[PDF] Les maths en physique - 3ème édition

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LES MATHS EN PHYSIQUE

La physique à travers le filtre

des mathématiques avec éléments d'analyse numérique

Cours et applications

Jean-Pierre Provost

Professeur à l'université de Nice-Sophia Antipolis

Gérard vallée

Maître de conférences à l'université de Nice-Sophia Antip olis 3 e

édition

© Dunod, Paris, 2011

© Dunod, Paris, 2006 pour la 2

e

édition

ISBN 978-2-1005-5933-6

Table des mati`eres

Liste des abr¥eviationsvi

Table des sujets de physiquevii

Avant-proposxi

1Nombresr¥eels; grandeurs physiques; dimensions1

1.1 Grandeurs physiques; continuit¥e;param¥etragesadditifs .......... 1

1.1.1 Survol"physique»des ensemblesN,Z,Q,R............ 1

1.1.2 Param¥etrage additif des lois de composition; logarithmes . . . . . 4

1.1.3 Fonction et notation exponentielles; applications . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Mesure additive du d¥esordre microscopique; grands nombres

et entropie; exemples; irr¥eversibilit¥e................. 8

1.2 Caract`ere alg¥ebriquedesgrandeursphysiques................ 10

1.2.2 Conventions et lois de lê¥electricit¥e................... 12

1.3 Grandeurs physiques et dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Changements dêunit¥es et invariance des lois physiques . . . . . . . 15

1.3.2 Applications et limites de lêanalyse dimensionnelle . . . . . . . . . 18

2 Nombres et notation complexes; plan euclidien22

2.1 Calculsaveclesnombrescomplexes...................... 22

2.1.1 R`egles de calcul; exponentielle imaginaire; fonctions complexes . . 22

2.1.2"Th¥eor`eme fondamental de lêalg`ebre»et applications . . . . . . . 25

2.2 Plan complexe et transformations associ¥ees ................. 26

2.2.1 Plan complexe et plan cart¥esien;produitscalaire;aire....... 26

2.2.2 Transformations dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Etudedecourbesetdemouvementsplans.................. 31

2.3.1 Mouvements et courbes en coordonn¥eespolaires .......... 31

2.3.2 Coniques en coordonn¥ees polaires et cart¥esiennes; foyers . . . . . . 32

2.3.3 MouvementdeKepler......................... 36

2.3.4 Mouvement harmonique; vecteurs tournants . . . . . . . . . . . . 38

2.4 Notation complexe en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.1 Signaux r¥eelsetcomplexes ...................... 39

2.4.2 Syst`emes entr¥ee-sortie; fonctionsdetransfertetimp¥edances . . . . 40

2.4.3 Signaux modul¥esouquasi-monochromatiques............ 42

2.5 Applications `a lêoptique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.1 Interf¥erences .............................. 42

2.5.2 Diraction en lumi`eremonochromatique............... 45

2.5.3 Polarisations .............................. 46

iiTable des mati`eres

3 Espace; sym¥etries; calcul vectoriel51

3.1 Sym¥etrie, invariance et relativit¥e ....................... 52

3.1.1 Groupes de sym¥etrieetinvariance .................. 52

3.1.2 Le groupe de sym¥etriedelaphysique ................ 53

3.1.3 Sym¥etries spatiales (pr¥esentation"exp¥erimentale») ........ 55

3.1.4 Transformation des grandeurs et des champs physiques . . . . . . . 59

3.2 Calculvectoriel;applications ......................... 60

3.2.1 Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte; pseudovecteurs 60

3.2.2 Equations de plans; fr¥equences spatiales; r¥eseaux.......... 64

3.2.3 Di¥erentielles de chemins; eet Doppler; lois de Descartes . . . . . 66

3.2.4 Vecteurs surface; îux de grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.5 Sph`ere,anglesolideetapplications.................. 71

