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Mathématiques

Livret de travailde la 3

eà la 2nde

7 juillet 2021

PRÉFACE

Ce livret s"adresse aux élèves qui s"apprêtent à entrer en classe de seconde au lycée Henri-IV ou au lycée Louis-le-Grand.

Il propose une sélection d"exercices couvrant une large partie du programme de troisième en mathématiques et a pour but

de faire le point sur les connaissances et les techniques utiles à une entrée en seconde.

Il n"est pasnécessairede faire tous lesexercicesmais il paraît raisonnable de chercher au moins les plus faciles

Lesexercicesprésentent unpictogramme donnantuneindicationduniveaudedifficulté. Lesexercices ????et????mobilisent des connaissances et savoir faire usuels de fin de troisième,les exercices ????ou????sont plus difficiles. Ces mentions sont

d"une part subjectives, d"autre part relatives : le niveau d"ensemble des exercices proposés est assez élevé par rapport au

programme de troisième. Ne pas trouver, même en y passant du temps, un exercice ne préjuge en rien d"une future réussite

en seconde.

Une solution non détaillée est proposée.

Anne PARADASARROYO(lycée Louis-le-Grand) et Laurent LEMAIRE(lycée Henri-IV) Anne PARADASARROYO- Louis-le-Grand2Laurent LEMAIRE- Henri-IV

EXERCICES

ICalcul fractionnaire

Ex1????

Calculer puis donner les résultats sous forme de fraction ir- réductible. A=1

3+25×34

B=?1 3+25?

×34

C=?13+25?

÷34

D=4

7-17×53

E=3

7-25×154

F=35+23

9 4+1

Ex2????

Calculer puis donner les résultats sous forme de fraction ir- réductible. A=?1 5-24?

×?37-12?

B=?3 7-15?

÷?32-54?

C=4

3-13×?

3+12?

D=?14-13?

×?34-32?

E=? 1-2 3? 1+13?

Ex3????

Calculer les expressions suivantes lorsque

a=2

3,b=-32etc=-34.

A=3a-b-c

B= -2a+4b-5c

C=6b2-3a+5

D=1a+1b+1c

E=a+c a-b

Ex4????

Calculer la valeur de F=x+5yxlorsque

1)x=2

3ety=-4

2)x=-4 ety=-8

5

3)x=-12ety=710

4)x=-2

3ety=215

Ex5????

Calculer puis donner les résultats sous forme de fraction ir- réductible. A=2 3+57 2

3×57

B=5+34-13

5-34+13

C=15-34×23?1

5-34?

×23

Ex6????

Quel est le nombre qu"il faut ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction 5

8pour que la nouvelle fraction

soit égale à 4?

Ex7????

Trouver le nombre caché à la place de♠et de♣. 1) 87

60=12+14+13+16+1♠2)31

17+101

8-7♣=

2015
2014

IIPuissances

Ex8????Formules

?Série 1

Écrire les nombres sous la forme 3

navecnentier relatif.

A=35×32

3-7

B=(32×33)4

C=32×(33)4D=?(-3)2×32?3(-3)5

E=?(-3)2?3

(-3)3×(-3)

F=3-2×9-834×27-17

G=?1

35×?32?3?2

H=32×27

812
?Série 2 Écrire les nombres sous la formeanavecaentier naturel et nentier relatif.

A=24×4-5

B=25×8-3

C=83 43

D=0,25-6×4-25

E=54×25-7×1252

F=76×(-49)5

7-9 ?Série 3

Écrire les nombres sous la forme 2

n×5mavecnetmentiers relatifs.

A=24(22×5)5

B=2×(52)3

2-3

C=?23×2-4?2(53)2×5-5

D=(102)3

2-4×(25)6

E=?25?

4

×?522?

3

F=643×1254

2507

Ex9????Nombre de chiffres

Déterminer le nombre de chiffres de 416×525.

Ex10????Somme des chiffres

Déterminer la somme des chiffres du nombre

10

2 046-2 046

Ex11????

En ajoutant 415et 810, on obtient une puissance de 2. La- quelle?

Ex12????

Dans chacun des cas, déterminer l"entier natureln.

1)24×32×56×72=n2

2)23×36×53×73=n3

3) ?45+45+45+45

35+35+35??

65+65+65+65+65+6525+25?

=2n Anne PARADASARROYO- Lycée Louis-le-Grand3Laurent LEMAIRE- Lycée Henri-IV

4)32001+32002+32003=n×32001

5)8n=2n×212

Ex13????Calculs algébriques

Soientaetbdes nombres non nuls. Écrire les expressions sous la formean×bmavecnetmentiers relatifs. ?Série 1 ?Série 2

A=a2(ab)-3(b-2)-3

B=(ab2)-1

a-2b-7

C=(a3b)3(a2b5)5

D=(ab3)-4(a-2b)2

a-6b4

IIIEntiers

Ex14????Chiffres manquants

Remplacer•par des chiffres afin que les nombres obtenus vérifient la condition donnée. Écriretoutes les solutions pos- sibles.

1)5•8•2 est divisible par 9.

2)3•5•est divisible par 9 et par 2.

3)34•45•est divisible à la fois par 5 et par 9.

4)1•3•est divisible par 15.

5)•23 45•est divisible par 11 et par 3.

Ex15????pgcd et ppcm

On considère les nombres 4116 et 2156.

1)Donner leur décomposition en facteurs premiers.

2)Déterminer leurPGCDet leurPPCM.

3)Lequel de ces deux nombres a le plus de diviseurs?

Ex16????Simplification de fraction

En utilisant la décomposition en facteurs premiers, simpli- fier au maximum les fractions.

