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MAXIME FORTIER BOURQUE

Fonctions automorphes

dans le plan complexe Rapport pr´esent´e `a J´er´emie Rostand et Hassan Manouzi dans le cadre du projet de fin d"´etudes du baccalaur´eat en math´ematiques D´epartement de math´ematiques et de statistique

Facult´e des sciences et de g´enie

Universit´e Laval

Qu´ebec

24 avril 2009

Table des mati`eres

Table des figuresv

Introduction1

Chapitre 1. G´eom´etrie3

§1.1. Groupe de transformations3

§1.2. Domaine fondamental5

§1.3. Th´eorie de Galois7

Chapitre 2. Le corps des fonctions m´eromorphes 9

§2.1. Structure9

§2.2. Automorphismes10

§2.3. Fonctions automorphes11

Chapitre 3. Le plan complexe15

§3.1. Biholomorphismes et groupes discontinus 15

§3.2. Fonction fondamentale17

§3.3. Fonctions angulaires19

§3.4. Fonctions p´eriodiques21

§3.5. Fonctions p´eriodiques paires24

§3.6. Fonctions elliptiques25

§3.7. Fonctions rhombiques36

§3.8. Fonctions carr´ees37

§3.9. Fonctions triangulaires39

§3.10. R´esum´e40

Conclusion43

Annexe A. Graphe chromatique45

Bibliographie47

iii

Table des figures

1.1 Le tr`efle et deux domaines fondamentaux 6

1.2 Le ruban de M¨obius obtenu en quotientant une bande infinie par un groupe

d"hom´eomorphismes7

2.1 Diagramme commutatif satisfait par une fonction automorphe 12

3.1 Le groupe?e2πi/6z?, un pavage associ´e et la fonction fondamentalez620

3.2 Surface angulaire obtenue par collage ou par la fonctionfondamentalezn21

3.3 Le groupe?z+ 1?, un pavage associ´e et la fonction fondamentalee2πiz22

3.4 Surface p´eriodique obtenue par collage ou par la fonction fondamentalee2πiz23

3.5 Fonctions aux singularit´es essentielles et fonctionsenti`eres p´eriodiques

obtenues par composition avec l"exponentielle 24

3.6 Graphe chromatique duJoukovskif(z) = (z+z-1)/2 25

3.7 Le groupe?z+ 1,-z?et la fonction fondamentale cos(2πz) 26

3.8 Pavage, domaine fondamental et surface quotient associ´es au groupe

Λ =?z+ 1,z+τ?27

3.9 Partition du r´eseau Λ par des parall´elogrammes semblables emboˆıt´es 30

3.10Graphe chromatique de la fonction elliptique paire?et un pavage associ´e,

avecτ= 1/4 + 3i/233

3.11Graphe chromatique de la fonction rhombique??, avecτ=e2πi/3=

-1/2 +⎷ -3/2, et un pavage associ´e38

3.12Graphe chromatique de la fonction carr´ee?2, avecτ=i, et un pavage

associ´e39

3.13Graphe chromatique de la fonction triangulaire??2, avecτ=eπi/3=

1/2 +⎷

-3/2, et un pavage associ´e40 v

Introduction

L"ˆetre humain est en grande partie visuel. Ses observations ´eveillent son in- tuition et le guident vers des d´ecouvertes. Parmi les ph´enom`enes observables de la nature, les sym´etries et l"autosimilarit´e attirent etfascinent particuli`erement l"oeil humain. Le math´ematicien peut s"en inspirer `a profit; rendre un probl`eme sym´etrique permet parfois de le r´esoudre. Au-del`a d"unetelle imitation de la na- ture, le math´ematicien peut chercher `a comprendre la notion mˆeme de sym´etrie, la g´en´eraliser et d´eduire des propri´et´es des objets sym´etriques. D"un autre cˆot´e, les outils les plus utiles en math´ematiques sont les fonc- tions. Force est de se demander si les fonctions sym´etriques poss`edent automa- tiquement d"autres particularit´es. Apparaissent alors des liens formidables entre la g´eom´etrie, l"analyse et l"alg`ebre. L"exemple des fonctions trigonom´etriques l"illustre bien. Celles-ci sontsym´etriques, dans le sens o`u leur graphe poss`ede une sym´etrie de translation, t´emoignant de leur p´eriodicit´e. De plus, ces fonctions sontanalytiques; elles co¨ıncident avec leur d´eveloppement infini en s´eriedeTaylor. Finalement, les