Mathématiques pour la Physique.
Grace à leurs efforts ce manuscrit a un aspect beaucoup plus présentable. web. : www-liphy.ujf-grenoble.fr/pagesperso/bahram/Math/math.htm. : bahram.
Mathématiques pour la physique et les physiciens !
— le chapitre 4 traite des fonctions holomorphes (c'est-à-dire dérivables au sens complexe) et montre qu'elles sont analytiques. Certaines notions physiques.
Notes de cours Physique mathématique
23 fév. 2017 Ce type de fonction est très utile en mathématiques pour étudier des phénomènes localisés (“partitions de l'unité”).
Le calcul tensoriel et différentiel : outil mathématique pour la
La physique des milieux continus est une branche de la physique qui s'est développée au. XIX`eme si`ecle puis a connu des sommets au XX`eme si`ecle
Mathématiques pour la physique
Mathématiques pour la physique. Cours + Exercices corrigés. François Reynaud. Professeur de physique à la faculté des sciences de Limoges. Daniel Fredon.
Méthodes Mathématiques pour la Licence de Physique et Chimie
Exercices corrigés. 6. Mathematiques pour la Physique Walter Appel
Cours de Mathématiques pour la Physique
ainsi on a 6 possibilités différentes pour le calcul de l'intégrale I. Page 17. Chapitre 1. Intégrales simples et multiples. Université Djilali Bounaama à
Les maths en physique - 3ème édition
mettre en avant l'intérêt des mathématiques pour la physique en montrant comment un la mani`ere dont elles agissent sur les grandeurs physiques.
PSI2. Formulaire de maths pour la physique. Bases de Sup
De la sinusoïde à la notation complexe. Page 2. A 2 maths pour la physique bases sup.docx. Page 2 sur 14.
Le calcul tensoriel et dierentiel :
outil mathematique pour la physique des milieux continus parEmmanuel Plauta Mines NancyVersion du 2 septembre 2021 Table des matieres
Introduction5
1 Algebre tensorielle9
1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes
91.1.1 Remarque sur la notation:
eche vs barre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Convention de sommation sur les indices repetes
10 Ex. 1. 1 : Su rl acon ventionde somm ationsu rl esi ndicesr epetes 101.1.3 Produit scalaire - Premiere rencontre avec le point de contraction
111.1.4 Formule de changement de base - Notion de representation
11 Ex. 1. 2 : V ericationd el acoh erencede l ad enitiond up roduitscal aire 131.1.5 Sur le caracteredes bases i.e. la notion d'orientation. . . . . . . . . . . . . 13
1.1.6 Tenseurs d'ordre 0 et 1
131.2 Denition des tenseurs comme applications lineaires
131.3 Les tenseurs d'ordre 2 comme applications lineaires
141.3.1 Representation par une matrice
141.3.2 Formule de changement de base
141.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs
151.3.4 Application : ecriture intrinseque d'un tenseur d'ordre 2
15 Ex. 1. 3 : D el 'inter^etde la n otationp roduitt ensoriel 151.3.5 Tenseur identite
161.4 Les tenseurs d'ordre 2 comme applications bilineaires
161.4.1 Denition et exemple
161.4.2 Applications : denition de la transposition, tenseurs (anti)symetriques
17 Ex. 1. 4 : T ranspositiond 'unpr oduitt ensoriel 171.5 Les tenseurs comme applications multilineaires
181.5.1 Denition des tenseurs comme applications multilineaires
18 Ex. 1. 5 : App licationd el ad enitionm ultilineairer ecurrenteau cas n= 2. . . . . . . . . . . 181.5.2 Denition generale du produit tensoriel
18 1.5.3 Ecriture intrinseque et representation - Base - Changement de base. . . . . . . . . . . 192Table des matieresEx.1. 6: Ch angementde bas ep ouru nt enseurd 'ordre2 ap plicationbi lineaire. . . . . . . . . 20
1.5.4 Denition generale du produit contracte
20 Ex. 1. 7 : Pr oduitcon tracted ed euxv ecteurs 21Ex. 1. 8 : Pr oduitcon tracted 'unt enseurd 'ordre2 et d 'unv ecteur 21
Ex. 1. 9 : Pr oduitcon tracted ed euxt enseursd 'ordre2 22
Ex. 1. 10 : Ass ociativitedu pr oduitd econ tractiond ansu nc asg eneral 22
