PACES-UE4-VA et loi de probabilites2013 PDF

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PACES-UE4-VA et loi de probabilites2013

3 oct. 2013 Soit E un ensemble d'évènements pour lesquels on a défini une distribution de probabilité (E est un ensemble probabilisé).

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À l'issue du premier semestre, tous les étudiants passent un seul concours. Ils sont jugés sur les cours de 3 ou 4 UE (unités d'enseignement) qu'ils ont suivis en commun. Mais selon les filières (médecine, sage-femme, pharmacie ou dentaire), des coefficients différents sont affectés aux matières.

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Variables aléatoires

1 © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-ComtéUE 4

Plan du cours

1. Variable aléatoire

1. Définition

2. Loi de probabilité et représentation

3. Fonction de répartition

4. Caractéristiques de position/dispersion

5. Opérations sur les variables aléatoires

2. Lois de probabilité usuelles

2 © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté

VA : définition intuitive

Un couple prévoit d"avoir 3 enfants

X=nombre de filles

" Avoir exactement une fille » (X=1) © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté 3

ΛDDDΜ ЉͲЊЍ

ΛDDCΜ ЉͲЊЌ

ΛDCDΜ ЉͲЊЌ

ΛDCCΜ ЉͲЊЋ

ΛCDDΜ ЉͲЊЌ

ΛCDCΜ ЉͲЊЋ

ΛCCDΜ ЉͲЊЋ

ΛCCCΜ ЉͲЊЊ

ǣtΛǣΜ

Ќ ЉͲЊЊX

Basé sur p(G)=0,52

Pr(X = 1) ou p(1)

0,13 + 0,13 + 0,13 = 0,39

Une variable aléatoire discrète prend

différentes valeurs x iavec des probabilités définies par sa loi de probabilité p(x)

VA : définition formelle

• SoitEun ensemble d"évènements pour lesquels on a défini une distribution de probabilité (Eest un ensemble probabilisé) • Une variable aléatoire Xest une fonction numérique définie sur cet espace E • A chaque evt. élémentaire de E, on fait correspondre un nombre xselon une règle bien définie (une application de l"ensemble Edans l"ensemble ) • A chaque sous-ensemble de nombre, on peut attribuer la probabilité du sous-ensemble de Equi lui correspond on définit ainsi la distribution de probabilité de la VA © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté 4

Caratéristiques d"une VA

• Convention d"écriture : la variable aléatoireX(majuscule), et la valeur observéex(minuscule) • Typologie : - variable aléatoire discontinue (ou discrète) - variable aléatoire continue : la variable X peut prendre toutes les valeurs sur un certain intervalle fini ou infini • Si Xet Ysont des VA, alors -Z=X+Y, Z= X-Ysont des VA -Z=aXest une VA, aétant une constante réelle -Z=XY, Z=X/Ysont des VA -Z=Xnest une VA © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté 5

Loi de probabilité, VA discrète

• A chaque valeurx i, on associe une probabilitépitelle que :pi= Pr(X=xi). • Ensemble des couples (x i,pi) constitue la loi de probabilité de la variable discontinueX • Ex :X:VA" Avoir exactement une fille » définissant une application deEdans {0,1,2,3} © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté 6

ǣtΛǣΜ

Ќ ЉͲЊЊTableau des probabilités

Représentation graphique

VA discrète

Diagramme des probabilités

- en abscisse : les différentes valeurs de la VA, classées par ordre de grandeur croissante - en ordonnée, la probabilité de chaque valeur Ex

X: VA" Avoir exactement une fille »

Représentation graphique

VA continue

© F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté 8 •Xpeut prendre une infinité de valeurs à l"intérieur de l"intervalle de variation • Diagramme remplacé par une courbe représentant la fonction de densité de probabilité f(x), telle que f(x)dx= Pr(xLoi de probabilité, VA continue • La loi de probabilité est déterminée si on connaît pour tout intervalle [x a,xb], la probabilité que xisoit comprise entrex aetxb, soit Pr(xa¥-=1)(dxxf b adxxfbXa)()Pr( © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté9 • Soit XVA discrète, {x1,x2,..., xi, ...xn} • Fonction de répartition de X: © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté 10 1

1∑

uxxfuFu )()(11xfxF= )()()(212xfxfxF+= )(...)()()(21iixfxfxfxF+++=

1)(=nxF

Fonction de répartition

VA discrète

• Soit XVA continue • Fonction de répartition de X :

D"où,

Fonction de répartition

VA continue

)Pr()()()(bXadxxfaFbF b a

Plan du cours

1. Variable aléatoire

1. Définition

2. Loi de probabilité et représentation

3. Fonction de répartition

4. Caractéristiques de position/dispersion

5. Opérations sur les variables aléatoires

2. Lois de probabilité usuelles

12 © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté

On peut résumer une VA de façon plus

synthétique x par : • Une caractéristique de position

Espérance mathématique

• Une caractéristique de dispersion

Variance et écart-type

13© F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté

Espérance mathématique d"une VA

Espérance mathématique notéeE(X)

• SoitXune VAdiscrète • Soit Xune VA continue © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté14 n i iinxfxxfxfxxfxXE

12211)()(...)()()(

=dxxxfXE)()(

Variance et écart-type d"une VA

Dispersion autour de l"espérance mathématique, notée var(X) ous² • SiXune VA discrète © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté15 1in i ixfXExXVar∑ [])²()(m-=XEXVar []²)(²)()(XEXEXVar-= n i ii xfxXVar

12²)()(mSoit

Variance et écart-type d"une VA

• SiXune VA continue © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté16 ( )[ ]22)(²)()()(²)(XEXEdxxxfdxxfxXVar-=-=∫∫ -=dxxfXExXVar)()()(2

