Ensembles de nombres
On montre de la même façon que le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel et que le produit d'un nombre rationnel par un nombre irrationnel
la somme dun nombre rationnel et dun nombre irrationnel est
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Démonstration. Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux
nombres-rationnels-produit-et-quotient.pdf
Pour multiplier deux nombres relatifs en écritures fractionnaires on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux en respectant la règle des
Les nombres entiers et rationnels (cours)
Un nombre rationnel est le quotient d'un nombre entier relatif par un nombre le produit de deux nombres relatifs négatifs est un nombre relatif positif.
Chapitre 3 : Les nombres rationnels
Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel. Page 2. II. Egalite de quotients a) Simplification de quotient. Propriété(admise):
Prépasup
18 avr. 2020 b) La somme le produit de deux nombres irrationnels est un irrationnel. c) La somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un ...
Chapitre 3 : Les nombres rationnels
Définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire pour la forme Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est egal à 1.
Nombres entiers rationnels et réels
Un nombre qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. On note R ? Q (a) Le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel;.
TP2 #9. Preuve. Soient x et y deux nombres impairs. Alors selon la
Démontrons que le produit d'un nombre rationnel non nul et d'un nombre irrationnel est irrationnel en utilisant la démonstration par l'absurde. Soit x ? Qx =
Untitled
Définition: Un nombre rationnel est un nombre sous la forme d'un quotient. L'ensemble des nombres rationnels est noté Q. 2 q =2p2. 2 est pair. ? q² est.
Solution
Soitx2R, on rappellexest rationnel si et seulement si il existe(a;b)2ZZtels quex=ab :On montre dans ces conditions qu' il existe un unique couple(p;q)2ZNtel quex=pq avecpetqpremiers entre eux. a)C'est vrai(il sut de l' ecrire).
b) C'est faux. Ain sisi x=y=p2, alorsx+y= 02Q, etxy=22Q. c) C'est vrai. Soit x2Qety2RnQet soitz=x+y. Par l'absurde, supposons quez2Qalors : y=zx2Qce qui n'est pas. Ainsiz =2Q. d) C'est f aux.Ainsi si x= 0 ety =2Q, alorsz=xy= 02Q. Par contre, six2Qn f0g, le resultat est vrai. En eet par l'absurde, si on avaitz=xy2Qavecx6= 0, on auraity=z1x2Qce qui n'est pas.
Exercice 2
a)Mon trerque
p3 est irrationnel. b)Mon trerque p2 +
p3 est irrationnel. c)Mon trerque
ln2ln3 est irrrationnel. d)Soit ( a;b;c;d)2Q4.
Que penser de l'assertion :ap2 +bp3 =cp2 +dp3 =)a=cetb=d?Solution
a) P arl'absurde, si p3 etait dansQ, il existerait (p;q)2N2tel quep3 = pq avec (p;q) premiers ente eux. En elevant au carre, on aurait : (?)p2= 3q2et 3 diviseraitp2. Comme 3 est premier, 3 diviseraitpd'ou l'existence dep02Ntel quep= 3p0. En reportant dans l'egalite (?), on aurait 3p02=q2donc 3 diviseraitq, ce qui contredit (p;q) premiers ente eux.La contradiction assure quep3 est irrationnel.
b)P arl'absurde, si p2 +
p3 etait rationnel, alors son carre le serait, donc 5 + 2 p6 serait dansQ. Il en decoulerait quep6 serait dansQ. On adapte alors la preuve faite en a) pour montrer quep6 est irrationnel, ce qui etablit la contradiction et etablit le resultat. c)T oujourspar l'absurde si
ln2ln3 est rationnel, alors . il existerait (p;q)2N2tel queln2ln3 =pqOn a alorsqln2 =pln3 donc ln(2q) = ln(3p). Par injectivite de la fonction ln, il en resulte que 2q= 3p.
Orqest non nul donc 2qest pair et 3pest impair d'ou la contradiction (aucun entier n'est pair et impair). Ainsi ln2ln3 est irrrationnel. 1 d)Elle est juste. Il sut pour la valider de montrer que pour (;)2Q2, l'egalitep2+p3 = 0 implique :== 0.Supposons que : (1)p2 +p3 = 0 avec (;)2Q2.
Par passage au carre, on obtient : 22+ 32=2p6.
Par l'absurde, si6= 0 alors on aurait :p6 =22+ 3222Qce qui n'est pas. Ainsi= 0. Mezalors,= 0 ou= 0 et il en decoule en reportant dans (1) que== 0. 2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Le produit de la somme de 5 et de 9 par la différence de 5 tiers et de 6 vaut
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