conclure trop rapidement quenest l"ordre dex. Par contre, on sait que

l"ordre dexest un diviseur den, ça limite les possibilités. En fait, on peut alors calculer l"ordre

dexen descendantl"arbre des diviseurs den. (2)

Si Gest un groupe fini, alors tout élément est d"ordre fini. En effet,f1G;x;x2;:::;xn;:::gne peut

être infini donc il existek < `tels quexk=x`d"où on tirex`k= 1G.

On a déjà vu la notion de sous-groupe engendré par un élémentx2G. Cette notion va justement nous

permettre de définir la notion de groupe cyclique. Définition 22.Un groupeGest ditmonogènes"il existex2Gtel queG=hxi. Un groupe monogène fini est ditcyclique. Un élémentxtel queG=hxiest appeléun générateurdeG. Exemple 23.Le groupe(Z=nZ;+)est cyclique d"ordren. Le groupe((Z=5Z);)est cyclique d"ordre4.

Listez leurs générateurs.

Proposition 24.SoitGun groupe etx2G.

(1)

Si xest d"ordrek,hxi=f1;x;x2;:::;xk1getjhxij=k.

(2)Gest cyclique si et seulement siGcontient un élément d"ordrejGj. Démonstration.On a déjà vu quehxi=fxn:n2Zgdoncf1;x;x2;:::;xk1g hxi. Sixest d"ordrek,xn=xroùrest le reste dendans la division euclidienne park,0r < k, donc l"inclusion

inverse est vérifiée. Il reste à montrer que l"ensemblef1;x;x2;:::;xk1ga exactementkéléments, c"est-

à-dire que lesxi,0ik1sont distincts. En effet, supposons que, pour0i < jk1, on ait x i=xj. Alors,xji= 1. Mais1jik1, donc c"est en contradiction avec la propriété quekest le plus petit entier positif tel quexk= 1.

SupposonsGcyclique. Alors, il existex2Gtel queG=hxi, et, d"après la discussion qui précède,jGj

est égal à l"ordre dex. DoncGcontient bien un élément dont l"ordre vautjGj. Réciproquement, supposons

queGcontienne un élémentxd"ordrek=jGj. Alorshxi Getjhxij=k=jGjdonc on peut conclure quehxi=G

Attention : Un groupe cyclique n"a pas un unique générateur. En fait, il a autant de générateurs qu"il

y a d"éléments d"ordre égal à l"ordre de ce groupe.

I.6. Morphisme de groupe.

Définition 25.Si(G;?)et(G0;)sont deux groupes, on dit qu"une application:G!G0est un morphisme de groupes si(x ? y) =(x)(y), pour tousx;y2G.

Donnons quelques exemples. L"application constante égale au neutre est un morphisme. L"identité est

un morphisme d"un groupe vers lui-même. La fonction exponentielleC!C,z7!ezvérifieez+z0= ezez0: C"est donc un morphisme de groupes de(C;+)dans(C;)et, par restriction, de(R;+)dans(R;). Proposition 26.On considère deux groupesGetG0et un morphisme de groupes:G!G0. On note respectivementeete0les neutres deGetG0Alors(e) =e0. Démonstration.Il suffit de prendrex=x0=edans la définition et de simplifier. Proposition 27.On considère deux groupesGetG0et un morphisme de groupes:G!G0. Alors pour toutxdansG,(x1) =(x)1. 10 11

Démonstration.Il suffit de prendrex0=x1dans la définition et d"utiliser la proposition précédente.

On laisse le lecteur vérifier l"énoncé suivant. Proposition 28.Soit:G!G0un morphisme de groupes. Alors l"image réciproque1(H0)de tout sous-groupeH0deG0est un sous-groupe deG. L"image directe(H)de tout sous-groupeHdeGest un sous-groupe deG0. En particulier, pour tout morphisme:G!G0, l"imageIm() =(G)et le noyauker() =1(fe0g) sont des sous-groupes deG0.

On regroupe les définitions suivantes.

Définition 29.

Un isomor phismede gr oupesest un morphisme de gr oupesqui est bije ctif. L orsqu"ilexiste un isomorphisme du gr oupeGvers le groupeG0, sa bijection réciproque est un isomorphisme du groupeG0vers le groupeG; on dit alors que les deux groupes sont isomorphes, ce que l"on noteG'G0. Un automorphisme du gr oupeGest un isomorphisme deGversG. L"ensemble des automorphismes du groupeGest généralement notéAut(G).

On vérifie facilement la proposition suivante.

Proposition 30.Aut(G)est un sous-groupe du groupe des bijections deGdansG, muni de la loi de composition.

II. Le groupe symétriqueSn

II.1. Définition.On commence par rappeler la notion de permutation, ce seront les éléments du

groupe symétrique. Définition 31.Unepermutationdef1;2;:::;ngest une bijection def1;2;:::;ngdans lui-même. Définition 32.On appelle groupe symétrique de l"ensemblef1;2;:::;nget on noteSnl"ensemble des permutationsdef1;2;:::;ngmuni de la loi de composition. Une permutation est notée de la façon suivante : =1 2 3::: n (1)(2)(3)::: (n) Un exemple important de permutation est celui des transpositions.

Définition 33.Unetranspositionest une permutation qui laisse invariant tous les éléments sauf deux

qu"elle échange : il existe deux éléments distinctsietjtels que : (i) =jet(j) =iet8k6=ietk6=j; (k) =k: Voyons maintenant une autre classe de permutations qui généralise la notion de transposition.

Définition 34.Uncycleest une permutation particulière qui permute circulairement un sous-ensemble de

f1;:::;nget laisse les autres éléments inchangés. On note le cycle= (a1;:::;ap),p2, si(a1) =a2,

(a2) =a3;:::;(ap) =a1. On dit quep2estla longueurdu cycleet on la note`().

Une transposition est donc un cycle de longueur2.

Exemple 35.Considérons dansS5:

=1 2 3 4 5

3 1 2 4 5

On constate queest le cycle de longueur3qui envoie1sur3,3sur2et2sur1, que l"on peut aussi noter := (1;3;2): 11 12

Exemple 36.Les éléments deS3sont

Id =1 2 3

1 2 3 ;(1 2) =1 2 3 2 1 3 ;(1 3) =1 2 3 3 2 1 (2 3) =quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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