[PDF] Calculs de Certaines Sommes de Gauss

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Journal of Number Theory NT2078

journal of number theory3, 5964 (1997)

Calculs de Certaines Sommes de Gauss

Philippe Langevin

G.E.C.T.,U.F.R.de Sciences et Techniques,Universite de Toulon et du Var,B.P.132,

83957La Garde Cedex,France

Communicated by A.C.Woods

Received May 7, 1995; revised April 3, 1996

Nous donnons les valeurs des sommes de Gauss associe es a des caracte res multi- plicatifs d'ordrelr sur une extension deFp lorsque le couple (p,l r ) satisfait des con- ditions dites re sidus quadratiques.

1997 Academic Press

1. SOMMES DE GAUSS

SoitKune extension de degrefdeF

p . Pour tout caracte re multiplicatif *deK,G K (*) de signe la somme de Gaussx#K _*(x)` tr KFp (x) p ,ou` p est une racine primitive complexep-ie me de l'unite . Si*est trivial alors la somme de Gauss vaut &1 sinonG K (*) est un nombre complexe de modulepf2 The ore me1.1.Si L est une extension finie de K alors G L (*bN LK )=(&1) [L:K] G K [L:K]. C'est le the ore me de HasseDavenport, voir par exemple [9, 11]. Soitm un entier premier avecptel queKsoit le corps de de composition deX m &1 surF p . Re soudre le proble me des sommes de Gauss d'ordrem, c'est de ter- miner les valeurs des sommes de Gauss pour tous les caracte res multi- plicatifs deKd'ordre divisantm. Lorsque le proble me des sommes de Gauss est re solu pour l'entierm, le the ore me de Davenport-Hasse permet de calculer toutes les sommes de Gauss faisant intervenir un caracte re d'ordremsur une extension quelconque deFp . Le proble me des sommes de Gauss a e te re solu pour des petites valeurs dem, voir [3, 57, 10]. Dans le cas semi-primitif, c'est-a -dire lorsque &1 est dans le sous-groupe de (ZmZ)* engendre parp, le proble me des sommes de Gauss est comple te- ment re solu, voir [12].article no.NT972078 59

0022-314X9725.00

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6 File: 641J 207802 . By:DS . Date:21:03:97 . Time:09:26 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2626 Signs: 1685 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm Proposition1.2.Soit m>3un nombre premier tel que m#3 (mod 4) et tel que p engendre le groupe des re sidus quadratiques modulo m .Si * est un caracte re d'ordre m alors G K (*)=p f2 e \i% , tan(%)=b-m a,0<%2. GROUPE DE GALOIS

On suppose que*est un caracte re d'ordremdeK

x @. Soit` m une racine primitive complexem-ie me de l'unite . Le complexeG K (*) est un entier du corps cyclotomiqueQ(` m p ). Ce corps est une extension Galoisienne deQ de groupe de Galois isomorphe a (ZmZ)*_F _ p . On note_ u,v l'auto- morphisme dont l'action est de finie par_ u,v m u m et_ u,v p v p . Pour chaquetde (ZmZ)*, nous notons_ t au lieu de_ t,1 . Cela e tant, le groupe de Galois agit sur les sommes de Gauss: _ u,v (G K u (v)G K u ),_ p,1 (G K (*))=_ p (G K (*))=G K Ces e galite s montrent que la complexite d'une somme de Gauss de pend a priori de l'indice du groupe engendre parpdans (ZmZ)*. On en de duit aussi, et cela est fondamental, queG K m etG K t&_ t sont deux e le ments deQ(` m

3. THE ORE ME DE STICKELBERGER

Notonsqle cardinal deK.A la chai^ne de corpsQ/Q(`

m )/Q(` q&1 p est associe e une chai^ne d'ide aux premiers (p)/p/P. Le corpsKs'identifie au quotientZ[` q&1 p ]P. L'application| P qui envoie`+Psur`est un caracte re d'ordreq&1 appele caracte re de Teichmuller attache aP.60

PHILIPPE LANGEVIN

File: 641J 207803 . By:DS . Date:21:03:97 . Time:09:26 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2831 Signs: 1784 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm

Posonsk=(q&1)m, le caracte re|

k P est un caracte re d'ordremque nous notons/ P The ore me3.1.Soit a un entier,0aq&1.La valuationP-adique de la somme de Gauss G K &a P )est e gale a la somme des chiffres du de veloppe- ment p-adique de a.L'ide al engendre par G K P m est e gal a(G K P m p s=1m&1 s_ s&1 Ces the ore mes sont du^ s a Stickelberger. Pour la de monstration de ces the ore mes, voir [9, 15]. Notons que si(t)de signe la partie fractionnaire detalorss(a) est aussi e gal a (p&1) f&1 i=0 ((ap i )(q&1)).