Plan du cours

1. Variable aléatoire

1. Définition

2. Loi de probabilité et représentation

3. Fonction de répartition

4. Caractéristiques de position/dispersion

5. Opérations sur les variables aléatoires

2. Lois de probabilité usuelles

Soit Xune VA, a et b deux constantes

•Y=aX+b est une VA •E(Y) = a.E(X) + b • Var(Y)=a²Var(X)

Soit XVA, E(X)= μet Var(X)=σ²

• SoitZ une VA centrée réduite 18 © F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté n xxi∑=n xxi∑=n xxi∑=Transformation de variable s m-=XZ1)(=ZVar

0)(=ZE

Soit Xet Ydeux VA

•E(X+Y)=E(X)+E(Y) •Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y) • cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) • Si X et Y sont indépendantes, alors

E(XY)=E(X)E(Y)

Plan du cours

1. Variable aléatoire

2. Lois (distribution) de probabilité usuelles

1. Lois discrètes

1. Binomiale

2. Poisson

2. Lois continues

1. Normale ou Laplace-Gauss

VA = expérience à2 issues

- Sexe (H/F), statut patient (M +/M-, vivant/DCD), résultat d"un test (T +/T-), enceinte/non enceinte...

Soit X VA, valeurs {0,1}

•p=P(X=1) et q=P(X=0)=1-p •E(X)=p, Var(X)=pq=p(1-p) Ex naissance d"une fille •p=P(X=F)=0,48 et q=P(X=G)=0,52 21
© F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté n xxi∑=n xxi∑=n xxi∑=Épreuve de Bernouilli • Soit Sn une VA : nombre de "succès» obtenus sur népreuves de Bernouilli indépendantes de même probabilité

élémentaire

•Sn: VA quantitative discrète, Sn~B(n,p) soit k le nombre de succès observés •E(Sn)=np, Var(Sn)=np(1-p)=npq 22
© F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté n xxi∑=n xxi∑=n xxi∑=Loi Binomiale knkk nppCkSnP--==)1()()!(!!knknC k n-=

1!!0==nnCnnpSnP)1()0(-==

Ex"Avoir une fille parmi 3 enfants»

39,0)52,0(48,03)1(21=´´==SnP

• F = la fréquence des succès

F : {...}

24
© F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté n xxi∑=n xxi∑=n xxi∑=Loi Binomiale : distribution d"une fréquence nSF n=,2,1,0nnnn n ()pnpnSnEnnSnEFE====1)(1)( npp npqnpqnSnVarnnSnVarFVar)1(

²1)(²1)(-====)

• Si n"grand», utilisation loi Normale • Moins rapide pour p=0,9 ou p=0,2 que pour p=0,5 • Approximation convenable si npet nqsont au moins égaux à5 • Si pest "très»petit... 25
© F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté n xxi∑=n xxi∑=n xxi∑=Approximation de la loi Binomiale )1,0()()(NnpqnpSn

SnVarSnESn»-=-

Nombre d"accidents provoqués par un vaccin, le nombre de suicides dans une grande ville, nombre de cancers de l"enfant... •X= nombre d"événements rares • p petit (<0,1) et n grand : 0,2 £np £8 • Alors Sn B(n,p)≈loi de Poisson P (np) •X: VA quantitative discrète, X~P(l)

Valeurs entières positives ou nulles, l³0

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1. Variable aléatoire

1. Définition

2. Loi de probabilité et représentation

3. Fonction de répartition

4. Caractéristiques de position/dispersion

5. Opérations sur les variables aléatoires

2. Lois de probabilité usuelles

VA : définition intuitive

Un couple prévoit d"avoir 3 enfants

X=nombre de filles

ΛDDDΜ ЉͲЊЍ

ΛDDCΜ ЉͲЊЌ

ΛDCDΜ ЉͲЊЌ

ΛDCCΜ ЉͲЊЋ

ΛCDDΜ ЉͲЊЌ

ΛCDCΜ ЉͲЊЋ

ΛCCDΜ ЉͲЊЋ

ΛCCCΜ ЉͲЊЊ

ǣtΛǣΜ

Ќ ЉͲЊЊX

Basé sur p(G)=0,52

Pr(X = 1) ou p(1)

0,13 + 0,13 + 0,13 = 0,39

Une variable aléatoire discrète prend

VA : définition formelle

Caratéristiques d"une VA

Loi de probabilité, VA discrète

ǣtΛǣΜ

Ќ ЉͲЊЊTableau des probabilités

Représentation graphique

VA discrète

Diagramme des probabilités

X: VA" Avoir exactement une fille »

Représentation graphique

VA continue

1∑

1)(=nxF

Fonction de répartition

VA discrète

D"où,

Fonction de répartition

VA continue

Plan du cours

1. Variable aléatoire

1. Définition

2. Loi de probabilité et représentation

3. Fonction de répartition

4. Caractéristiques de position/dispersion

5. Opérations sur les variables aléatoires

2. Lois de probabilité usuelles

On peut résumer une VA de façon plus

Espérance mathématique

Variance et écart-type

13© F. Mauny - UFR SMP - Université de Franche-Comté

Espérance mathématique d"une VA

Espérance mathématique notéeE(X)

12211)()(...)()()(

Variance et écart-type d"une VA

12²)()(mSoit

Variance et écart-type d"une VA

Plan du cours

1. Variable aléatoire

1. Définition

2. Loi de probabilité et représentation

3. Fonction de répartition

4. Caractéristiques de position/dispersion

5. Opérations sur les variables aléatoires

2. Lois de probabilité usuelles

Soit Xune VA, a et b deux constantes

Soit XVA, E(X)= μet Var(X)=σ²

0)(=ZE

Soit Xet Ydeux VA

E(XY)=E(X)E(Y)

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