[PDF] Mathématiques pour la physique

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Mathématiques

pour la physique

Cours + Exercices corrigŽs

François Reynaud

Professeur de physique à la faculté des sciences de Limoges

Daniel Fredon

Maître de conférences en mathématiques appliquées

Michel Bridier

Maître de conférences en physique

de

9782100582655-Reynaud-lim.qxd 9/07/12 7:39 Page IIIRetrouver ce titre sur Numilog.com

© Dunod, Paris, 2011

ISBN 978-2-10-056651-8© Dunod, Paris, 2012

ISBN 978-2-10-058265-5

9782100582655-Reynaud-lim.qxd 05/07/12 8:27 Page IVRetrouver ce titre sur Numilog.com

La page d'entrée de chapitre

Elle donne le plan du cours,

ainsi qu'un rappel des objectifs pédagogiques du chapitre.

Le cours

Le cours,concis et structuré,

expose les notions importantes du programme.

Les rubriques

Une erreur à éviter

Un peu de méthode

Un exemple pour comprendre

Les points clés à retenir

Les exercices

Ils sont proposés en fin de chapitre,

avec leur solution,pour se tester tout au long de l'année.

Comment utiliser le Mini-Manuel ?

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1Grandeurs et mesures1

1.1Grandeurs physiques 1

DŽfinition 1

PrŽfixes 2

Constantes fondamentales 2

1.2Analyse dimensionnelle 3

Dimension dÕune grandeur physique 3

1.3Mesure des grandeurs 3

Mesurage 3

PrŽsentation dÕun rŽsultat 4

Utilisation dÕun grand nombre de mesures 4

Mots clŽs 5

Exercices 6

Solutions 6

2Les nombres8

2.1Nombres rŽels 8

GŽnŽralitŽs 8

Sommes et produits 9

Approximations dŽcimales 9

2.2Nombres complexes 10

Forme algŽbrique 10

Forme trigonomŽtrique 11

Exponentielle complexe 12

GŽnŽralitŽs 13

9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page VIIRetrouver ce titre sur Numilog.com

Systèmes triangulaires13

Méthode du pivot de Gauss14

Mots clŽs 15

Exercices 15

Solutions 17

3Calcul vectoriel23

3.1Barycentre de points pondŽrŽs 23

Définition 23

Propriétés 24

Applications 24

3.2Produit scalaire 24

Définition 24

Propriétés 26

Orthogonalité 26

Applications 27

3.3Produit vectoriel 27

Définitions 27

Propriétés 28

Applications 28

3.4Produit mixte 28

Définition 28

Propriétés 28

Applications 28

Mots clŽs 29

Exercices 29

Solutions 31

4Fonctions de dans 36

4.1GŽnŽralitŽs36

Sens de variation 36

Parité,périodicité 37

4.2Limites37

Définitions 37

Propriétés des limites 38

Fonctions équivalentes 39

4.3ContinuitŽ40

Définitions 40

9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page VIIIRetrouver ce titre sur Numilog.com

Continuité et opérations 40

Image d'un intervalle par une fonction continue40

4.4DŽrivabilitŽ41

Définitions41

Interprétations41

Propriétés42

4.5Fonctions usuelles44

Fonctions logarithmes,exponentielles,puissances44

Fonctions circulaires réciproques46

Mots clŽs 49

Exercices 50

Solutions 51

5ComplŽments sur les fonctions dŽrivables58

Extrémum 58

Théorèmes de Rolle et des accroissements finis 59

Inégalité de Taylor-Lagrange 59

Formule de Taylor-Young 60

Développements limités 60

Opérations sur les développements limités 62

Applications des développements limités 63

5.3ConvexitŽ63

Définitions 63

Fonctions convexes dérivables 65

Mots clŽs 65

Exercices 65

Solutions 67

6Calcul intŽgral74

6.1IntŽgration sur un segment 74

Approche théorique 74

Propriétés 76

Exemples en physique 77

6.2Calcul des primitives 78

Linéarité 78

Intégration par parties 78

Intégration par changement de variable 79

9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page IXRetrouver ce titre sur Numilog.com

6.3Intégrales généralisées79

DŽfinitions79

PropriŽtŽs80

Situations de rŽfŽrence80

Fonctions sommables82

Mots clŽs 82

Exercices 83

Solutions 84

7Équations différentielles90

7.1Définitions générales90

7.2Équations différentielles du premier ordre 91

Exemple91

7.3Équations linéaires du premier ordre 92

DŽfinition92

7.4Équations différentielles linéaires

du second ordre ˆ coefficients constants 93

DŽfinition93

Mots clŽs 96

Exercices 96

Solutions 99

8Suites numériques109

8.1Généralités109

DŽfinition109

Suite monotone109

Suite bornŽe110

8.2Limite d'une suite 110

Suite convergente 110

9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page XRetrouver ce titre sur Numilog.com

Limites infinies110

Opérations sur les suites convergentes111

Relation d'ordre111

8.3Existence de limites112

Convergence des suites monotones112

Suites adjacentes112

Suites extraites112

8.4Suites rŽcurrentes113

Suites récurrentes

u n=1 -f?u n

σ113

Suites récurrentes linéaires du second ordre 113

Mots clés 115

Exercices 115

Solutions 116

9Fondements du calcul matriciel120

9.1Espaces vectoriels 120

Généralités 120

Sous-espaces vectoriels 121

Bases d'un espace vectoriel,dimension 121

Applications linéaires 122

9.2Matrices122

Généralités 122

Écritures matricielles 123

Opérations 124

Changement de bases 125

9.3DŽterminants126

Généralités 126

Opérations sur les lignes ou les colonnes 127

Autres propriétés 127

Mots clés 129

Exercices 130

Solutions 132

10RŽduction des matrices140

10.1Valeurs propres et vecteurs propres 140

Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme 140 Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice carrée 141