3.2.6 G¥eom¥etrie sph¥erique; notion de transport parall`ele......... 74

3.3 Vecteurs tournants; m¥ecaniquedusolide................... 76

3.3.1 Vecteurs tournants; changements de r¥ef¥erentiels .......... 76

3.3.2 R¥ef¥erentielducentredemasse .................... 78

3.3.3 Cin¥ematique et dynamique dêun corps solide . . . . . . . . . . . . 80

3.4 Syst`emes physiques poss¥edant des sym¥etries................. 83

3.4.1 Sch¥ema g¥en¥eral;principedeCurie.................. 83

3.4.2 Sym¥etries de translation; lois de Descartes et g¥en¥eralisations . . . 84

3.4.3 Sym¥etries de rotation et sym¥etries discr`etes; applications en

¥electromagn¥etismeetenacoustique.................. 85

4 Calcul et physique lin¥eaires; relativit¥e; quantique87

4.1 Espacesvectoriels................................ 87

4.1.1 D¥eìnitions; changements de bases; applications lin¥eaires ..... 87

4.1.2 Structures m¥etriques; fonctions orthonorm¥ees............ 90

4.1.3 Formes quadratiques et antisym¥etriques;volume.......... 91

4.2 Calculmatriciel................................. 94

4.2.1 Bases du calcul matriciel; lien avec le calcul vectoriel . . . . . . . . 94

4.2.2 Matricesn×n; exponentielle; trace; d¥eterminant; inverse . . . . 95

4.2.3 Spectre dêune matricen×n; vecteurs propres; exemples . . . . . 98

4.2.4 Matrices de Pauli; groupe de sym¥etrie de la physique; spineurs . . 101

4.2.5 Groupe de rotation et classiìcation des grandeurs physiques . . . . 103

4.3 Applicationsenphysiqueclassique ......................105

4.3.1 D¥eformations et contraintes; ¥elasticit¥e;viscosit¥e ..........105

4.3.2 Optique matricielle des syst`emes centr¥es...............108

4.3.3 Relativit¥edêEinsteinetquadrivecteurs................111

4.4 Physique quantique et espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.4.1 Cadre g¥

en¥eral; ¥etats quantiques; moyennes; ¥evolution . . . . . . . 118

4.4.2 Dynamique des syst`emes `adeux¥etats; transitions quantiques . . . 120

4.4.3 Fonctions dêondes; E.D.P. de Schr®odinger; ¥etats gaussiens . . . . . 124

4.4.4 Oscillateur harmonique; champ ¥electromagn¥etique.........127

4.4.5 E.D.P. relativistes de Klein-Gordon, Weyl, Dirac; champs quan-

tiques;particulesetantiparticules ..................130

Table des mati`eresiii

5 Fonctions dêune variable; analyse des signaux133

5.1 Savoir-faireconcernantlesfonctions .....................134

5.1.1 Graphe et informations sur une fonction . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.1.2 D¥erivation, d¥eveloppements limit¥es : principaux r¥esultats .....137

5.1.3 Int¥egration; cas des fonctions piqu¥ees ou rapidement oscillantes . . 139

5.1.4 Concavit¥e de lêentropie; travail maximum; transitions de phase . . 141

5.2 Op¥erations sur les fonctions; analyse de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2.1 Op¥erationssurlesfonctions......................145

5.2.2 Impulsion de Dirac ("fonction delta»); exemples m¥ecaniques . . . 147

5.2.3 Analyse de Dirac; r¥eponse impulsionnelle; convolution; ìltrage . . 150

5.3 TransformationdeFourier;analysedeFourier................151

5.3.1 D¥ecomposition de Fourier; spectre dêun signal; formule de Poisson 152

5.3.2 Propri¥et¥es : dualit¥etempsfr¥equence .................154

5.3.3 Transform¥eedeLaplace ........................157

5.3.4 Signaux stationnaires; signaux chaotiques; langage probabiliste . . 158

5.4 Optique de Fourier; ìltrage optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.4.1 D¥ecompositionenondesplanes;ìltrage...............161

5.4.2 Illustrations optiques de la transform¥eedeFourier .........163

6 Equations di¥erentielles; syst`emes dynamiques166

6.1 Syst`emes dynamiques et espace de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.1.1 D¥eìnitions; propri¥et¥es g¥en¥erales ...................167

6.1.2 Exemples de syst`emes dynamiques et de leurs portraits de phase . 170

6.2 Equations lin¥eaires stationnaires; modes propres; stabilit¥e.........174

6.2.1 Equations du premier et du second ordre sans et avec second membre174

6.2.2 Cas g¥en¥eral; modes propres; oscillateurs coupl¥es ..........177

6.2.3 Stabilit¥e et instabilit¥edêunsyst`eme dynamique lin¥eaire stationnaire 180

6.3 Dix ¥equations vectorielles classiques de la physique . . . . . . . . . . . . . 182

6.4 Equations di¥erentielles lin¥eaires `acoecientsvariables ..........187

6.4.1 Quatre exemples; matrices de transfert . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4.2 Ondes stationnaires; ¥etats li¥es;quantiìcation............190

