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GÉOMÉTRIE DU PLAN COMPLEXE

MARIE-CLAUDE DAVID

Voici un cours sur la géométrie du plan complexe avec des figures et des exer- cices interactifs. Avant de l"aborder, il serait bon de maîtriser le contenu et les exercices du cours WIMS : Nombres complexes. Pour l"étude des isométries, il est utile de se référer au document WIMS : Isométries du plan. à 2015 au premier semestre de la première année de licence MPI à la Faculté des Sciences d"Orsay de l"université Paris Sud. Il s"agissait de pallier l"absence des transformations au Lycée.

TABLE DES MATIÈRES

1. Géométrie du plan complexe 2

1.1. Affixe d"un vecteur, angle orienté de deux vecteurs 2

1.2. Applications à l"étude de lieux 2

2. Ecriture complexe d"une transformation 3

2.1. Exemples 3

2.2. Propriétés générales 4

3. Isométries du plan complexe 4

3.1. Isométries positives 4

3.2. Isométries négatives 5

3.3. Exercices 7

4. Homothétie 7

4.1. Définition 7

4.2. Figure mobile 8

4.3. Homothétique d"un pentagone 8

4.4. Propriétés 9

4.5. Exercices 9

5. Similitudes 10

5.1. Définitions et propriétés 10

5.2. Exemples 10

6. Etude des similitudes qui ne sont pas des isométries 11

6.1. Décomposition canonique d"une similitude qui n"est pas une

isométrie 11

6.2. Point fixe d"une similitude directe qui n"est pas une isométrie 11

6.3. Point fixe d"une similitude indirecte qui n"est pas une isométrie 12

6.4. Exercices 13

7. Composition des similitudes 13

1

2 MARIE-CLAUDE DAVID

7.1. Groupe des similitudes 13

7.2. Similitudes et angles orientés 15

7.3. Composées de similitudes directes 15

7.4. Exercices de composition 16

8. Propriétés des similitudes 16

8.1. Figures semblables 16

8.2. Similitude définie par l"image de deux points donnés 16

8.3. Image d"une droite ou d"un cercle 17

1. GÉOMÉTRIE DU PLAN COMPLEXE

Dans cette partie, on complète les propriétés géométriques des affixes vues dans le document WIMS : Nombres complexes.

1.1.Affixe d"un vecteur, angle orienté de deux vecteurs.

Définition 1.1.Dans le plan orienté par un repère orthonormé(O;~u;~v), on consi- dère un vecteur~wde composantes(x;y); on appelleaffixe du vecteur~wle nombre complexew=x+iy. En particulier, l"affixe deMest égal à celui de!OM. L"affixe du vecteur!ABest z BzAquandAetBsont des points d"affixes respectiveszAetzB. Proposition 1.1.Soient~w et~w0deux vecteurs non nuls d"affixes respectives z et z0. L"angle orienté(~w;~w0)a pour mesure l"argument dez0z =Arg(z0)Arg(z). Pour A et B deux points distincts d"affixes respectives z

Aet zBet C et D deux

points distincts d"affixes respectives z

Cet zD, l"angle orienté(!AB;!CD)a pour me-

sure l"argument de zDzCz BzA.

Démonstration.Par relation de Chasles, on a

(~w;~w0) = (~u;~w0)(~u;~w) =Arg(z0)Arg(z) =Argz0z La formule est démontrée et s"applique à(!AB;!CD)pour donner : !AB;!CD) =ArgzDzCz BzA

Exercice 1.

WIMS : Angle et quotient de complexes

1.2.Applications à l"étude de lieux.Ces descriptions sont des applications di-

rectes des propriétés du module et de l"argument d"un nombre complexes. SoientA,BetMdes points d"affixes respectivesa,betm. (1) L"ensemble des pointsMvérifiantjmaj=jmbjest la médiatrice de[AB], ensemble des points équidistants deAetB.