1.5.5 Denition generale du produit doublement contracte
221.6 Tenseur alterne fondamental et applications
241.6.1 Denition du tenseur alterne fondamental
24Ex. 1. 11 : Ut ilisationd ut enseural ternef ondamentalp ourcal culd' und eterminant 25
1.6.2 Produits mixte et vectoriel
261.6.3 Vecteur dual d'un tenseur d'ordre 2 - Tenseurs antisymetriques
27Ex. 1. 12 : F ormulesp ortantsu rl ete nseuralt ernef ondamentale tle v ecteurd ual 27
Ex. 1. 13 : F ormuled udou blepr oduitv ectoriel 27
Ex. 1. 14 : V ecteurd uald 'unt enseurd 'ordre2 sy metrique 27
Ex. 1. 15 : T enseuran tisymetriqueen fon ctionde son v ecteurdu al 28
1.7 Exemples en mecanique des milieux continus
281.8 Notes personnelles
282 Analyse tensorielle31
2.1 Gradient d'un champ de tenseur
322.1.1 Denition intrinseque en tant que dierentielle
322.1.2 Calculs en coordonnees cartesiennes
322.2 Cas du gradient d'un champ de vecteur
342.2.1 Decomposition en parties symetrique et antisymetrique
342.2.2 Signication de la partie symetrique
342.2.3 Signication de la partie antisymetrique - rotationnel
342.3 Divergence d'un champ de tenseur
362.3.1 Denition intrinseque a partir du gradient
362.3.2 Calculs en coordonnees cartesiennes
362.4 Integration des champs de tenseurs
372.4.1 Denitions
372.4.2 Formule integrale du rotationnel
382.4.3 Formule integrale de la divergence
39Ex. 2. 1 : D emonstrationd el af ormulede la d ivergencedan sl ec asg eneral 40
2.4.4 Application : signication physique de l'operateur divergence
402.5 Laplacien d'un champ de tenseur
432.5.1 Denition intrinseque a partir du second gradient
432.5.2 Calculs en coordonnees cartesiennes
432.6 Exercices visant a etablir un formulaire
44Ex. 2. 2 : D ivergencee trot ationneld 'unp roduits calaire-vecteur 44
Ex. 2. 3 : Comp ositionsd 'operateursd ierentielsn ulles 44
Ex. 2. 4 : D ivergenced 'ungr adientt ranspose 44
Table des matieres3Ex.2. 5: D ivergencee trot ationneld 'unp roduitv ectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2. 6 : D ivergenced 'unp roduitt ensoriel 44Ex. 2. 7 : D ivergenced ed iversp roduits 45
Ex. 2. 8 : F ormuled udou blerot ationnele tapp lication 45
Ex. 2. 9 : F ormulesde Na vieren elasticite 46
Ex. 2. 10 : R eecrituresdu t ermenon l ineaired el 'equationd eNa vier-Stokes 46
Ex. 2. 11 : D eriveep articulaired el ad ensited 'energieci netique 46
2.7 Calculs en coordonnees cylindriques
472.7.1 Systemes a symetrie cylindrique - Principe de Curie
472.7.2 Denition des coordonnees cylindriques
472.7.3 Expressions du gradient
482.7.4 Expression du rotationnel
492.7.5 Expressions de la divergence
502.7.6 Expressions du laplacien
51Ex. 2. 12 : Su rl ecal culd ul aplaciend' unc hampv ectoriele nc ylindriques 51
Pb. 2. 1 : Asp ectsmat hematiquesd el 'etuded' unt uyaus ouspr ession 52
Pb. 2. 2 : Asp ectsmat hematiquesd el 'etuded' unr heometred eCou ettec ylindrique 53
2.8 Calculs en coordonnees spheriques
542.8.1 Denition des coordonnees spheriques
542.8.2 Expressions du gradient
562.8.3 Expression du rotationnel
562.8.4 Expressions de la divergence
562.8.5 Expressions du laplacien
572.9 Notes personnelles
573 Complements : potentiels et rotationnels
593.1 Existence de potentiel scalaire : theoreme de Cauchy
593.2 Existence de potentiels vecteurs pour des champs. . . . . . . . . . . . . .60
3.2.1 Rotationnel d'un champ de tenseurs d'ordre 2
603.2.2 Premier theoreme de Cauchy generalise
613.2.3 Lemmes
613.2.4 Deuxieme theoreme de Cauchy generalise
623.3 Existence de potentiel vecteur pour un champ a divergence nulle
63Bibliographie65
A Normes - Notations de Landau pour la comparaison asymptotique 67A.1 Sur l'exercice
1. 11 : n ormes& not ationd ed ominationO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67A.2 Sur le gradient : normes & notation de negligeabiliteo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