6.4.3 Ondes propagatives; r¥eîexion, transmission, adaptation dêimp¥edance191

6.4.4 Equations avec param`etres p¥eriodiques; th¥eor`eme de Floquet-Bloch 193

6.4.5 Equations dêamplitude; approximation adiabatique . . . . . . . . . 195

6.5 Oscillateurs non lin¥eaires............................197

6.5.1 Oscillateurs lin¥eairement stables faiblement non lin¥eaires . . . . . . 197

6.5.2 Oscillateurs lin¥eairement instables; exemple de Van der Pol;

bifurcations de Hopf et dêun cycle limite . . . . . . . . . . . . . . . 200

7 Fonctions de plusieurs variables; analyse vectorielle204

7.1 Calcul di¥erentiel................................204

7.1.1 D¥eveloppement de Taylor; di¥erentielles; variation seconde;

7.1.2 D¥eriv¥ees spatiales de champs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . 208

7.1.3 D¥eriv¥ees temporelles et applications hydrodynamiques . . . . . . . 212

7.1.4 Changements de variables; r`eglesdecalcul .............214

7.2 Calcul int¥egral .................................216

ivTable des mati`eres

7.2.1 Int¥egration`andimensions; jacobien; cas des tr`es grandes dimensions216

7.2.2 Formes di¥erentielles; formules de Stokes et Ostrogradski . . . . . 219

7.2.3 Analyse vectorielle; fronti`eres et champs d¥ependant du temps;

7.2.4 Bilans de grandeurs; applications aux milieux continus . . . . . . . 227

7.3 Applications `alam¥ecanique et `a lêoptique g¥eom¥etrique...........231

7.3.1 M¥ecanique et fonctions ¥energiepotentielle..............231

7.3.2 Optique g¥eom¥etrique : rayons; surfaces dêonde; caustiques

et probl`emesdêextremum .......................234

7.4 Applications `alathermodynamique .....................238

7.4.1 Role cl¥e de lêentropie; ¥equations dê¥etat; coexistence de phases . . . 239

7.4.2 Potentiels thermodynamiques et ¥equilibres . . . . . . . . . . . . . . 242

7.5 Applications `alê¥electromagn¥etisme......................245

7.5.1 Formulation int¥egrale; champs statiques; milieux . . . . . . . . . . 245

7.5.2 Potentiel scalaire et potentiel vecteur; bilans dê¥energie et de

7.5.3 Calculs avec des densit¥es microscopiques; rayonnement . . . . . . 250

8 Equations aux d´eriv´ees partielles; propagation; diχusion253

8.1 Chaines de syst`emes dynamiques coupl¥es; limite continue . . . . . . . . . 253

8.1.1 Chaines dêoscillateurs; role des conditions aux limites; phonons . . 254

8.1.2 Limite continue; cordes vibrantes; lignes ¥electriques;

hydrodynamique; imp¥edances.....................256

8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8.2.1 E.D.P. lin¥eaires `a coecients constants et solutions ondes planes . 261

8.2.2 Equations de diusion et de propagation; fonctions de Green;

8.2.3 Six E.D.P. li¥ees `auneloideconservation ..............272

8.2.4 Trois exemples dêE.D.P. non lin¥eaires; ondes solitaires . . . . . . . 273

8.3 E.D.P."spatiales»impliquant lêop¥erateurlaplacien ............274

8.3.1 Exemples et analogies physiques; conditions aux limites . . . . . . 274

8.3.2 Unicit¥e des solutions; identit¥e de Green; s¥eparation des variables . 276

8.3.3 Equation de Laplace f= 0 dans le plan et fonctions dêune

variable complexe; applications hydrodynamiques . . . . . . . . . 279

9 Principes variationnels283

9.1 Exemples historiques; formalismes de Lagrange et de Hamilton . . . . . . 283

9.1.1 Principes de Fermat, Maupertuis, Lagrange . . . . . . . . . . . . . 283

9.1.2 Principe de Hamilton dans lêespace de phase . . . . . . . . . . . . 286

9.1.3 Equations dêEuler-Lagrange; sym¥etries et lois de conservation;

9.1.4 Equations de Hamilton et g¥eom¥etrie de lêespace de phase . . . . . 289

9.2 Principes de moindre action et g¥en¥eralisation des mouvements inertiels . . 290

9.2.1 Collisions et introduction de la masse inertielle . . . . . . . . . . . 290

9.2.2 Particules charg¥ees et interactions ¥electromagn¥etiques .......291

9.2.3 Temps propre et gravitation; courbure de lêespace-temps . . . . . 294

9.3 Champs et principes de moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Table des mati`eresv

9.3.1 Equations de Maxwell; action de Schwarzschild . . . . . . . . . . . 297

9.3.2 Equation de Schr®odinger; th¥eor`eme adiabatique . . . . . . . . . . . 298

9.3.3 Equations dêEinstein de la gravitation; action de Hilbert . . . . . 299

10 Probabilit¥es; processus al¥eatoires300

10.1 Langage des probabilit¥es............................300

10.1.1 Grandeurs al¥eatoires et raisonnements logiques; conditionnement . 301

10.1.2 Probabilit¥es; lois de probabilit¥e....................302

10.1.3 Grandeurs moyennes; moments; corr¥elations ............307

10.2 Origine et discussion de quelques lois importantes en physique . . . . . . . 308

10.2.1 Th¥eor`eme de la limite centrale et lois gaussiennes . . . . . . . . . . 308

10.2.2 Loi binomiale et loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10.2.3 Loi de Boltzmann; g¥en¥eralisations; statistiques quantiques;