fonctions trigonom´etriques simples satisfont une foule de relationsalg´ebriques, comme le th´eor`eme dePythagoreou toute identit´e trigonom´etrique. La th´eorie des fonctions automorphes, g´en´eralisation des fonctions p´eriodiques, est le th´eˆatre d"une fructueuse interaction entre ces trois branches importantes des math´ematiques, trouvant des applications aux int´egrales elliptiques, `a la r´esolution transcendante de l"´equation du cinqui`eme degr´e, aux ´equations diff´erentielles hy- perg´eom´etriques, `a la th´eorie des nombres et bien d"autres. On a choisi ici de motiver l"´etude du sujet en remontant aux racines mˆemes de la d´efinition d"une fonction automorphe, en accordant une place importante `a l"aspect g´eom´etrique, pour ensuite r´esoudre compl`etement une question pr´ecise et concr`ete. Il est `a noter que je n"ai retrouv´e une approchesimilaire, ni le contenu des sections 3.2, 3.7, 3.8 et 3.9, dans aucun ouvrage. Si on pouvait r´esumer ce travail en une phrase, celle-ci serait :"Les fonctions

analytiques sym´etriques jouissent de propri´et´es alg´ebriques int´eressantes.»Pour

justifier ce propos, on doit d"abord pr´eciser la notion de sym´etrie. Le premier cha- pitre y est consacr´e, ainsi qu"`a certaines notions de baseen g´eom´etrie. Ensuite, on traitera des fonctions m´eromorphes sur un mˆeme domaine. On verra que s"int´eresser aux fonctions automorphes, les fonctions analytiques sym´etriques, revient `a ´etudier les sym´etries du corps abstrait des fonctions m´eromorphes. Finalement, on ´etudiera de fa¸con compl`ete le cas o`u le domaine de d´efinition des fonctions est le plan com- plexe en entier, d´eduisant en parall`ele des informationssur la structure discr`ete des sym´etries du plan et sur la structure alg´ebrique du corps des fonctions m´eromorphes enti`eres. On red´ecouvrira les fonctions transcendantesles plus ´el´ementaires telles l"exponentielle et les fonctions trigonom´etriques pour finir par les fonctions ellip- tiques, `a l"origine de la th´eorie des fonctions automorphes. 1

CHAPITRE 1

G´eom´etrie

Le mot"g´eom´etrie»est souvent mal interpr´et´e. Il ´evoque habituellement la r`egle, le compas et la g´eom´etrie d"Euclide. Or, celle-ci n"est qu"uneg´eom´etrie parmi tant d"autres.Lag´eom´etrie devrait plutˆot ˆetre comprise comme une fa¸con d"aborder les math´ematiques. Dans la Gr`ece Antique, le mot"g´eom´etrie»´etait d"ailleurs employ´e comme synonyme pour"math´ematiques»[9, p. 4,5]. `A mon esprit, les math´ematiques sont l"´etude rigoureuse des objets et de leurs

propri´et´es. Une des propri´et´es les plus importantes et´eclairantes d"un objet sont ses

sym´etries. Par exemple, un losange (?) pr´esente deux sym´etries de r´eflexion, une ho- rizontale et une verticale, ainsi qu"une sym´etrie de rotation d"angleπautour de son

centre. Un tr`efle (♣), quant `a lui, ne poss`ede qu"une sym´etrie de r´eflexion verticale.

Ces deux objets sont intrins`equement diff´erents. Cependant, le tr`efle et le pique (♠) pr´esentent les mˆemes sym´etries. On a envie de dire que ces deux objets sont tr`es semblables, voire qu"ils sont essentiellement les mˆemes. Un math´ematicien dira qu"ils sont isomorphes. Cette similitude se traduit par le fait qu"on peut d´eformer le tr`efle en pique de fa¸con continue et bijective, en pr´eservant la sym´etrie verticale tout au long de la d´eformation. Cette fa¸con de penser, apparemment anodine, peut s"appliquer `a d"autres objets que ceux physiques, `a des objets plus abstraits par exemple, r´ev´elant alors toute sa

puissance. Pour ce faire, on doit d´efinir la notion de sym´etrie dans un cadre g´en´eral.