Polynôme caractéristique 141

Table des matièresXI

9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page XIRetrouver ce titre sur Numilog.com

10.2Diagonalisation141

DŽfinitions 141

Conditions 142

10.3Applications142

Calcul de

A m 142

Mots clŽs 143

Exercices 143

Solutions 146

11Fonctions de plusieurs variables160

11.1Espace

n 160

Norme sur un espace vectoriel 160

Parties remarquables de

n 161

11.2Fonctions de plusieurs variables 162

DŽfinitions 162

Limite et continuitŽ 163

Composition des fonctions continues 163

11.3Dérivées partielles ;différentielle164

DŽrivation dÕordre 1 164

DŽrivŽes partielles dÕordre supŽrieur 165

DiffŽrentielle 166

11.4Optimisation d'une fonction de 2 variables168

DŽfinitions 168

Existence dÕun minimum et dÕun maximum globaux 168 Condition nŽcessaire dÕextrŽmum local 168

Condition suffisante dÕextrŽmum local 168

Mots clŽs 169

Exercices 170

Solutions 172

12Champs scalaires,champs vectoriels181

12.1Coordonnées non cartésiennes dans le plan

et dans l'espace 181

CoordonnŽes polaires (dans le plan) 181

CoordonnŽes cylindriques (dans lÕespace) 183 CoordonnŽes sphŽriques (dans lÕespace) 184

12.2Champs de vecteurs du plan ou de l'espace185

DŽfinition 185

9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page XIIRetrouver ce titre sur Numilog.com

Divergence d'un champ de vecteurs du plan ou de l'espace 186 Rotationnel d'un champ de vecteurs de l'espace 186

Expression de la divergence et du rotationnel

en coordonnées non cartésiennes 187

Propriétés des opérateurs classiques 187

Théorème de Poincaré 188

12.3Formes diffŽrentielles188

Définitions 188

Propriétés 189

Mots clŽs 190

Exercices 190

Solutions 192

13IntŽgrales multiples198

13.1IntŽgrales doubles 198

Intégrale d'une fonction continue sur un rectangle 198 Extension à une partie fermée bornée du plan 200

Changement de variables 201

13.2IntŽgrales triples 201

Approche et calcul 201

Changement de variables 202

13.3Applications202

Interprétations d'une intégrale double ou triple 202

Moments et centres d'inertie 203

Mots clŽs 205

Exercices 205

Solutions 207

14IntŽgrales curvilignes214

14.1Arc de courbe paramŽtrŽ 214

Définition 214

Droite tangente et plan normal 215

Arc orienté 215

Longueur d'un arc de courbe paramétré 215

14.2IntŽgrale curviligne 216

Intégrale curviligne d'une fonction 216

Circulation d'un champ de vecteurs le long

d'une courbe orientée 216

9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page XIIIRetrouver ce titre sur Numilog.com

Intégrale d'une forme différentielle le long d'une courbe orientée 217

Propriétés de l'intégrale curviligne 217

Circulation d'un champ de gradients 218

Formule de Green - Riemann 219

Mots clŽs 219

Exercices 220

Solutions 222

15IntŽgrales de surface227

15.1Surface paramŽtrŽe 227

Définition 227

Plan tangent et droite normale 227

Aire d'une surface 228

15.2IntŽgrale de surface229

Intégrale de surface d'une fonction229

Flux d'un champ de vecteurs229

Formule de Stokes230

Autre énoncé230

Formule d'Ostrogradski230

Mots clŽs 231

Exercices 231

Solutions 233

Index241

9782100582655-Reynaud-tdm.qxd 05/07/12 7:20 Page XIVRetrouver ce titre sur Numilog.com

1.1GRANDEURS PHYSIQUES

DŽfinition

On appelle grandeur physique toute propriŽtŽ de la nature qui peut tre quantifiŽe par la mesure ou par le calcul, et dont les diffŽrentes valeurs possibles sÕexpriment ˆ lÕaide dÕun nombre accompagnŽ dÕune unitŽ de mesure.

Exemples: un temps, une longeur, une masse.

rŽfŽrence. AujourdÕhui, les Žtalons fondamentaux donnent des dŽfini- 1

CHAPITRE

Grandeurs et mesures

1.1Grandeurs physiques

1.2Analyse dimensionnelle

1.3Mesure des grandeurs

PLAN Savoir utiliser une Žquation aux dimensions pour vŽrifier l'homogŽ nŽitŽd'une formule Conna"tre l'incertitude associŽe ˆ une somme de mesures indŽpendan-tes

OBJECTIFS

9782100582655-Reynaud-C01.qxd 04/07/12 10:09 Page 1Retrouver ce titre sur Numilog.com

Système International d'unités (SI)

fondŽ sur un choix de 7 unitŽs de base bien dŽfinies, considŽrŽes comme indŽpendantes du point de vue dimensionnel et qui permettent de dŽfinir toutes les autres.

2Chapitre 1 • Grandeurs et mesures

grandeurs de baseunitéssymboles massekilogrammekg tempssecondes tempŽraturekelvinK intensitŽ lumineusecandelacd

Préfixes

facteurs noms symboles facteurs noms symboles 10 3 kilo k10 3 milli m 10 6quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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