r¥eponse lin¥eaireetîuctuations ....................312

10.2.4 Estimation et lois deχ

2 (khi-deux)..................315

10.3 Processus al¥eatoires ..............................317

10.3.1 Marche al¥eatoire; processus de diusion; mouvement brownien . . 317

10.3.2 Processus de Markov; probabilit¥es de transition; bilan d¥etaill¥e . . 319

10.3.3 Processus stationnaires; th¥eor`eme de Wiener-Khintchine;

11 Analyse num¥erique; physique discr`ete323

11.1 Discr¥etisation..................................324

11.1.1 Repr¥esentation des nombres; erreurs; stabilit¥enum¥erique.....324

11.1.2 D¥erivation et int¥egration; extrapolation de Richardson . . . . . . . 326

11.1.3 Nombres al¥eatoires; m¥ethode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . 327

11.2 R¥esolution num¥eriquedêE.D.etdêE.D.P....................328

11.2.1 Syst`emes dynamiques; sch¥emas dêEuler et de Runge Kutta . . . . 328

11.2.2 E.D. avec conditions aux limites; m¥ethodedetir..........330

11.2.3 E.D.P. avec conditions initiales : propagation, diusion . . . . . . . 331

11.3 Approximation de fonctions; interpolation; moindres carr¥es; m¥ethode de

B¥ezier ......................................334

11.3.1 Approximations polynomiales (Tchebytchev, B-splines...) . . . . . 334

11.3.2 Interpolation de Lagrange et par çcubic-splinesé . . . . . . . . . . 337

11.3.3 M¥ethode des moindres carr¥es.....................339

11.3.4 M¥ethode de B¥ezier...........................341

11.4 R¥esolution dê¥equations, dêE.D. et dêE.D.P. lin¥eaires.............343

11.4.1 Equations lin¥eaires r¥eguli`eres et singuli`eres .............343

11.4.2 E.D. et E.D.P. lin¥eaires; m¥ethodes spectrales; ¥el¥ements ìnis . . . . 347

11.5.1 M¥ethodes utilisant le gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

11.5.2 M¥ethodes du simplex et du recuit simul¥e...............352

Index354

Liste des abr¥eviations

A.R.Q.S. approximation des r¥egimes quasi-stationnaires. c.d.m. centre de masse.

C.I. condition initiale.

C.L. condition aux limites.

E.D. ¥equation di¥erentielle.

E.D.L. ¥equation di¥erentielle lin¥eaire. E.D.L.S. ¥equation di¥erentielle lin¥eaire stationnaire. E.D.P. ¥equation aux d¥eriv¥ees partielles.

E.V. espace vectoriel.

L.C. loi de conservation.

S.D. syst`eme dynamique.

S.D.L. syst`eme dynamique lin¥eaire.

S.D.L.S. syst`eme dynamique lin¥eaire stationnaire.

T.F. transform¥ee de Fourier.

v.a. variable al¥eatoire.

Table des sujets de physique

1. G¥en¥eralit¥es

1.1Caract`ere alg¥ebrique des grandeurs physiques: Chapitre 1, pages 10-15.

1.2Dimensions; analyse dimensionnelle: Chapitre 1, pages 15-21.

1.3Grandeurs (pseudo)scalaires, (pseudo)vectorielles, quadrupolaires: Chapitre 3,

pages 59-63 et Chapitre 4, pages 103-104.

1.4Notation complexe: Chapitre 2, pages 39-42.

1.5Statistiques de Gauss et de Poisson: Chapitre 10, pages 308-312.

1.6Loi duχ

2 , estimation: Chapitre 10, pages 315-316.

2. M¥ecanique classique

2.1Etude de mouvements

-Coordonn¥ees polaires : Chapitre 2, pages 31-33.

- Mouvements de Kepler, harmonique, uniform¥ement acc¥el¥er¥e, de pr¥ecession, dêune par-

ticule charg¥ee dans un champ magn¥etique, pendule de Foucault : Chapitre 2, pages 36-38 et Chapitre 6, pages 182-187. - Portraits de phase de mouvements `a une dimension : Chapitre 6, pages 169-174.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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