GÉOMÉTRIE DU PLAN COMPLEXE 3

(2) L"ensemble des pointsMvérifiantjmaj=jabjest le cercle centré enA passant parB. (3) L"ensemble des pointsMvérifiantjmj<1 est le disque unité ouvert (c"est-

à-dire le disque sans le cercle unité).

(4) L"ensemble des pointsMvérifiantjmj 1 est le disque unité fermé (c"est-à- dire avec le cercle unité). (5) L"ensemble des pointsMvérifiantm+¯m=1 ne contient pasOdonc on peut poserm=reiq; la condition s"écrit alors 2rcos(q) =1. L"ensemble des pointsMvérifiantm+¯m=1 est la droitex=12 (6) L"ensemble des pointsMvérifiantm¯m=i ne contient pasOdonc on peut poserm=reiq; la condition s"écrit alors 2rsin(q) =1. L"ensemble des pointsMvérifiantm¯m=i est la droitey=12 (7) Les pointsMtel quemambsoit égal ài sont les intersections du cercle de diamètre[AB]et de la médiatrice de[AB]en effet le triangleABMest rectangle isocèle enM. (8) Les pointsMtel quemambsoit un imaginaire pur sont les points différents deBdu cercle de diamètre[AB]en effet le triangleABMest rectangle enM. Exercices 1.Déterminer le troisième sommet d"un triangle. - WIMS : Triangle isocèle (1) - WIMS : Triangle isocèle (2) - WIMS : Triangle équilatéral

2. ECRITURE COMPLEXE D"UNE TRANSFORMATION

Un point dans le plan avec un repère orthonormé(O;~u;~v)peut être déterminé par ses coordonnées(x;y)ou son affixez=x+iy. Ainsi on peut définir une trans- formation en donnant pour chaque point les coordonnées de son image ou son affixe. Définition 2.1.Soient deux nombres complexesa(non nul) etb. On s"intéresse aux transformationsRa;betSa;bdéfinies pourz2Cpar : R a;b(z) =az+betSa;b(z) =a¯z+b

2.1.Exemples.Les transformations présentées ici sont définies dans le document

WIMS : Isométries du plan sauf l"homothétie (voir en 4.1).

On considèreMetM0d"affixes respectifszetz0.

- La transformationR1;best latranslationde vecteur~bd"affixe b. En effet, dez0=z+b, on tire :!MM0=~bpuisquez0zest l"affixe de!MM0. - La transformationR1;2cest lasymétrie centralede centreCd"affixec. en effet, dez0=z+2c, on tirec=z+z02 doncCest le milieu de[MM0]. - Pourlréel, non nul et différent de 1, etc2C,Rl;c(1l)est l"homothétiede centreCd"affixecet de rapportl.

En effet, pourM0=h(C;l)(M), on a :z0c=l(zc).

4 MARIE-CLAUDE DAVID

- Pourq6=0, l"image deMpar larotationde centreCd"affixecet d"angleq est le pointM0dont l"affixe vérifie : z

0c=eiq(zc)

- La transformationS1;0est laréflexiond"axey=0 :z0=¯z. - Pourq6=0 eta=eiq,Sa;0est laréflexiond"axeDoùDest la droite passant parOet tel que((Ox);D) =q2 En effet, deSa;0(z) =eiq¯z, on tire :Sa;0S1;0=R(eiq;0).

Exercice 2.

WIMS : Image par une rotation

2.2.Propriétés générales.

Proposition 2.1.Soient a6=0et b deux nombres complexes.

Les applications R

a;bet Sa;bmultiplient les longueurs parjaj.

Les applications R

a;bconservent les angles orientés.

Les applications S

a;btransforment un angle orienté en son opposé. Démonstration.SoientMetNd"affixes respectiveszMetzN; on notez0Metz0Nles affixes de leurs images. Pour les applicationsR, on a :z0Nz0M=a(zNzM)d"oùjz0Nz0Mj=jajjzN z Mj. Pour les applicationsS, on a :z0Nz0M=a(¯zN¯zM) =az

NzMd"oùjz0N

z

0Mj=jajjzNzMj.

