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Calcul de la profondeur uniforme - séquence 2.1On va traiter le problème pour la section trapézoïdale schématisée ci-dessous. La largeur au
plafond l est de 20 m, la pente des talus vaut p = 8/4=2, la pente de fond S0 vaut 0.0016 et la
rugosité du chenal est donnée par le coefficient de Manning n = 0.025.1. Calculer le débit pour une profondeur donnée
Il s"agit d"une application directe de la formule de Manning-Strickler : 210 3235
21
03211S
P A nSRAnQ==où A représente l"aire mouillée de la section et P le périmètre mouillé. Pour une section
trapézoïdale, on les calcule comme suit : ()hplhA+=212phlP++=
On peut remplacer A et P par ces expressions dans la formule de Manning-Strickler, pour obtenir une expression du débit qui ne dépend plus que des données l, p et h : ()21032235
35)12(1 S phlhplh nQ Pour calculer le débit correspondant à une profondeur de 4.179 m, on peut procéder de deux manières différentes :
Méthode 1
On commence par calculer A et P, et puis on introduit ces valeurs dans l"équation deManning-Strickler :
( )( )92.39904.044.1121.2859025.010016.069.385.118
025.01121
323521
0
3235====SPA
nQm³/s Au passage, on voit ici l"effet des erreurs d"arrondi : on ne retrouve pas exactement le débit de400 m³/s donné dans l"exemple, mais une valeur très proche qui, arrondie, donne bien 400
m³/s.Méthode 2
On utilise directement l"expression plus détaillée de l"équation de Manning-Strickler, en
remplaçant h, p, l, S0 et n par leurs valeurs :
()()( )92.39904.044.1171.26384.10025.010016.0)21179.4220(179.4220179.4
025.0121
3223535=´=+´´+´+=Qm³/s
On retrouve bien la même valeur finale !
2. Calculer la profondeur uniforme pour un débit donné
Ici, c"est un peu plus compliqué, car on ne peut écrire une équation simple qui donne laprofondeur h en fonction des autres paramètres. On va donc devoir procéder par itérations, à
partir de l"expression suivante : ( )3521 032235
)12( hplSphlnQh+++=
Il s"agit simplement de l"équation de Manning-Strickler dans laquelle on a " isolé » le terme
h5/3. On va donc, à partir d"une première estimation de la profondeur hest, vérifier cette
estimation en calculant la valeur de vérification h vérif : 5335
21
0322)12(
+++=estest vérifhplSphlnQhSi on prend comme première estimation h
est = 2 m, on trouve ( )( )( )397.42404.0)94.28(025.040022200016.0)212220(025.0400
533532
53
3521322
´+´+´´+´´=vérifhm
On voit que h
vérif est différent de notre estimation de départ hest : il faut donc poursuivre les itérations. On recommence donc, avec comme nouvelle valeur de h est la valeur de hvérif trouvée précédemment, on obtient ( )( )( )157.479.2804.0)66.39(025.0400397.42200016.0)21397.4220(025.0400
533532
53
3521322
´+´+´´+´´=vérifhm
En poursuivant les itérations, on trouve les valeurs du tableau ci-dessous. On voit qu"après 5itérations, on a convergé vers la bonne solution. Tout ceci reste bien évidemment valable avec
une autre valeur de départ pour h est.Itération hest (m) hvérif (m)
1 2 3 45 2.000 4.397 4.157 4.182 4.179 4.397 4.157 4.182 4.179 4.179
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