Probabilité théorique La probabilité théorique dun événement est
On peut exprimer une probabilité sous la forme d'une fraction d'un pourcentage ou en notation décimale. Probabilité théorique = Ex. : 1) Lorsqu'on lance un dé
Probabilité expérimentale vs probabilité théorique (Corrigé)
Lorsque tous les résultats sont équiprobables la probabilité théorique d'un événement se calcule en faisant le rapport du nombre de cas favorables au nombre
5.1 Types de probabilité chances pour et chances contre
Elle est souvent utilisée lorsque la probabilité théorique est impossible à calculer. Probabilité fréquentielle = nombre de fois que le résultat attendu s'est
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On peut préciser le calcul de probabilités d'un événement E. De manière simplifiée la probabilité théorique vaut. P(E) = nombre de cas favorables.
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On ne peut plus calculer les effectifs théoriques. On estime alors les param`etres et on calcule la distance du chi-deux. Le nombre de degrés de liberté sera
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Probabilités et définitions CST et TS Sylvain Lacroix 2008-2010
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PRINCIPALES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS
La loi théorique agit comme modèle (idéalisation) et permet ainsi de réduire les irrégularités de la distribution empirique. Ces irrégularités sont souvent
12 Tests du khi-deux
Le khi-deux est une statistique permettant de comparer les effectifs (fréquences) ob- servés dans un échantillon avec des fréquences théoriques qui
12Tests du khi-deux
La statistique du khi-deux est particulièrement adaptée pour les observations qualita- tives. On développe dans ce module une serie de tests pour ce type de donnéesObjectifs et compétences
L"objectif de cette partie est de montrer à l"étudiant les méthodes pour l"analyse des données de type qualitatif.L"étudiant sera en mesure de
établir les hypothèses statistiques
choisir le test adapté
calculer la statistique du test du khi-deux et effectuer le test associéinterpréter les résultats du test
Tests et statistique
Les différents tests du khi-deux
Le khi-deux est une statistique permettant de comparer les effectifs (fréquences) ob-servés dans un échantillon avec des fréquences théoriques qui découlent des hypothèses
statistiques. On s"intéresse dans ce module à quatre situations dans lesquelles la statis- tique est applicable pour effectuer un test d"hypothèse Ajustement On suppose que la loi de probabilité de la variable aléatoire qualitative (ou quantitative avec peu de modalités) est connue et on veut vérifier c"est le cas. C"est le cas classique du lancer d"un dé. On suppose que chaque face a une probabilité identique et on veut vérifier si le dé est équilibré. Homogénéité La variable aléatoire qualitative provient dekpopulations et on veut vérifier si la loi de probabilité est la même dans chaque population. On a donckéchan- tillons et on mesure la même caractéristique dans chacune d"elles. C"est le cas lorsqu"on veut savoir si la satisfaction (en quelques catégories) par rapport au service de transport en commun est semblable entre trois villes canadienne.2 Chapter 12 Tests du khi-deux
Indépendance On mesure deux variables aléatoires qualitatives dans une population et on veut savoir si ces variables sont indépendantes c"est-à-dire si la connaissance d"une desv.a. peutinfluencerlaloideprobabilitédel"autre. C"estlecaslorsqu"onveutvérifier si la satisfaction (en quelques catégories) par rapport au service de transport en commun est indépendant de la fréquence d"utilisation (en quelques catégories) de ces transports. Il n"y a qu"une petite nuance entre l"homogénéité et l"indépendance. Égalité de proportions On est dans le contexte d"un test d"homogénéité mais la vari- able n"a que deux modalités que l"on peut qualifier de "succès" ou d""échec" ET il n"y a que deux populations. Le fait de se demander si les deux populations ont la même distribution pour la variable mesurée c"est la même chose que de vérifier si les deux pro- portions de succès sont identiques. Cela mérite une section particulière puisque c"est le seul test du khi-deux qui peut se décliné en unilatéral ou bilatéral. On utilise ce test lorsqu"on veut savoir si le taux de réussite chez les hommes dans un programme d"administration est le même que le taux de réussite chez les femmes. Les tests du khi-deux demandent un calcul assez long et malheureusement ils ne sont pas disponibles directement dans le logiciel Excel. Il faut donc apprendre à faire le calcul avec la calculatrice tout en considérant que lors d"un examen on tentera de réduire le plus possible la complexité du calcul requis.Statistique du test
qu"on observerait si l"hypothèses nulle est vraie. Considérons le cas d"un test visant àvérifier si un dé est équilibré c"est-à-dire si chacune des faces avait la même probabilité
(1/6). Si on lance le dé 500 fois on devrait retrouver en moyenne500?1/6 = 2503=
83.333fois la valeur "1" et 83.333 fois la valeur "2", etc. Supposons qu"on observe 90
valeur "1" sur les 500 lancers, 74 fois la valeur "2", 68 fois la valeur "3", 105 fois la valeur "4", 85 fois la valeur "5" et finalement500-(90 + 74 + 68 + 105 + 84) = 79fois la valeur "6". On cherche à établir si la différence entre les valeurs observées et les
valeurs théoriques est importante ou simplement due à une variation aléatoire.Posonsn
ila valeur observée pour le nombre de fois que le "i" est sorti etTila valeur moyenne attendue. Si on fait simplement la différence entre les deux on obtient toujours0 :?(n
i-Ti) =?ni-?Ti=n-n= 0 ce qui n"est pas particulièrement pratique. La statistique du khi deux utilise donc la différence au carré :?(n i-Ti)2. Or cette dernière façon de considérer les différences entre les valeurs qui donne un poids trop grand pour les petites valeurs den i: si on a une valeur théorique de 10 pour une modalité et une valeur observée de 5 alors la différence est la même que si on a une modalité avec une valeur théorique de 500 et une valeurTest d'ajustement du khi-deux 3
observée de 505. Il y a dans les deux cas une différence de 5 unités mais dans le premier cela correspond à une diminution de 50% et dans le deuxième à5/500?100 = 1%. Pour éviter cette disproportion pour une modalité en particulier la statistique du khi deux est donnée par?(n i-Ti)2Tisoit la différence relative. Dans tous les cas le principe est le même, seule la formulationdes fréquences théoriques diffèrent selon les hypothèses.