Dans les deux cas, la longueurM0N0est le produit deNMparjaj. On supposeMetNdistincts et on considère deux autres points distinctsPetQ d"affixes respectiveszPetzQ; on notez0Petz0Qles affixes de leurs images.

Pour les applicationsR, on a : Argz0Pz0Qz

0Nz0M=ArgzPzQz

NzMdonc les angles orientés

sont conservés.

Pour les applicationsS, on a : Argz0Pz0Qz

NzMdonc un

angle orienté est transformé en son opposé.

3. ISOMÉTRIES DU PLAN COMPLEXE

On suppose dans cette partie queaest de module1.

D"après la proposition 2.2, les applications étudiées sont donc des isométries.

3.1.Isométries positives.

3.1.1.Etude de z0=az+b.

Proposition 3.1.Pourjaj=1, l"application Ra;best une isométrie positive. - Pour a=1et b=0, R1;0est l"identité. - Pour a=1, R1;best la translation de vecteur~b d"affixe b. - Pour a6=1, on pose a=eiqavecq6=0. Alors Ra;best la rotation de centre

C d"affixe c=b1aet d"angleq.

GÉOMÉTRIE DU PLAN COMPLEXE 5

Pour chaque translation ou rotation, on peut trouver un couple de nombres com- plexes(a;b)telle que son expression complexe soit Ra;bet ce couple est unique. Démonstration.Pour l"essentiel, ces résultats ont été vus dans les exemples en 2.1. L"équation aux points fixesc=ac+bdonne la valeur dec. Si on soustrait cette relation àz0=az+b, on obtientz0c=a(zc), doncRa;best la rotation de centre

Cet d"angle Arg(a).

3.1.2.Exemple.Soitfl"application du plan complexe définie par :

f(z) =12 (1ip3)z+2(1+ip3) Commef(z)est de la formeaz+baveca=eip=3de module 1,fest une isométrie positive qui n"est pas une translation donc c"est une rotation. Son centre est le pointCd"affixecvérifiant l"équation au point fixe : c=12 (1ip3)c+2(1+ip3) doncCa pour affixe 4.

L"angle defest l"argument dea=12

(1ip3)soitp3

Pour conclure,fest la rotationr(C;p3

)oùCle point d"affixe 4. Remarque 1.Pour résoudre l"équation au point fixe, il est recommandé de savoir calculer un quotient de nombres complexes. On trouvera la méthode à cette page

WIMS : Quotient de nombres complexes

3.2.Isométries négatives.

3.2.1.Etude de z0=a¯z+b.

Proposition 3.2.Pourjaj=1, l"application Sa;best une isométrie négative. - Pour a¯b+b=0, l"application Sa;best une réflexion d"axe passant par le pointC d"affixe b2 et faisant l"angle Arg(a)=2avec l"axe des abscisses. L"axe est aussi la médiatrice de[OB]où B=Sa;b(O)est le point d"affixe b. - Pour a¯b+b6=0, l"application Sa;best une symétrie glissée composée de la translation de vecteur ~d d"affixe d= (a¯b+b)=2et de la réflexion Sa;b0avec b

0= (ba¯b)=2. Son axe est la droite passant parC d"affixeb2

et dirigée par ~d. Il fait un angle de Arg(a)=2avec l"axe des abscisses. Pour chaque réflexion ou symétrie glissée, on peut trouver un couple de nombres complexes(a;b)telle que son expression complexe soit Sa;bet ce couple est unique. sification des isométries (WIMS : Isométries du plan). L"isométrieSa;best négative donc est une réflexion ou une symétrie glissée. Considérons le pointBd"affixeb, image deOparSa;bet le milieuC(d"affixe c=b2 ) de[OB]. Le pointCappartient donc à l"axe deSa;b. AlorsSa;best une réflexion si et seulement siCest fixe parSa;b. S a;bb2 =b2 ()b2 =a b2 +b()a¯b+b=0