Ex. A. 1 Etude locale d'un champ de vecteur analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684Table des matieresB
Elements de correction des exercices et problemes69B.1 Corriges du chapitre 1 - Algebre tensorielle
69Ex. : Sur la convention de sommation sur les indices repetes 69
Ex. : Verication de la coherence de la denition du produit scalaire 69
Ex. : De l'inter^et de la notation produit tensoriel 70
Ex. : Transposition d'un produit tensoriel
70Ex. : Application de la denition multilineaire recurrente au casn= 2. . . . . . . . . . . . . 70 Ex. : Changement de base pour un tenseur d'ordre 2 application bilineaire 71
Ex. : Produit contracte de deux vecteurs
71Ex. : Produit contracte d'un tenseur d'ordre 2 et d'un vecteur 71
Ex. : Produit contracte de deux tenseurs d'ordre 2 71
Ex. : Associativite du produit de contraction dans un cas general 71
Ex. : Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul d'un determinant 72
Ex. : Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual 72
Ex. : Formule du double produit vectoriel
72Ex. : Vecteur dual d'un tenseur d'ordre 2 symetrique 73
Ex. : Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual 73
B.2 Corriges du chapitre 2 - Analyse tensorielle
73Ex. : Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general 73
Ex. : Divergence et rotationnel d'un produit scalaire-vecteur 74
Ex. : Compositions d'operateurs dierentiels nulles 74
Ex. : Divergence d'un gradient transpose
75Ex. : Divergence et rotationnel d'un produit vectoriel 75
Ex. : Divergence d'un produit tensoriel
75Ex. : Divergence de divers produits
75Ex. : Formule du double rotationnel et application 75
Ex. : Formules de Navier en elasticite
76Ex. : Reecritures du terme non lineaire de l'equation de Navier-Stokes 76
Ex. : Derivee particulaire de la densite d'energie cinetique 76
Ex. : Sur le calcul du laplacien d'un champ vectoriel en cylindriques 76
Pb. : Aspects mathematiques de l'etude d'un tuyau sous pression 76
Pb. : Aspects mathematiques de l'etude d'un rheometre de Couette cylindrique 77
Introduction
Laphysique des milieux continusest une branche de la physique, qui s'est developpee au XIX emesiecle puis a connu des sommets au XXemesiecle, dans laquelle la matiere est consideree a des echelles susamment grandes pour que sa nature discrete, en tant que somme d'electrons, de protons et neutrons en interactions dans le vide, n'apparaisse pas. Au contraire, la matiere est consideree comme la reunion de milieux continus uides ou solides, separes par des interfaces. De m^eme, le rayonnement est considere comme consistant en des vibrations continues des champs electrique et magnetique1, et non comme des photons discrets. Les eets quantiques sont donc
3, et seul le tout premier
est enseigne a Mines Nancy en 1 ereannee, dans les modulesMecanique des milieux continus solides et uidespuisTransformation de la matiere et de l'energie. Tous ces domaines se sont developpes gr^ace au bon sens physique de certains de nos anc^etres, et aussi gr^ace a la mise au point par ces m^emes anc^etres4d'outils mathematiquesque l'on pourrait designer comme l' vectorielle generalisee 5>et l',
mais que l'on appelle plut^otou plus simplementtensoriel>, sous-entendant l'adjectif...1. Le lieu de ces vibrations ouest soit le vide, que l'on peut considerer comme lele plus simple possible, soit la matiere... 2. Les frontieres entre ces domaines sont poreuses. Par exemple la modelisation complete des eets piezoelectriques
ou thermoelectriques est a l'interface entre les domaines 1 et 2. De m^eme en relativite (domaine 3) on peut se poser
la question des lois de transformation des champs electromagnetiques (domaine 2) par changement entre deux
referentiels en translation tres rapide... 3. Quoiqu'en spatial des eets relativistes soient a prendre en compte...