A=71610

20790

B=374 850

350 350

C=26351274

D=4923 765

980 980

Ex17????

Décomposer 111 111 en produit de facteurs premiers.

Ex18????Nombre de zéros

Par combien de zéros se terminent les nombres suivants? C=100×101×102×103×··· ×998×999

Ex19????Organigramme

Entrer le nombre 437 dans l"organigramme suivant, quel nombre obtient-on à la sortie?

Ex20????Organigramme

1)Quel nombre entier faut-il entrer dans l"organigrammesuivant pour obtenir 39 à la sortie? [3 solutions]

2)Quel nombre entier faut-il entrer dans l"organigrammesuivant pour obtenir 24 à la sortie? [7 solutions]

IVCalcul littéral

Ex21????Distributivité simple

Développer et simplifier.

?Série 1

A=a×(a+3)

B=(x2+4)×x

C=a×(a2+a)

D=a×(a2+1)

E=a×(3a+6)

F=b×(3b2+5b)

G=(7b2-6b)×b

H=x×(5x2+2x)

I=(a2+2a)×a

?Série 2

A=x2×(2x+x2)

B=(2x2-5)×3x2

C=7a3×(3a3+2a)D=(3a-9a2)×a2

E=5x2×(8x-9)

F=3x×(5x2-3x)

?Série 3

A=2xy(x2y+x)

B=(2ab-4ab2)3a2b

C=5y2(y3-2x2y+1)

D=(3a3-2a2b-1)4ab

E=2x3(3xy+x)

F=(2a2b-3b)ab

Ex22????Double distributivité

Développer et simplifier.

?Série 1 Anne PARADASARROYO- Louis-le-Grand4Laurent LEMAIRE- Henri-IV

A=(3t-2)(7t-4)

B=(4s-1)(2s+5)

C=(3x+5)(2x-1)D=(7y-3)(2y-1)

E=(x+3y)(2x-y)

F=(4x-5y)(x-y)

?Série 2

A=(3x2-5)(2x2+1)

B=(a2b+3a)(2a2b-a)

C=(5ab-2b)(ab-4b)

D=(3y2-5x)(3x+5y2)

E=(2x2-3x)(-4x+5x2)

F=(-2x2-5y)(-x-4y2)

?Série 3

A=(2a3-7b)(-7a+3b2)

B=(5abc-2ab)(12ab-15abc)

C=(5ab2+3a2b)(-4a2b+3ab2)

D=(2a3b-7ab3)(-a3b+2ab3)

Ex23????Identités remarquables

Développer et simplifier.

?Série 1

A=(7x-2y)2

B=(4a-2b)2

C=(3a+2b)2

D=(7x-12y)2

E=(2b-7c)2

F=(x-7y)(x+7y)

?Série 2

A=(3a-2b)2

B=(2-2b)2

C=(6a+b)2

D=(3x-z)(3x+z)E=(4a-7)2

F=(10a-7b)2

?Série 3

A=(2a-b2)2

B=(2a2+b)2

C=(3x2-y)(3x2+y)

D=(3a2-2b3)2

E=(x3+y3)(x3-y3)

F=? 3x2-1 3x? 2

Ex24????Identités enchaînées

Développer astucieusement et simplifier.

?Série 1

A=(x+a)(x-a)(x2-a2)

B=(2a-1)(2a+1)(4a2+1)

C=(x-1)(x2+1)(x+1)

D=(x+2)(x-2)(x4+16)(x2+4)

E=(x2-1)(x2+1)(x4-8)

F=(4a4+3)(2a2+1)(2a2-1)

?Série 2

A=?(x-1)+x2??(x-1)-x2?

B=?x+(2+x2)??x-(2+x2)?

C=(x+y-1)(x-y+1)

D=(a2-ab+b2)(a2+ab+b2)

Ex25????

Soientx,yetztrois nombres réels non nuls.

On pose :

a=y z+zyb=zx+xzc=xy+yx

Calculera2+b2+c2-abc.

Ex26????

Sachant que X+Y=1 et X2+Y2=2,

1)que vaut XY?

2)que vaut1

X+1Y?

3)que vaut X3+Y3?

4)que vaut X4+Y4?

Ex27????Facteurs communs

Factoriser en utilisant un facteur commun.

A=3(x-2)+(x+3)(x-2)

B=5x(x-3)-x(2x+1)

C=(x+5)2+(x-5)(x+5)-3(x+5)

D=5(2x-1)3+(2x-1)2(x+2)

E=x2(x-2)+3x3

F=(x-3)2-2x(x-3)+(x-3)

G=(2x-3)2+5x(3-2x)

H=(2x+5)-(x+3)(4x+10)

I=(x+9)(x-5)+2(6x-30)

Ex28????Identités remarquables

Factoriser en utilisant une identité remarquable. ?Série1

A=x2+10x+25

B=16-25x2

C=1-12x+36x2

D=(x+7)2-1

E=16x2-8x+1

F=64-(2x+3)2

G=(3x-1)2-9

H=4x2-20x+25

?Série2

A=4x2-(x-5)2

B=1

4x2+x+1

C=81+4x2+36x

D=9(x+1)2-36

E=(2x+3)2-(x-1)2

F=4

9-(2x+13)2

?Série3

A=x2-9+(x-3)(2x+5)

B=5x(4x-1)+16x2-1

C=x2-25+x-5

D=4x2+4x+1-(2x+1)(3-5x)

Ex29????Regroupements de termes

Factoriser aussi complètement que possible.

?Série1

A=ax+ay+bx+by

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