6 MARIE-CLAUDE DAVID

DoncCest fixe parSa;bsi et seulement sia¯b+b=0. - Poura¯b+b=0, l"isométrieSa;best une réflexion d"axeDpassant parC. Siavaut 1, l"isométrieS1;best une réflexion d"axe parallèle à l"axe des abscisses. En effet,S1;bS1;0est la translation de vecteurbdonc les axes de S a;betS1;0sont parallèles. Siaest différent de 1,Sa;best la composéeRa;bS1;0donc la rotationRa;b (qui est une rotation d"angle Arg(a)) est la composéeSa;bS1;0. Donc l"axe deSa;0fait un angle(Arga)=2 avec l"axe des abscisses, axe deS1;0. Pour toute valeur dea, on a donc((Ox);D) =Arg(a)=2. On peut aussi remarquer que, commeSa;best la réflexion qui échangeO etB, son axe est la médiatrice de[OB]. - Poura¯b+b6=0, calculons~d=!CC0pourC0, image deCparSa;b. d=" a b2 +b# b2 =a¯b+b2 Sur son axe, la symétrie glissée agit comme la translation de vecteur ~d. L"iso- métrieSa;best donc la symétrie glissée composée de la translation de vecteur ~det de la réflexionSa;b0avecb0= (a¯b+b)=2.

En effet, on a :

z

0=a¯z+b=

a¯z+a¯b+b2 +a¯b+b2 De plusb0vérifie :a¯b0+b0=0. DoncSa;b0est bien une réflexion et bien sûr, son axe passe parCet est dirigé par~d. On peut remarquer que, l"axe deSa;bétant par définition celui deSa;b0, il fait donc un angle de Arg(a)=2 avec l"axe des abscisses. Remarque 2.L"expression complexe deSa;bSa;bestz0=z+a¯b+b. On constate queSa;best une involution (donc une réflexion) si et seulement sia¯b+best nul. SinonSa;bSa;best la translation de vecteur 2~d. Ceci est cohérent avec l"étude précédente.

3.2.2.Exemple.Soitgbl"application du plan complexe définie par

g b(z) =p2 2 (1+i)¯z+b: Commegb(z)est de la formea¯z+baveca=eip=4de module 1,gbest un antidé- placement, c"est-à-dire une réflexion ou une symétrie glissée.

Dans les deux cas, le pointCd"affixec=b2

est un point de l"axeDde cet antidé- placement; en effetCest le milieu de[Ogb(O)]. Sibest nul, le pointCest confondu avecOqui est fixe etg0est une réflexion, avecl"axedesabscisses (voir en 2.1).

GÉOMÉTRIE DU PLAN COMPLEXE 7

Sibn"est pas nul, posonsb=keibet notonsBle point d"affixeb.

Soitc0=gb(c) =k(12

eip=4eib+eib). Le pointCest fixe si et seulement si on a c

0=c. Or on a :

2(c0c) =k(eip=4eib+eib) =keib(eip=4e2ib+1)

Dans le cas oùbn"est pas nul,Cest fixe si et seulement sibvérifie 2b=p4 p[2p] c"est-à-direb=p8 p2 [p]. SoitD0la droite passant parOet faisant un angle de3p8 avec l"axe des abs- cisses. On a donc montré queCest fixe si et seulement siBappartient à la droite D

0. On remarque que, dans ce cas,Cappartient aussi àD0.

Dpassant parOet faisant un angle dep8

avec l"axe des abscisses. EvidemmentD est la médiatrice de[OB]et donc perpendiculaire àD0. QuandBn"appartient pas àD0,Cn"est pas fixe etgbn"a alors aucun point fixe, c"est une symétrie glissée d"axeDpassant parOet faisant un angle dep8 avec l"axe des abscisses. Le vecteur de la translation est!CC0, il dirige l"axe et son affixe est d=12 k(eip=4eib+eib). On peut écrire d=12 keip=8 ei(p8 b)+ei(bp8 =keip=8cosp8 b Dans cette expression, on voit clairement que l"argument dedestp8

3.3.Exercices.