C"est ce que fitF´elix Klein(1849-1925) en 1872, alors ˆag´e de 23 ans, en lan¸cant son c´el`ebre programme d"Erlangen [6, p.11]. Il y donna la d´efinition moderne d"une

g´eom´etrie, unifiant les diff´erentes g´eom´etries nouvellement apparues `a l"´epoque et

influen¸cant les math´ematiques actuelles de fa¸con ind´eniable.

§1.1. Groupe de transformations

SoitXun ensemble non vide dont on appellera les ´el´ementspoints. Proposition1.1.L"ensemble des bijections deXdans lui-mˆeme, not´eBij(X), est un groupe sous l"op´eration de composition. D emonstration.L"´el´ement neutre est l"identit´e surX(not´ee id), une bijec- tion est inversible, la compos´ee de deux bijections est bijective et l"op´eration de composition est associative.? D efinition1.2.Un sous-groupeGde Bij(X) est appel´egroupe de transfor- mationsagissant surX. Ses ´el´ements sont appel´estransformationsousym´etries.

σxpourσ(x).

D efinition1.4.SoitGun groupe de transformations deX. La paire (X:G) est appel´eeg´eom´etrie(au sens deKlein) deGsurX[9, p. 8]. 3

41. G´EOM´ETRIE

PourKlein,lag´eom´etrieest donc l"´etude des diff´erents espaces et leurs groupes de transformations, leurs propri´et´es et leurs invariants [6, p. 11]. Il est `a remarquer que si l"ensembleXposs`eden?N´el´ements, il y an! bijec- tions deXdans lui-mˆeme. SiXest d´enombrable, alors Bij(X) est ind´enombrable. Ainsi, le groupe Bij(X) est plus compliqu´e queXlui-mˆeme, ce qui va dans le sens oppos´e de notre objectif, comprendre et d´ecrireX. Pour cette raison, on s"int´eresse habituellement aux groupes de transformations strictement plus petits que Bij(X). SiXest un espace topologique, on peut se restreindre aux transformations qui pr´eserventsa topologie, les hom´eomorphismes deX. SiXest un espace m´etrique, on peut se restreindre aux transformations qui pr´eservent les distances, les isom´etries deX. Plus on impose de conditions surG, plus il devient simple, mais moins il r´ev`ele d"informations surX. Le but du jeu est de trouver un juste milieu. Exemple1.5.SiX=♣, alors son groupe d"isom´etries par rapport `a la m´etrique euclidienne est Isom(♣) ={id,Sv}, o`uSvest la r´eflexion suivant son axe vertical central. On a aussi Isom(?) ={id,Sh,Sv,Rc,π}, o`uRc,πest une rotation d"angleπautour du centre etShest la r´eflexion d"axe horizontal. D efinition1.6.Soit (X:G) une g´eom´etrie. L"orbited"un sous-ensembleY? Xest l"ensemble des images de ses points sous l"action deG. On le note

G(Y) :={σy:σ?G, y?Y}.

Exemple1.7.Dans la g´eom´etrie Isom(♣), l"orbite de la moiti´e gauche ferm´ee du tr`efle est le tr`efle en entier. Remarque1.8.On utilise habituellement la notion d"orbite pour un simple pointx?X. Dans ce cas, on se permet d"´ecrireG(x) ouGxpourG({x}). Remarque1.9.Soientx,y?X, alorsG(x)∩G(y)?=∅si et seulement siG(x) =G(y)."ˆEtre dans la mˆeme orbite»est donc une relation d"´equivalence surX. Suivant le point de vue, on notera parfois l"orbite dexpar [x], en pensant `a sa classe d"´equivalence. D efinition1.10.SoitYun sous-ensemble deX. On appellestabilisateurdeY dansGl"ensemble des transformations deGqui fixentYpoint par point. Autrement dit, le stabilisateur est l"ensemble des transformations dont la restriction `aYest l"identit´e. On le note Stab

G(Y) :={σ?G:?y?Y, σy=y}.

Exemple1.11.StabG(X) ={id}et StabG(∅) =G.

