Fonctions automorphes dans le plan complexe
2009. 4. 24. Le plan complexe. 15. § 3.1. Biholomorphismes et groupes discontinus. 15. § 3.2. Fonction fondamentale. 17. § 3.3. Fonctions angulaires.
NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 2/4
Partie 1 : Représentation dans le plan complexe. 1) Définitions Le point (3 ; 2) a pour affixe le nombre complexe =3+2 .
Linversion 1 Cercle-droite
l'équation complexe d'une droite est : ¯?z + ?¯z = k où ? ? C? et k ? R. 1.2 Équation complexe d'un cercle. Soit C(? r) le cercle de centre ? et de rayon
(4 points) Dans Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé
Dans Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct )vu;O( 1) Ecrire une équation du plan (ABC). 2) Calculer l'aire du triangle ABC.
( 3 points) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé
3) a- Calculer la distance du point O à la droite (d). b- En déduire que le cercle du plan (P)
GÉOMÉTRIE DU PLAN COMPLEXE Voici un cours sur la géométrie
Dans cette partie on complète les propriétés géométriques des affixes vues dans le document WIMS : Nombres complexes. 1.1. Affixe d'un vecteur
Chapitre 2 - Fonctions dune variable complexe
Disque fermé : ¯D(a r) = {z ? C
Baccalauréat S Nombres complexes
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O. ??u
LEÇON 08 : NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE DU PLAN 1
Exercice. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A B et C d'affixes respectives ?1 + ?3 ; 2 et. ?1 ?
1 Causalité et analyticité dans le plan complexe 2 Relations de
1 Causalité et analyticité dans le plan complexe. On considère un oscillateur harmonique amorti soumis à un forçage dépendant du temps f(t) :.
Par exemple
z=x+iyo`ux, y?R ou bien encore z=ρeiθ avecρ≥0 etθ?[0,2π[ `a 2kπpr`es. On a doncx=ρcosθ,x=ρsinθ. Rappelons aussi que|z|=? x2+y2=ρ et que z= 0?ρ= 0?x= 0 ety= 0. Remarque 1Onne doit pasutiliser les relations d"ordre>etDisque ouvert :D(a,r) ={z?C||z-a|< r}.
2.1.3 Chemins
Un cheminL(z1,z2) du plan complexe peut ˆetre caract´eris´e par une fonction γ`a valeurs complexesz(t) =γ(t) du param`etre r´eelt?[α,β]. La fonctionγest continue ent, `a d´eriv´ee entcontinue par morceaux . Remarque 21. On peut consid´erer avec profit une image en terme de cin´ematique du point mat´eriel dans le plan : on consid`ere quez(t)repr´esente la po- sition `a l"instanttd"un point mobileM. Le pointMest autoris´e `a un 12CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE
αβz(t)
tγ(t) z1=γ(α)z
2=γ(β)
changement brusque de direction en certains points de sa trajectoire, en dehors de ces points la vitesse est une fonction continue.2. On peut avoirγ(t1) =γ(t2)pour des tempst1ett2diff´erents.
2.1.4 Chemins homotopes
Deux cheminsLetL?ayant mˆemes extr´emit´es sont ditshomotopess"il est possible de les d´eformer l"un en l"autre d"une mani`ere continue (intuitivement : sans les d´echirer `a aucun moment au cours de cette d´eformation). Remarque 3Cette derni`ere op´eration si elle est toujours possible dansCtout entier, n"est pas toujours possible dansC- {a}. aL L ?z1z 22.1.5 Domaine connexe
C"est un ensembleDde points du plan complexeCtels que1. Chaque pointz0deDpeut ˆetre le centre d"undisque ouvertenti`erement
contenu dansD.2. Deux points quelconquesz1etz2deDpeuvent ˆetre reli´es entre eux par
un cheminLenti`erement contenu dansD.2.2. S´ERIES ENTI`ERES3
Lz 1z 22.1.6 Domaine simplement connexe
C"est un domaine connexeDo`u deux chemins quelconques joignant deux points arbitrairesz1etz2deDsont homotopes tout en restant dansD. Exemple 4Un disque ouvert est simplement connexe alors que le domaine pr´ec´edent ne l"est pas.2.2 S´eries enti`eres
2.2.1 D´efinition
Les polynˆomes `a coefficients complexesz?→ P(z) =a0+a1z+···adzd peuvent ˆetre vus comme des fonctions deCdansC. On a envie de passer des sommes finies aux sommes infinies. D´efinition 5On appelles´erie enti`ereune s´erie de fonctions? n≥0fnde la forme f n(z) =anzn.On la note
?anzn. Exemple 6On appelles´erie exponentiellela s´erie enti`ere de terme g´en´eral z n/n!,n≥0.2.2.2 Rayon de convergence
Th´eor`eme 1Soit?anznune s´erie enti`ere. Il existe un nombreR?[0,+∞] tel que1. Si|z|< R, la s´erie?anznest absolument convergente.
