Partie 1 : Cercle trigonométrique et radian
On définit alors une nouvelle unité d'angle : le radian tel qu'un tour complet mesure 360° ou 2? radians. Définition : On appelle radian
TRIGONOMÉTRIE
I. Radian et cercle trigonométrique. 1) Le radian. Définition : Soit un cercle C de centre O et de rayon 1. On appelle radian noté rad
TRIGONOMÉTRIE (Partie 1)
Définition : On appelle radian noté rad
1S-02-TRIGONOMETRIE-cours.pdf
Sur le cercle trigonométrique de la définition l'angle IOJ mesure 90 degrés
Angles Orientés Trigonométrie
http://vivienfrederic.free.fr/premiereS/chapIII_Trigo_Polaire.pdf
Angles orientés et trigonométrie I. Cercle trigonométrique radian
Radian. ?. Mesure d'un angle orienté. ? mesure principale. ?. Utiliser le cercle trigonométrique
Trigonométrie
Définition 3 : A tout réel x de [0; 2?[ on associe le point M du cercle trigonométrique. La mesure en radians de l'angle ?. AOM est x rad.
CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
On définit alors une nouvelle unité d'angle : le radian tel qu'un tour complet mesure. 360° ou 2? radians. Définition : On appelle radian
1 Le radian : unité de mesure dangle 2 Le cercle trigonométrique
Chapitre : Trigonométrie. Première S. 1 Le radian : unité de mesure d'angle. Définition 1. Soit C un cercle de centre O et de rayon 1.
TRIGONOMETRIE
TRIGONOMETRIE. I. LE RADIAN. Définition : On appelle radian (rad) l'angle au centre qui intercepte sur un cercle de rayon R
èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES02-TRIGONOMÉTRIETRIGONOMÉTRIEPremière-Chapitre 2Table des matières
ILe cercle trigonométrique et le radian2
1)Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2)Longueur d"un arc de cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3)Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4)Enroulement de la droite des réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
IICosinus et sinus d"un réel3
1)Cosinus, sinus et cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2)Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3)cercle trigonométrique et valeurs à connaître. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Polycopié de cours de N. PEYRATP age1 sur5 Lycée Sain t-Charles
1èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES02-TRIGONOMÉTRIEDans tout le chapitre, le plan est muni d"un repère orthonormé(O;⃗ı,⃗ȷ).
ILe cercle trigonométrique et le radian
1) Définition On appellecercle trigonométriquele cercleCde centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi un sens de parcours, ap- pelé lesens direct(sens inverse des aiguilles d"une montre).DÉFINITION 2)Longueur d"un a rcde cercle
La longueur d"un cercle de rayonRest donnée par la formule2πR. Or le cercle trigonométrique a pour rayonR=1, donc sa longueur est de2π. Son demi-cercle a donc pour longueurπet son quart de cercle a pour longueurπ2Ainsi, tout pointMdu cercle trigonométrique peut-être défini par la longueur de l"arc?IM.La longueur d"un arc de cercle et la mesure en degré de l"angle au centre qui l"intercepte sont propor-
tionnelles.Mesure de l"angle au centre36018090450Longueur de l"arc intercepté2πππ
2π40PROPRIÉTÉ
Simple proportionnalité.DÉMONSTRATION
3)Le radian
SoitCun cercle trigonométrique de centreOdans un repère(O;I;J). Leradian(symbole : rad) est la mesure d"un angle au centre qui intercepte sur le cercleCun arc de longueur1.DÉFINITION Sur le cercle trigonométrique de la définition, l"angle ?IOJmesure90degrés, mais aussiπ2 radians.EXEMPLEPolycopié de cours de N. PEYRAT
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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES02-TRIGONOMÉTRIE4)Enroulement de la droite des réelsSoitdla tangente àCau pointI(1;0).