Proposition1.12.Quel que soitY?X,StabG(Y)est un sous-groupe deG. D emonstration.NotonsH:= StabG(Y). Puisque l"identit´e fixe tout point deX, elle fixe tout point deY`a fortiori, donc id?H. Soientσ,λ?H. On aσ-1y=σ-1σy=yetσλy=σy=ypour touty?Yet alorsσ-1etσλsont dansH. Par d´efinition,Hest inclus dansG, c"est donc un sous-groupe.? D efinition1.13.Soit (X:G) une g´eom´etrie etHun sous-groupe deG. On appelleraensemble fixedeHdansXl"ensemble des points deXqui sont fix´es par toutes les transformations deH. On notera Fix

X(H) :={x?X:?h?H, hx=x}.

§1.2. DOMAINE FONDAMENTAL 5

Exemple1.14.FixX(id) =Xet FixX(Bij(X)) =∅, sauf siXest un singleton. Exemple1.15.L"ensemble fixe du groupe d"isom´etries du tr`efle est sont axe vertical central. L"ensemble fixe du groupe d"isom´etries du losange est son centre. On remarque que les points fix´es par des transformations autres que l"identit´e sont habituellement des points remarquables, tels des axesou des centres de gravit´e. A priori, un ensembleXest quelconque; c"est un ensemble de points sans ordre ni structure. Inversement, tout groupe de transformationsGdeXposs`ede une structure naturelle donn´ee par ses sous-groupes. En associant `a chaque sous-groupe deGson ensemble fixe dansX, on r´ev`ele une structure cach´ee de sous-ensembles deX. Voil`a qui exprime en partie la beaut´e de la vision r´evolutionnaire deKlein.

§1.2. Domaine fondamental

Soit (X:G) une g´eom´etrie. Comme on l"a soulign´e pr´ec´edemment, l"action deGinduit surXune relation d"´equivalence dont les classes correspondent aux diff´erentes orbites. On peut alors consid´erer l"ensemblequotientX/G. Quotien- terXparGrevient `a supprimer toute redondance r´esultant de ses sym´etries ou, autrement dit, `a le rendre asym´etrique par rapport `aG, en ne laissant toutefois rien de cˆot´e. En effet, siFest unensemble fondamentalpour (X:G), c"est-`a-dire s"il est constitu´e d"un et un seul repr´esentant de chaque orbite, alors tout point de Xest l"image d"un point deFpar une sym´etrie deG, mais deux points distincts deFne sont reli´es par aucune sym´etrie. Dans le cas o`uXest un espace topologique etGun groupe d"hom´eomorphismes surX, on peut transf´erer la topologie deX`aX/Gde fa¸con naturelle, de sorte que la fonctionx?→[x] soit continue. Cette construction est d"autant plus naturelle qu"elle

pr´eserve g´en´eralement les propri´et´es topologiques locales. Elle ne permet cependant

pas de bien saisir la nature globale du nouvel espace parce qu"elle est abstraite. Par exemple, siXest une surface et queGsatisfait certaines conditions, alorsX/G est aussi une surface, mais on ne sait pas si cette nouvelle surface est compacte, simplement connexe, orientable, etc. Consid´erer un ensemble fondamental n"est d"aucune aide, puisqu"un tel ensemble est g´en´eralement loin d"ˆetre unique et est donc topologiquement arbitraire en tant que sous-espace deX. Pour pallier `a ce probl`eme, il s"av`ere utile d"introduire la notion dedomaine fondamental. D efinition1.16.SoitXun espace topologique etGun groupe de transfor- mations deX. Undomaine fondamentalpour (X:G) est un ouvertDdeXtel que

D ∩σ(D)?=∅ ??σ= id etG(

D) =X.

Remarque1.17.Malgr´e le nom, on ne demande pas qu"un domaine fonda- mental soit connexe, bien que ce soit une propri´et´e d´esirable. Si c"est le cas, on parlera depavagedeXpar latuile

Ddans la g´eom´etrie (X:G).

Remarque1.18.Il d´ecoule de la d´efinition qu"il existe un ensemble fondamen- talFcontenantDet contenu dans sa fermeture;D ? F ? D. Remarque1.19.Chaque point d"un domaine fondamental n"est fix´e que par l"identit´e. Les points fixes des transformations diff´erentes de l"identit´e, s"il y en a, doivent se trouver sur le bord du domaine fondamental ou d"une de ses images.