4. Par exemple, Cauchy, professeur d'analyse (donc de mathematiques) a l'ecole polytechnique au debut du
XIX emesiecle... et inventeur du, objet incontournable de la mecanique des
milieux continus... 5. Le motvient de l'arabesigniantou. L'algebre etudie
les() entre nombres, vecteurs, matrices, etc..., via dierentes, somme,
produits, etc... 6. Le motvient du grecsigniant. L'analyseet
gr^ace aucalcul dierentieletintegralou. Ainsi la variation de temperature entre les
deux extremites d'un segment estcommeT(b)T(a) =Rb adT=Rb aT0(x)dx... La m^eme doit pouvoir ^etre faite pour un champ de vecteurs, par exemple le champ electrique, ce qui introduit la question de
lad'un champ de vecteurs, etc... 6IntroductionEn puriste, on distinguerait
lecalcul tensoriel(forcement algebrique mais non dierentiel), dans lequel lestenseurs sont desobjets algebriques, cf. le chapitre1 ducalcul tensoriel(toujours algebrique)dierentiel, cf. les chapitres2 e t3 , dans le- quel ces objets se mettre a dependre de la position dans l'espace physique - ce sont des - et cette dependance est... Dans les deux cas, des liens forts avec lageometrieexistent : cf. par exemple toutes les applica- tions geometriques de la section 1. 6 , ou encore l'etude du gradient d'un champ de vecteur de la section 2. 2 . Ainsi, lamecanique des milieux deformablesdans notre espace tridimensionnel, domaine d'application qui nous motive le plus, ne peut se passer de calcul tensoriel... Historiquement, pour construire tout l'edice du calcul tensoriel, il y a eu quelques etapes. L'une des plus importantes correspond a l'article remarquable de Ri cci& Le vi-Civita
1900
). On re- commande aux lecteurs les plus interesses de parcourir cet article, ecrit en bon francais par des italiens dans une revue allemande... Dans son titre,Methodes de calcul dierentiel absolu et leurs applications, on dirait plut^ot maintenantqu'; nous verrons bien vite, des la section 1. 1.4
, revenir cet important mot cle... Depuis quelques decennies, le fait que la physique ait besoin, pour se developper, d'outils mathematiques, a parfois ete minimise, voire nie, par une certaine partie, assez, de la communaute physicienne francaise. Cette attitude est une reaction, initialement saine, aux exces de mathematisation dans l'enseignement des sciences, par exemple celui de la mecanique, dans les annees 1960-1970 et plus tard. Il nous semble cependant que cette reaction a souvent ete trop loin, pour mener dans des cas extr^emes a des armations deraisonnables comme... Mathematiser et formaliser a outrance sont sans doute, pour la physique, aussi nuisibles que de cacher tous les calculs sous des raisonnements soi-disant, mais en fait impossible a developper sans conna^tre les fameux calculs. Un certain equilibre doit ^etre trouve entre mathematiques et physique, la deuxieme n'existant pas sans les premiers, puisque modeliser c'est decrire des phenomenes en langue mathematique, comme l'ont dit deux grands physiciens : Or il est ecrit en langue mathematique, (...) sans laquelle il est humainement impossible d'en comprendre un seul mot, sans laquelle on erre vraiment dans un labyrinthe obscur.> Galilee
`Our experience hitherto justies us in believing that nature is the realization of the simplest conceivable mathematical ideas. I am convinced that we can discover by means of purely mathematical constructions the concepts and the laws connecting them with each other, which furnish the key to the understanding of natural phenomena... Experience may suggest the appropriate mathematical concepts, but they most certainly cannot be deduced from it. Introduction7Experience remains, of course,
the sole criterion of the physical utility of a mathematical construction. But the creative principle resides in mathematics. In a certain sense, therefore, I hold it true that pure thought can grasp reality, as the ancients dreamed.' Einstein
7 Notre objet est donc une introduction au calcul tensoriel, dans une optique evidemment, et avec une approche deassumee, m^eme si elle est imposee par le cours volume horaire alloue. L'eleve interesse par le calcul dierentiel et integral mathematiquement rigoureux pourra completer les bases vues en classes preparatoires en consul- tant Ch atterji
1997
8. Tous liront, au moment ou ils rencontreront ces symboles, au niveau de
l'exercice 1. 11 p ourO, de la section2.1 p ouro, les annexesA. 1et A.2 . Elles visent a denir ces notations ainsi que le concept de norme dans notre contexte... Par souci de simplicite, on se focalise sur lestenseurs euclidiens. L'existence du produit sca- laire permet d'identier l'espace vectoriel de travailR3(ouR2) a son dual. On commence dans les chapitres 1 et 2 par l est enseursr epresentess urde sbases orthonormees(directes)et en coordonnees cartesiennes 9. Cependant, on introduit les champs de tenseurs representes enco-