Alors tout pointNdedest repéré par un unique réelx. (dpeut être assimilée à un axe gradué) En enroulant la droitedsur le cercleC, on associe à tout réelxun uniquepointM(x)du cercleCet on dit quexest une mesure de l"angle?IOM.Sur un cercle trigonométrique, placer les pointsI(0),J?π2
?,K(π),L?3π2 ?,M(2π),N?-π2P?-3π4
?.EXEMPLEPour tout réelxet pour tout entier relatifk, les pointsM(x)etM′(x+k×2π)du cercle trigonométrique
sont confondus.PROPRIÉTÉLa longueur du cercle trigonométrique étant égale à2π, le résultat est immédiat.DÉMONSTRATION
Dans l"exemple précédent,IetMsont confondus, etNetLsont confondus.EXEMPLE IICosinus et sinus d"un réel
1)Cosinus, sinus et cercle trigonométrique SoitCle cercle trigonométrique de centre O dans un repère orthonormé
direct(O;⃗ı,⃗ȷ).Soitxun réel etMle point deCassocié àx.
On appellecosinusdexetsinusdex, notéscosxetsinx, l"abscisse et l"ordonnée deMdans le repère(O;⃗ı,⃗ȷ). On le note :M(cosx;sinx), ou encore :??→OM=cosx×⃗ı+sinx×⃗ȷ.DÉFINITION 2)Prop riétés
Pour tout réelx,-1⩽cosx⩽1et-1⩽sinx⩽1PROPRIÉTÉPolycopié de cours de N. PEYRAT
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1èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES02-TRIGONOMÉTRIEcos(x)est l"abscisse d"un pointMdu cercle trigonométrique, cercle dont le centre estOet le rayon
vaut1. Quelle que soit la position du pointMsur ce cercle, cette abscisse varie donc de-1à1, donc on a bien pour tout réelx,-1⩽cos(x)⩽1. Même raisonnement poursin(x), qui est l"ordonnée d"un point de ce cercle.DÉMONSTRATIONPour tout réelx,cos2x+sin2x=1PROPRIÉTÉ
Six??0;π2
?, alors d"après le théorème de Pythagore dans le triangleOMH, oùHest le point de[OI] tel que(MH)?(OI), on aOM2=OH2+HM2, donc12=cos2(x)+sin2(x), soitcos2(x)+sin2(x)=1. On admet le résultat pour les autres valeurs dex.DÉMONSTRATION ? ?x?R,sin(-x)=-sinx. ? ?x?R,cos(-x)=cosx. ? ?x?R,cos(x+k×2π)=cos(x)etsin(x+k×2π)=sin(x).PROPRIÉTÉ Par considération géométrique sur le cercle trigonométrique.DÉMONSTRATIONPour tout réelx:
sin?π2 -x?=cosx;cos?π2 -x?=sinx;sin?π2 +x?=cosx;cos?π2 +x?=-sinx Par considération géométrique sur le cercle trigonométrique.DÉMONSTRATION 3) cercle trigonométrique et valeurs à conn aître x0π 6π 4π 3π2π3π22πsinx01
2⎷2
2⎷3
210-10
cosx1⎷32⎷2
2120-101
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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES02-TRIGONOMÉTRIEDémonstration pour π4 SoitABCDun carré de côté de longueura, avecaun réel strictement positif. 1.Déterminer la mesure en ra diandes angles
?BACet?BCA. 2.Déterminer en foncti onde ala longueurAC.
3.En d éduirela v aleurexacte de sin?π4
?et decos?π4Démonstration pour
π3 etπ6SoitABCun triangle équilatéral de côté de longueura, avecaun réel strictement positif, et soitHle
pied de la hauteur du triangle issue deA. 1.Déterminer la mesure en ra diandes angles
?ABHet?BAH. 2.Déterminer en foncti onde ala longueurAH.
3.En d éduirela v aleurexacte de sin?π3
?,cos?π3 ?,sin?π6 ?etcos?π6 ?.DÉMONSTRATIONSPolycopié de cours de N. PEYRAT
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