Test d'ajustement du khi-deux
Le test d"ajustement du khi-deux permet de vérifier qu"une variable qualitative ou quan- titative discrète mesurée dans une population suit une loi de probabilité théorique con- nue. Considérons un dé à six faces et supposons que l"on veuille vérifier s"il est bien équilibré. On peut effectuer un test pour chaque face séparément ou utiliser la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le nombre de points sur la face visible du dé. Dans ce cas il suffit de confronter les hypothèses H0:πi=16pour chaquei= 1,2,...6
H1:πi?=16pour au moins uni
Onpeuttesterl"ensembledesfaces enuneseule opération àl"aided"untestd"ajustement du khi-deux.On cherche à déterminer s"il y a une différence dans le nombre de créations d"entreprises
dans l"année (les saisons plus spécifiquement). Les hypothèses à confronter sont H0:πi=14pouri="été", "printemps", "automne", "hiver"
H1:πi?=14pour au moins uni
oùπest la probabilité de créer une entreprise.4 Chapter 12 Tests du khi-deux
SoitXune v.a. discrète de supportSXet loi de probabilité f(x i) =πipourxi?SX et considérons les hypothèses statistiques : H0:πi=πi0pour chaquei
H1:πi?=πi0pour au moins uni
oùπ i0sont des constantes connues. Le test d"ajustement du khi-deux de niveauαpour confronter ces hypothèses est de rejeterH 0si 2= k? i=1 (ni-Ti)2Ti≥χ2
k-1;α où n i=npiTi=nπi0
etχ2 k-1;αest le point critique de niveauαpour une loi khi-deux de paramètrek-1. Conditions d"application : Le test approximatif est valide si a.T i≥1pour chaquei b. Il y a un maximun de 20% des valeursT iqui sont moins grandes que 5 Remarque 12.1Les deux conditions d"application sont connues comme étant la règle de Cochran. Exemple 12.1?Danslebutdevérifiersiundéestbienéquilibréunemachine"lance" le dé 1000 fois et on observe le nombre de points sur la face visible du dé. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :Face123456
Observations180167158210135150
Faire un test au niveau 5% pour vérifier si le dé est équilibré. Solution :Considérons la v.a. qui donne le nombre de points sur la face visible du dé, on veut confronter les hypothèses H0:πi=16pour chaquei= 1,2,...6
H1:πi?=16pour au moins uni
Test d'ajustement du khi-deux 5
Le test d"ajustement du khi-deux est de rejeterH
0si 2= k? i=1 (ni-Ti)2Ti≥χ2
k-1;α oùk= 6etα= 0.05. On obtient xi123456Ti166.67166.67166.67166.67166.67166.67
et ainsi les conditions d"application du test du khi-deux sont respectées.On observe
2= k? i=1 (ni-Ti)2 Ti =(180-166.67) 2166.67+(167-166.67)
2166.67+···
= 20.468Orχ
25;0.05= 11.07donc on rejetteH0et on doit conclure avec un niveau de 5% que le
dé n"est pas équilibré. Exemple 12.2??Une étude sur la création d"entreprises vise à vérifier s"il y a une variabilité au cours de l"année. On observe 52 créations d"entreprises en 2007 et la distribution selon les saisons est la suivante :SaisonÉtéAutomneHiverPrintemps
Créations1021813
Faire un test au niveau 10% pour vérifier s"il y a une fluctuation dans l"année.Solution :On veut confronter les hypothèses
H0:πi=14pouri="été", "printemps", "automne", "hiver"
H1:πi?=14pour au moins uni
oùπ iest la probabilité de création de l"entreprise à la saisoni. Le test de niveauαest de rejeterH 0si 2= k? i=1 (ni-Ti)2Ti≥χ2
k-1;α kétant le nombre de saisons soit 4. On obtient T i= 52?14= 13 pour chaque saison et ainsi les conditions d"application du test d"ajustement sont re-6 Chapter 12 Tests du khi-deux
spectées. Selon l"échantillon on observe2=(10-13)
213+(21-13)
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