(1) Dans cet exercice, il s"agit de déterminer le type d"une isométrie donnée en écriture complexe et ses éléments caractéristiques.

WIMS : Isométries en complexes

(2) Dans celui-ci, on s"intéresse aux points fixes de la transformation.

WIMS : Points fixes d"une isométrie

4. HOMOTHÉTIE

Nous commençons l"étude des transformations qui conservent les rapports des longueurs par celle de la plus simple d"entre elles, l"homothétie.

4.1.Définition.

Définition 4.1.SoientCun point du planPetlun réel non nul différent de 1. On appellehomothétie de centre Cet de rapportl, et on noteh(C;l), l"application du plan affinePdans lui-même qui à un pointMassocie le pointM0tel que!CM0= l:!CM. Sicest l"affixe deC, l"écriture complexe deh(C;l)estz0=l(zc)+c.

8 MARIE-CLAUDE DAVID

Exemple 1.La symétrie centrale de centreCest l"homothétie de centreCde rap- port1 :sC=h(C;1). On a déjà vu son expression complexe en 2.1.

4.2.Figure mobile.Sur la figure mobile (merci à Chantal Causse), l"image du F

bleu par l"homothétie de centre I et de rapport k (qui peut varier grâce au curseur) est le F vert. Vous pouvez déplacer tous les objets rouges. Lien pour une figure mobile :http://ggbm.at/rZBee7Tx

4.3.Homothétique d"un pentagone.Le polygone hachuré en vert est l"image du

grand pentagone orange par l"homothétie de centreFet de rapportkdonné par le curseur. On remarque qu"il est régulier et que ses côtés sont parallèles à ceux du grand. La figure mobile est disponible dans le document WIMS : Géométrie du plan complexe à cette WIMS : page.

GÉOMÉTRIE DU PLAN COMPLEXE 9

4.4.Propriétés.

Proposition 4.1.Soientlun réel non nul différent de1, A, B et C des points du plan. (1) Une homothétie admet son centre comme unique point fixe. (2) L"applicationh(C;l)multiplieleslongueursparjlj.Decefait,elleconserve les rapports de longueur. (3) L"inverse de h(C;l)est h(C;l1). (4) Une homothétie transforme une droiteDen une droiteD0parallèleD. (5) Une homothétie conserve les milieux. Si h est une homothétie, l"image par h du milieu de[AB]est le milieu de[h(A)h(B)]. (6) Les droites invariantes par h(C;l)sont celles passant par son centreC. Pour la démonstration de ces propriétés, on renvoie à celles des propriétés de la symétries centrale (voir WIMS : propriétés des symétries centrales et WIMS : droites invariantes dans le cours Isométries de plan.)

4.5.Exercices.

- Exercice de calcul

WIMS : Image par homothétie ou translation

10 MARIE-CLAUDE DAVID

- Exercices graphiques

WIMS : Image de points par une homothétie

WIMS : Image d"un triangle par une homothétie (1) WIMS : Image d"un triangle par une homothétie (2)

5. SIMILITUDES

On étudie maintenant les transformationsRa;betSa;bdans le cas oùan"est plus nécessairement de module 1.

5.1.Définitions et propriétés.

Définition 5.1.Dans le plan muni d"un repère orthonormé direct, on appellesi- militudela composée d"une isométrie et d"une homothétie. La similitude est dite directesi l"isométrie estpositive,indirectesi l"isométrie estnégative. Une similitude est donc de la formeRa;bsi elle est directe ouSa;bsi elle est indirecte. Réciproquement, l"applicationRa;b(resp.Sa;b) est une similitude directe (resp. indirecte). En effet, quand on la compose par l"homothétieR(jaj1;0)de centreO et de rapportjaj1, on obtient une isométrie positive (resp. négative). jaj1(az+b) =ajajz+bjaj Proposition 5.1.Les similitudes directes du plan complexe sont les transforma- tions R a;b(avec a6=0et b des nombres complexes). Les similitudes indirectes du plan complexe sont les transformations S a;b(avec a6=0et b des nombres com- plexes). Définition 5.2.On appellerapport de la similitudelavaleur absolue du rapport de l"homothétie, il vautjajdans l"écriture complexe.