61. G´EOM´ETRIE

Exemple1.20.Dans la g´eom´etrie Isom(♣), la moiti´e gauche ouverte du tr`efle est un domaine fondamentalD. SiU? Dest ouvert, posonsV:=Sv(U), son image par la sym´etrie d"axe vertical. AlorsV?(D\

U) est un domaine fondamental et est

disconnexe siD \

Un"est pas vide.

D VD \U U

Fig. 1.1.Le tr`efle et deux domaines fondamentaux

Souvent, l"espace quotientX/Gpeut ˆetre obtenu de la fermeture

Dd"un do-

maine fondamentalDen identifiant ensemble les points du bord qui sont ´equivalents moduloG. Si on peut illustrerX, on dessine un symbole sur le domaine fondamen- tal et ses images pour montrer de quelle fa¸con les transformations deGagissent. En deux dimensions, le point d"interrogation (?) est un symbole appropri´e, ´etant tota- lement asym´etrique. Lorsque le bord du domaine fondamental est constitu´e d"arcs et que deux arcsC1etC2sont associ´es par une transformationσ, une mˆeme fl`eche est dessin´ee surC1etC2, o`u l"orientation est choisie de fa¸con arbitraire surC1et est dict´ee parσpourC2. Ensuite, on n"a qu"`a d´eformer la fermeture du domaine fondamental Dde fa¸con `a pouvoir coller ensemble les paires de cˆot´es associ´es, avec leurs fl`eches dans le mˆeme sens. C"est un bon guide visuel, mais sans r´eel pouvoir de preuve. Exemple1.21.SoitX:={z?C:-1/2§1.3. TH´EORIE DE GALOIS7 D X/GX z

¯z+ 1

Fig. 1.2.Le ruban de M¨obius obtenu en quotientant une bande infinie par un groupe d"hom´eomorphismes

§1.3. Th´eorie de Galois

Supposons maintenant queXsoit muni d"une structure alg´ebrique. Le cas qui nous int´eresse particuli`erement est lorsqueXest un corps commutatif. Il est alors d´esirable de se restreindre aux transformations deXqui pr´eservent sa structure; ce sont l`a ses v´eritables sym´etries. D efinition1.23.Une transformationσdeXest unautomorphismesi c"est un isomorphisme du corpsXsur lui-mˆeme, c"est-`a-dire siσest une bijection deX telle queσ(x+y) =σ(x)+σ(y) etσ(xy) =σ(x)σ(y) pour tousx,y?X. L"ensemble de tous les automorphismes d"un corpsXforme un groupe, qu"on appellegroupe d"automorphismesdeXet qu"on note Aut(X). Remarque1.24.Soitσ?Aut(X). On aσ(0) =σ(0 + 0) =σ(0) +σ(0), doncσ(0) = 0.´Egalement, on aσ(1) =σ(1·1) =σ(1)σ(1) et puisqueσest bijectif et queσ(0) = 0, on sait queσ(1)?= 0. On peut donc diviser parσ(1) pour trouver queσ(1) = 1. De l`a, on trouve queσ(-x) =-σ(x) etσ(1/x) = 1/σ(x) pour toutx?X\ {0}. Proposition1.25.L"ensemble fixe dans le corpsXd"un sous-groupeGde ses automorphismes est un sous-corps deX. D emonstration.Soientx,y?Y:= FixX(G),x?= 0. On a alorsσ(x+y) = σ(x) +σ(y) =x+y,σ(xy) =σ(x)σ(y) =xyetσ(1/x) = 1/σ(x) = 1/xpour toutσ?G. Ainsi,x+y,xyet 1/xappartiennent `aY, ce qui en fait un corps.? Exemple1.26.La conjugaison complexez?→¯zest le seul automorphisme continu non trivial du corpsC. Son ensemble fixe, ou l"ensemble fixe du groupe qu"elle engendre, est le corps des r´eelsR. Notation1.27.Lorsque le corpsXest sous-entendu, on notera FixX(G) parK(G) afin d"all´eger la notation et suivre celle utilis´ee en th´eorie des formes automorphes. La lettreKprovient de l"allemand"K

¨orper»pour corps [4, p. 274].

D efinition1.28.SoitYun sous-corps deX. On appelleY-automorphismequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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