ordonnees curvilignesa la n du chapitre2 . Le chapitre3 don ned es elementss urle sp roblemes de. Par realisme, on le declare; cependant les eleves les plus interesses voudront bien le lire... et ceux qui poursuivront plus tard en mecanique verront bien son importance... La theorie generale des tenseurs en base quelconque et en distinguant l'espace de son dual 10est introduite par exemple dans les annexes I de S alencon
1996
) ou A de F orest& Ame stoy
2020
et presentee de facon plus exhaustive dans P ernes
2003
). Une presentation plus mathematique de cette theorie, qui n'oublie pas cependant ses applications, est donnee dans Li chnerowicz
1946
Appel 2005
G arrigues
2007
). Deux autres references interessantes, mais moins exhaustives, sontquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
5>et l',
mais que l'on appelle plut^ot2. Les frontieres entre ces domaines sont poreuses. Par exemple la modelisation complete des eets piezoelectriques
ou thermoelectriques est a l'interface entre les domaines 1 et 2. De m^eme en relativite (domaine 3) on peut se poser
la question des lois de transformation des champs electromagnetiques (domaine 2) par changement entre deux
referentiels en translation tres rapide...3. Quoiqu'en spatial des eets relativistes soient a prendre en compte...
4. Par exemple, Cauchy, professeur d'analyse (donc de mathematiques) a l'ecole polytechnique au debut du
XIXemesiecle... et inventeur du
5. Le motvient de l'arabesigniantou. L'algebre etudie
les
6. Le motvient du grecsigniant. L'analyseet
gr^ace aucalcul dierentieletintegralou
doit pouvoir ^etre faite pour un champ de vecteurs, par exemple le champ electrique, ce qui introduit la question de
la6IntroductionEn puriste, on distinguerait
lecalcul tensoriel(forcement algebrique mais non dierentiel), dans lequel lestenseurs sont desobjets algebriques, cf. le chapitre1 ducalcul tensoriel(toujours algebrique)dierentiel, cf. les chapitres2 e t3 , dans le- quel ces objets se mettre a dependre de la position dans l'espace physique - ce sont desRi cci& Le vi-Civita
1900). On re- commande aux lecteurs les plus interesses de parcourir cet article, ecrit en bon francais par des italiens dans une revue allemande... Dans son titre,Methodes de calcul dierentiel absolu et leurs applications, on dirait plut^ot maintenant
1. 1.4
, revenir cet important mot cle... Depuis quelques decennies, le fait que la physique ait besoin, pour se developper, d'outils mathematiques, a parfois ete minimise, voire nie, par une certaine partie, assezGalilee
`Our experience hitherto justies us in believing that nature is the realization of the simplest conceivable mathematical ideas. I am convinced that we can discover by means of purely mathematical constructions the concepts and the laws connecting them with each other, which furnish the key to the understanding of natural phenomena... Experience may suggest the appropriate mathematical concepts, but they most certainly cannot be deduced from it.Introduction7Experience remains, of course,
the sole criterion of the physical utility of a mathematical construction. But the creative principle resides in mathematics. In a certain sense, therefore, I hold it true that pure thought can grasp reality, as the ancients dreamed.'Einstein
7 Notre objet est donc une introduction au calcul tensoriel, dans une optique evidemmentCh atterji
19978. Tous liront, au moment ou ils rencontreront ces symboles, au niveau de
l'exercice 1. 11 p ourO, de la section2.1 p ouro, les annexesA. 1et A.2 . Elles visent a denir ces notations ainsi que le concept de norme dans notre contexte... Par souci de simplicite, on se focalise sur lestenseurs euclidiens. L'existence du produit sca- laire permet d'identier l'espace vectoriel de travailR3(ouR2) a son dual. On commence dans les chapitres 1 et 2 par l est enseursr epresentess urde sbases orthonormees(directes)et en coordonnees cartesiennes9. Cependant, on introduit les champs de tenseurs representes enco-
ordonnees curvilignesa la n du chapitre2 . Le chapitre3 don ned es elementss urle sp roblemes deS alencon
1996) ou A de
F orest& Ame stoy
2020et presentee de facon plus exhaustive dans
P ernes
2003). Une presentation plus mathematique de cette theorie, qui n'oublie pas cependant ses applications, est donnee dans
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G arrigues
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