4. CALCUL DE NOUVELLES SOMMES

Dans la suite, nous supposons quepetmsatisfont les conditions: (1)m=l r ,lpremier impair,r>0. (2) Le groupe engendre parpest d'indice 2 dans (ZmZ)*. (3)l#3 (mod 4), maisl{3. Nous dirons que (p,m) satisfait les conditions re sidus quadratiques. Sur le champ, (1) implique que (ZmZ)* est cyclique, (2) que la dimensionfde

Kvautl

r&1 ((l&1)2) et (3) que &1 n'est pas re sidu quadratique deF l The ore me4.1.Le nombre de classes d'ide aux deQ(-&l)est donne par: lh=: 0Soitgla somme de Gauss attache e au caracte re/ P . On a l'e galite d'ide aux (g m )=p mt p mt$ , avect$=(f+h)2. Les conditions re sidus quadratiques impliquent que/ P est trivialF p , l'action du groupe de Galois montre que g#Z[` m ]. Commepest d'indice 2 dans (ZmZ)*, nous en de duisons que gest un entier du corps quadratiqueQ(-&l) dont (1,}) est uneZ-base. Il existe deux entiers rationnelsAetBtel queg=A+B}.61

CALCULS DE CERTAINES SOMMES DE GAUSS

File: 641J 207804 . By:DS . Date:21:03:97 . Time:09:26 LOP8M. V8.0. Page 01:01 Codes: 2901 Signs: 1793 . Length: 45 pic 0 pts, 190 mm L'ide al (p) est de compose dans l'anneau des entiers deQ(-&l). En effet, sip=2 alors 2 est un re sidu quadratique modulol, doncl=\1 [8]. De plusl#3 (mod 4), dontl=&1 [8] et on sait que dans ce cas 2 est de compose dansQ(-&l). Sip{2 alors on sait quepest de compose dans Q (-&l) si et seulement si &lest un re sidu quadratique modulop.Or &l p+ &1 p+\ l p+ &1 p+\ p l+ (&1) (l&1)(p&1) 4 &1 p+ (&1) l&1 2p&1 2 =1 Bien su^ r, nous avons utilise la loi de re ciprocite quadratique et les formules comple mentaires. Voir [7, 13]. Soit alors^l'ide al premier deQ-&l) domine parp.OnapZ[}]=^^, ^=p&Z[}],^{^. D'ou l'on tire l'e galite d'ide aux: (g)=(p t h ,en particulierp t diviseAetB. Proposition4.2.Soit * un caracte re d'ordre m.A la conjugaison pre s, G K (*)=p t (a+b}),ou a et b sont deux entiers rationnels comple tement de termine s par les relations (i)p ne divise pas b. (ii) (a,b)est un point de l'ellipse a 2 &ab+b 2 ((l+1)4)=p h (iii) 2a&b=&2p (f+h)2 (modl)et b>0. Preuve.A cause de (3), &1 et 1 sont les seules unite s de l'anneau des entiers deQ(-&l). Il est facile de ve rifier que (i) et (ii) est e quivalent a dire (a+b})=^ k ou (a+b})=^ h . En conse quence, il existe au plus 4 couples d'entiers (a,b) satisfaisant (i) et (ii), une fois choisieb>0, on de termineapar la congruence (iii). Cette dernie re condition est justifie e par les congruences modulol: A+B} l r #2A&B 2#G K m x#K m (x)` l r Tr KFp (x) p #&1.K

5. TRANSITIVITE

Il est facile de ve rifier que si (p,l

r ) est un couple ve rifiant les conditions re sidus quadratiques, avecr>1, alors (p,l r&1 ) ve rifie aussi les conditions re sidus quadratiques. Nous allons montrer comment calculer toutes les sommes de Gauss d'ordre divisantm. Les notations sont inchange esquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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