2. Si|z|> R, la s´erie?anznest divergente.
D´efinition 7On appelle le nombre fourni par le th´eor`eme 1 lerayon de conver- gencede la s´erie enti`ere?anzn. Le disqueD={z?C||z|< R}s"appelle le disque de convergencede la s´erie enti`ere?anzn.4CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE
Exemple 8Le rayon de convergence de la s´erie enti`ere?znest ´egal `a 1. Sur le disque de convergence, la somme de cette s´erie vaut1 1-z. toutztel que|z|<1, doncR≥1. On conclut queR= 1. L"identit´e remarquable1 +z+···+zN-1=1-zN
1-z montre que si|z|<1, les sommes partielles de la s´erie convergent vers1 1-z. Exemple 9Le rayon de convergence de la s´erie exponentielle est ´egal`a+∞. En effet, pour toutz?C, on peut appliquer le crit`ere de d"Alembert au module |zn/n!|.2.2.3 D´erivation terme `a terme
D´efinition 10Soitz0?C, soitr >0. Soitfune fonction d´efinie sur le disque de centrez0et de rayonrdansC. On dit quefestd´erivable au sens complexe s"il existe??Ctel que lim h→0|f(z0+h)-f(z0) h-?|= 0. Le nombre?s"appelle lad´eriv´eedefenz0, not´eef?(z0). Exemple 11Un polynˆomez?→ P(z) =a0+a1z+···adzdest d´erivable au sens complexe, de d´eriv´eeP?(z0) =a1+ 2a2z0+···+dadzd-10. Th´eor`eme 2Soit?anznune s´erie enti`ere dont le rayon de convergence n"est pas nul. Alors sa sommef(z) =?∞n=0anznest d´erivable au sens complexe sur le disque de convergence, et sa d´eriv´eef?s"obtient en d´erivant terme `a terme, f ?(z) =∞? n=0na nzn-1=∞? n=0(n+ 1)an+1zn. Preuve.Utiliser le th´eor`eme de d´erivation dans l"int´egrale, pour la mesure de d´ecompte.2.2.4 S´eries de Laurent
D´efinition 12Unes´erie de Laurent, c"est une s´erie de fonctions de la forme? n?Zanzn, i.e. une s´erie de puissances positives et n´egatives dez.Pour que
n?Zanznconverge, il faut et il suffit que les s´eries?∞n=0anznet?∞n=1a-n(1/z)nconvergent. Par cons´equent, une s´erie de Laurent poss`ede une
couronne de convergenceA={R1<|z|< R2}. Le th´eor`eme de d´erivation terme `a terme (Th´eor`eme 2) s"´etend aux s´eries de Laurent.2.3. FONCTIONS HOLOMORPHES DANS UN DOMAINE5
2.3 Fonctions holomorphes dans un domaine
2.3.1 D´efinition
Soitz=x+iy?Detz?→f(z)≡f(x+iy) une fonction d´efinie pourz?D. D´efinition 13La fonctionfestholomorphe dansD,si l"une des troiscondi- tions suivantes (I, II ou III) est satisfaite I.La fonctionfest d´erivable au sens complexeen tout pointz0deD. II.Si on d´ecomposef(x,y)en parties r´eelleP(x,y)et imaginaireQ(x,y) f(x,y) =P(x,y) +iQ(x,y)1. Les fonctionsP(x,y)etQ(x,y)sont continues en tout pointz=x+iy
deD.2. Les d´eriv´ees partiellesP?xP?yQ?xQ?yexistentet sontcontinuesenx
etyen tout point deD.3. Les fonctionsP(x,y)etQ(x,y)satisfont auxconditions de Cauchy-Riemann
en tout point deD.∂P ∂x(x,y)-∂Q∂y(x,y) = 0 ∂P ∂y(x,y) +∂Q∂x(x,y) = 0 III.Pour toutz0?D, la fonctionh?→f(z0+h)est ´egale, au voisinage de0, `a la somme d"une s´erie enti`ere de rayon de convergence non nul
f(z0+h) =∞? n=0a n(z0)hn. Remarque 141. Les propri´et´esI,IIetIIIsont ´equivalentesseulement lorsqu"on consid`ere un domaineD. Elles ne sont plus ´equivalentes si on ne consid`erequ"un seul point. On dit que ce sont des propri´et´eslocalement´equivalentes mais pas ponctuellement.
2. Les conditions de Cauchy-Riemann seules (cf. la d´efinition II) n"assurent
pas l"holomorphie.3. La condition III s"appelle traditionellement conditiond"analyticit´e.
Proposition 151. Une fonction holomorphe dansDest continue en tout point deD.2. Une fonction holomorphe dansDest born´ee sur tout disque ferm´e (plus
g´en´eralement une union finie de tels disques) contenu dansD.2.3.2 Exemples de fonctions holomorphes
1.z?→z.
2.z?→ P(z) o`uPest un polynˆome enz.
3.z?→eaz= 1 +az+1
2(az)2+...+1n!(az)n+..., o`ua?C.
