Ensembles de nombres
On montre de la même façon que le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel et que le produit d'un nombre rationnel par un nombre irrationnel
la somme dun nombre rationnel et dun nombre irrationnel est
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Démonstration. Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux
nombres-rationnels-produit-et-quotient.pdf
Pour multiplier deux nombres relatifs en écritures fractionnaires on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux en respectant la règle des
Les nombres entiers et rationnels (cours)
Un nombre rationnel est le quotient d'un nombre entier relatif par un nombre le produit de deux nombres relatifs négatifs est un nombre relatif positif.
Chapitre 3 : Les nombres rationnels
Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel. Page 2. II. Egalite de quotients a) Simplification de quotient. Propriété(admise):
Prépasup
18 avr. 2020 b) La somme le produit de deux nombres irrationnels est un irrationnel. c) La somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un ...
Chapitre 3 : Les nombres rationnels
Définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire pour la forme Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est egal à 1.
Nombres entiers rationnels et réels
Un nombre qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. On note R ? Q (a) Le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel;.
TP2 #9. Preuve. Soient x et y deux nombres impairs. Alors selon la
Démontrons que le produit d'un nombre rationnel non nul et d'un nombre irrationnel est irrationnel en utilisant la démonstration par l'absurde. Soit x ? Qx =
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Définition: Un nombre rationnel est un nombre sous la forme d'un quotient. L'ensemble des nombres rationnels est noté Q. 2 q =2p2. 2 est pair. ? q² est.
9k2Zx= 2k+ 1 et9l2Zy= 2l+ 1. Donc
x+y= 2k+ 1 + 2l+ 1 = 2(k+l+ 1): On sait que la somme de deux nombres entiers est un nombres entier, donc le nombre k+l2Z. De m^eme, le nombrer=k+l+12Z, comme la somme de deux nombres entiers. Cela implique que9r2Zx+y= 2ret donc le nombrex+yest pair selon la denition. Puisqu'on a choisis n'importe quels deux nombres impairsxety, on conclut que8x8y x+yest pair. #10. Preuve.Soientxetydeux nombres rationnels. Alors selon la denition on a que (9m2Z)^(9n2Z)^(n6= 0)x=mn et (9p2Z)^(9q2Z)^(q6= 0)y=pq :Donc x+y=mn +pq =mq+pnnq On sait que le produit de deux nombres entiers est un nombre entier, donc nous avons quemq2Z;pn2Zetnq2Z. De plus, le nombrenq6= 0 car (n6= 0)^(q6= 0). On sait que la somme de deux nombres entiers est entiere, donc le nombremq+pnest entier. Denissonss=mq+pnett=nq. Alorss2Zet (t2Z)^(t6= 0). Nous avons demontre que (9s2Z)^(9t2Z)^(t6= 0)x+y=st quels que soient deux nombres rationnelsxety. Selon la denition on a quex+yest rationnel (on ecrit x+y2Q). Donc8x2Q8y2Qx+y2Q. #14. Preuve.Demontrons que le produit d'un nombre rationnel non nul et d'un nombre irrationnel est irrationnel en utilisantla demonstration par l'absurde. Soitx2Q;x6= 0. Alors selon la denition on a que (9m2Z)^(m6= 0)^(9n2Z)^(n6= 0)x=mn
. Soityest un nombre irrationnel. Alors selon la denition on a que:((9p2Z)^(9q2Z)^(q6= 0)y=pq ). Supposons que le nombrexy2Q, alors (9s2Z)^(9t2Z)^(t6= 0)xy=st . Donc st =xy=mn y; 12 # 9, 10, 14, 22
carx=mn . Puisque le nombrex=mn6= 0 on peut diviser les deux termes de
l'equationmn y=st parmn . Cela implique que y=st nm =sntm Les nombresa=snetb=tmsont entiers comme les produits de deux nombres entiers. De plus, le nombreb6= 0 cart6= 0 etm6= 0. Nous avons demontre que si le nombrexy2Q, alors (9a2Z)^(9b2Z)^(b6= 0)y=ab , donc le nombrey2Q. Nous somme arrive a une contradiction car nous avons eu queyest irrationnel. Donc le nombre (8x2Q)^(x6= 0)^(8yirrationnel)xyest irrationnel. #22. Preuve.On veut demontrer que (nest pair) !(7n+4 est pair). Cette proposition est logiquement equivalente a ((nest pair)!(7n+ 4 est pair))^((nest pair) (7n+ 4 est pair)). Donc pour demontrer (nest pair) !(7n+ 4 est pair) on doit demontrer (nest pair)!(7n+ 4 est pair) et (nest pair) (7n+ 4 est pair). Demonstration de (nest pair)!(7n+ 4 est pair). Sinest pair, alors selon la denition9m2Zn= 2m. Alors 7n+ 4 = 72m+ 4 = 2(7m+ 2). Demontrons que le nombrek= 7m+ 2 est entier. En eet, le nombre 7ml'est comme le produit de deux nombres entiers et le nombre 7m+ 2 est entier comme la somme de deux nombres entiers. Donc on a montre que9k2Z7n+4 = 2k. Alors selon la denition le nombre 7n+ 4 est pair. Demonstration de (nest pair) (7n+ 4 est pair). Pour cela utilisonsla preuve indirecte, i.e. demontrons que (7n+ 4 est impair)!(nest impair). Si 7n+ 4 est impair, alors9l2Z7n+ 4 = 2l+ 1. Alors 7n= 2l+ 14 = 2(l2) + 1. Le nombrer=l2 est entier comme la dierence de deux nombres entiers. Alors9r2Z7n= 2r+ 1 et donc le nombre 7nest impair selon la denition. Pour
demontrer que le nombrenest impair utilisons la demonstration par l'absurde, i.e. supposons que le nombrenest pair. Alors9t2Zn= 2t. Cela implique que7n= 7(2t) = 2(7t). Le nombres= 7test entier comme le produit de deux entiers.
Alors on a montre que9s2Z7n= 2set donc le nombre 7nest pair selon la denition. C'est une contradiction car on a deja montre que 7nest impair. Donc le nombren est impair.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Le produit de la somme de 5 et de 9 par la différence de 5 tiers et de 6 vaut
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