5.2.Exemples.Voici quelques exemples de similitudes et une remarque impor-

tante sur la décomposition d"une similitude.

Exemples 1.

- Les isométries sont des similitudes de rapport 1. - L"homothétieh(O;2)est une similitude de rapport 2, elle est la composée deh(O;2)et la symétrie centralesO. Remarque 3.Sian"est pas réel,Ra;best la composée de la rotationRa0;b0avec a

0=a=jajetb0=b=jajet de l"homothétie de centreOet de rapportjaj.

R a;b(z) =az+b=jajajajz+bjaj = [h(O;jaj)Ra0;b0](z) Mais cette composition n"est pas commutative. En effet on a : [Ra0;b0h(O;jaj)](z) =ajaj(jajz)+bjaj=az+bjaj

GÉOMÉTRIE DU PLAN COMPLEXE 11

6. ETUDE DES SIMILITUDES QUI NE SONT PAS DES ISOMÉTRIES

Dans cette partie, on étudie les similitudes qui ne sont pas des isométries, c"est-

à-dire leur rapport est différent de 1.

6.1.Décomposition canonique d"une similitude qui n"est pas une isométrie.

On va maintenant montrer qu"on peut écrire une similitude qui n"est pas une iso- métrie comme composée commutative d"une homothétie et d"une isométrie à point fixe. Proposition 6.1.Soit s une similitude qui n"est pas une isométrie (jaj 6=1dans son écriture complexe). Alors s admet un unique point fixe, notéC d"affixe c, appelé centrede la similitude. Alors, silest le rapport de s, on peut écrire s=h(C;l)f=fh(C;l)oùf est une isométrie admettantC comme point fixe. Cette écriture est appeléedécom- position canoniquede s. Démonstration.L"existence et l"unicité du point fixe sont démontrées en 6.2 et en 6.3. Supposons quesfixe le pointCd"affixec. a(zc). PrenonsCcomme origine; dans ce nouveau repère, l"affixeZd"un point vautzc. On a donc Z

0=aZ=jajajajZ

=ajaj(jajZ) La similitudeRa;best donc la composée commutative deh(C;jaj)et d"une isomé- trie (le complexe ajajest de module 1) qui fixe la nouvelle origineC, c"est-à-dire une rotation de centreC. Sisest indirecte, on fait le même calcul sans problème avec des conjugués aux isométrie négative qui fixeC, donc une réflexion.

6.2.Point fixe d"une similitude directe qui n"est pas une isométrie.Soitsest

une similitude directeRa;bqui n"est pas une isométrie (jaj 6=1). Le pointCest fixe parssi et seulement sicvérifiec=ac+b; cette équation aux points fixes a une unique solution :c=b=(1a)puisqueane peut être égal à 1. Proposition 6.2.Dans le casjaj 6=1, la similitude directe Ra;badmet pour centre son unique point fixeC d"affixe b1aet vérifie R a;b=h(C;jaj)r(C;Arg(a)) =r(C;Arg(a))h(C;jaj): On note s(C;q;l)la similitude composée de h(C;l)et der(C;q). Son expression complexe est : z

0=leiq(zc)+c

Figure : Image d"un carré par une similitude directe.La figure mobile est dis- ponible dans le document WIMS : Géométrie du plan complexe à cette WIMS : page. Le carréAODEest l"image deABCDpar la similitude de centreAd"anglep4 et de rapportp2 2

12 MARIE-CLAUDE DAVID

6.3.Point fixe d"une similitude indirecte qui n"est pas une isométrie.Consi-

dérons maintenant le cas d"une similitude indirecteSa;bqui n"est pas une isométrie (jaj 6=1) et recherchons les éventuels points fixes deSa;b.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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