Ces trois derni`eres fonctions sont holomorphes dans tout le plan complexe.6CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE
4.z?→1
z, qui est holomorphe dansC- {0}.5.z?→P(z)
Q(z), o`uPetQsont des polynˆomes enz, est holomorphe dansC priv´e des racines de l"´equationQ(z) = 0.6. La d´eriv´eep-`emef(p)d"une fonctionfholomorphe dansDest holomorphe
dansD. (En d´eduire quean=1 n!f(n)(z0)).2.3.3 Propri´et´es alg´ebriques des fonctions holomorphes
Supposons donn´ees deux fonctionsz?→f(z) etz?→g(z) holomorphes dans un domaine communDdu plan complexe. On a alors1.af(z) +bf(z) qui est holomorphe dansDpouraetb?C.
2.f(z)g(z) est holomorphe dansD.
3. f(z) g(z)est holomorphe dansDpriv´e des points deDo`ug(z) = 0.4. (Loi de composition des fonctions holomorphes) Soientz?→f1(z) holo-
morphe dansD1etz?→f2(z) holomorphe dansD2et supposons que l"imagef(D1) soit contenue dansD2, on a alors :z?→f2(f1(z)) qui est holomorphe dansD1.2.4 Int´egrales le long de chemins du plan com-
plexe2.4.1 D´efinition
D´efinition 16SoitL: [α,β]→γ(t)un chemin du plan complexe. Soit z?→f(z)une fonction de la variable complexez, qu"on suppose holomorphe dans un domaineDcontenant le cheminL. On appelleint´egrale defle long deL, la quantit´e not´ee?Lf(z)dzdonn´ee par
L f(z)dz=? [α,β]f(γ(t))dγ(t) dtdt. Remarque 17Bien quef(z)soit une fonction continue enzet quedγ(t) dtsoit continue par morceaux ent, nous consid´erons ici que l"int´egrale est prise au sens de Lebesgue, alors que Riemann suffirait. Cela facilitera la formulation d"un certain nombre de th´eor`emes. Remarque 18En d´ecomposantf(z)en partie r´eelle et imaginaire f(z) =P(x,y) +iQ(x,y) de mˆeme pourγ(t) =x(t) +iy(t). On pourra encore ´ecrire?Lf(z)dzsous la
forme d"une int´egrale curviligne dans le plan des variables r´eellesxety, L f(z)dz=? LP(x,y)dx-Q(x,y)dy+i?
LP(x,y)dy+Q(x,y)dx
2.4. INT´EGRALES LE LONG DE CHEMINS DU PLAN COMPLEXE7
Il est tr`es instructif de consid´erer l"analogie m´ecanique suivante. On peut dire que? Lf(z)dzrepr´esente le travail accompli par la forcef(z) appliqu´ee sur un point mobile se trouvant au pointz(t) `a l"instanttsur la trajectoireL, lorsqu"il parcourt tout le cheminLavec la vitessedγ(t) dt.Proposition 19L"int´egrale?
Lf(z)dzestind´ependantede la param´etrisation prise pour d´ecrireL. Ceci veut dire que sit??[α?,β?]→z(t?) =μ(t?) est une autre param´etrisation´equivalente
1deL, L f(z)dz=? [α,β]f(μ(t?))dμ(t?) dt?dt?=? [α,β]f(γ(t))dγ(t)dtdt. L"analogue en m´ecanique du point de cette propri´et´e n"est autre que l"invariance, par rapport `a la vitesse du point mobile, du travail accompli par une force appliqu´ee sur ce point lors de son d´eplacement le long d"unchemin donn´e. Proposition 20SoitL-un chemin identique `aLmais d´ecrit en sens inverse par la param`etrisation t?[α,β]→z(t) =γ-(t)?L- avecγ-(α) =γ(β)etγ-(β) =γ(α), alors L f(z)dz=-? L -f(z)dz. LL Proposition 21(Formule de majoration). Soitfholomorphe dans un domaine connexeDetL: [α,β]→z(t)un chemin contenu dansD. Alors L z?L|f(z)|, o`uλ(L)est la longueur deL.1C"est `a dire quet?= Φ(t) etγ(t) =μ(Φ(t)) o`u Φ est une fonction continue croissante `a
d´eriv´ee continue par morceaux, appliquant de fa¸con bijective [α,β] sur [α?,β?].
8CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE
Preuve.On peut ´ecrire
L f(z)dz|=|? [α,β]f(γ(t))γ?(t)dt| [α,β]|f(γ(t))||γ?(t)|dt z?L|f(z)|)? [α,β]|γ?(t)|dt.Commeγ?(t) =x?(t) +iy?(t), on a
|γ?(t)|=? (x?(t))2+ (y?(t))2. D"autre part, il est bien connu en g´eom´etrie que (x?(t))2+ (y?(t))2dt=λ(L). Proposition 22Soitf(z)holomorphe dans un domaine connexeDetL: [α,β]→z(t)un chemin contenu dansD. On a alors L f?(z)dz=f(z(β))-f(z(α)). Preuve.PosonsF(t) =f(z(t)). Par la formule des d´eriv´ees compos´ees (la d´eriv´eez?(t) est d´efiniep.p./dt) dF(t)quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
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