[PDF] 1 Le radian : unité de mesure dangle 2 Le cercle trigonométrique

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Chapitre : TrigonométriePremière S

1 Le radian : unité demesure d"angle

Définition 1.SoitC un cercle de centreO et de rayon 1. Un radian est la mesure d"un angle au centre qui intercepte unarc de longueur 1 du cercle. La mesure en radians d"un angle au centre est donc la longueurde l"arc que l"angle intercepte sur le cercleC. Propriétés 1.La mesure d"un angle en radians est proportionnelleà sa mesure en degrés.

Tableau de proportionnalité :

mesure de l"angle en degré360°180°90°60°45°30°...x° longueur de l"arc du cercle trigono- métrique2πππ 2 3 4

6...x×π

180
mesure de l"angle en radian2πππ 2 3 4

6...x×π

180
?=1 1rd ??A 11

2 Le cercle trigonométrique

On oriente les cercles du plan en choisissant un sens positif(ou direct) : le sens positif est le sens

contraire des aiguilles d"une montre.

613π6

49π4

37π3

25π2

-π611π6 -π47π4 -π35π3 -π23π2 2π 3 3π 4 5π 6 -π,π0,2π 5π 6 3π 4 2π 3 O?

Notes de cours : Ph DEPRESLEPage 1 sur9

Chapitre : TrigonométriePremière S

Définition 2.

Un cercle trigonométrique est un cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est orienté dans le sens direct (on dit aussi le sens positif). La longueur du cercle trigonométrique est 2π La longueur du quart de cercle trigonométrique estπ 2 2 1

3 Mesures d"un angle orienté de deux vecteurs

3.1 Mesures

Définition 3.

Soient#»u,#»v deux vecteurs non nuls du plan. L"angle orienté des vecteurs#»u et#»v est le couple(#»u,#»v).

Pour mesurer cet angle on se place dans un cercle trigonométriqueCde centreO. N M u? v M

0αN

0 ?O Il existe deux pointsMetNuniques tels que#»u=# »OMet#»v=# »ON. On appelleM0etN0les intersections du cercle et des demi-droites [OM) et [ON) .

Une mesureαde (#»u,#»v) est la longueur d"un trajet deM0àN0sur le cercleC, affecté d"un signe + si

le sens du parcours est le sens direct, d"un signe - si le sens du parcours est le sens indirect.

Propriétés 2.Siαest une mesure de l"angle orienté?#»u,#»v?, alors l"ensemble des mesures de?#»u,#»v?est

l"ensemble des nombresα+k2π,k?Z

On note

?#»u,#»v?=α+k2πles mesures de l"angle orienté?#»u,#»v?

Ainsi dans la figure ci-contre :

# »CB,# »CA?

3+k2π;?# »BC,# »BA?

=-π6+k2π?# »AB,# »AC?

2+k2π,k?Z

30°?

B

A?C? ?

Remarque :

?# »AB,# »AC? =-?# »AC,# »AB?

Notes de cours : Ph DEPRESLEPage 2 sur

9

Chapitre : TrigonométriePremière S

3.2 Mesure principale

Définition 4.#»u et#»v étant deux vecteurs non nuls du plan, il existe une unique mesure de l"angle

orienté?#»u,#»v?appartenantà l"intervalle]-π,π]. Cette mesureest appelée mesureprincipalede l"angle?#»u,#»v?.

Cette mesure correspond au trajet le plus court deM0àN0sur le cercle.

3.3 Vecteurscolinéaires

Les vecteurs

#»uet#»vnon nuls sont colinéaires si et seulement si?#»u,#»v?=0+k2πouπ+k2π,k?Z

ABCalignés si et seulement si?# »AB,# »AC? =kπ,k?Z (AB)??(CD) si et seulement si?# »AB,# »CD? =kπ,k?Z

3.4 Vecteursorthogonaux

Les vecteurs

#»uet#»vnon nuls sont orthogonaux si et seulement si?#»u,#»v?=π

2+kπ,k?Z

4 Mesure d"un angle géométrique

4.1 Définition

Définition 5.Soit A,P et Q trois points distincts deux à deux. Siαest la mesure principale de l"angle

orienté(# »AP,# »AQ), alors la mesure en radians de l"angle géométrique PAQ est|α|.

La mesure en radians d"un angle géométriqueest comprise entre 0 etπ.

5 Cosinus et Sinus

5.1 Définition

Définition 6.Dans le plan muni d"un repère orthonormé di- rect(O,#»i,#»j), onconsidèrelecercletrigonométriquedecentre O. A tout réelαon associe le point M sur le cercle tel queαsoit une mesure de l"angle(#»i,# »OM). cosαest l"abscissede M sinαest l"ordonnée de M

On note M(cosα,sinα)

sinα cosαα ?O? A? M

Propriétés 3.?α?R,-1?cosα?1

α?R,-1?sinα?1

α?R,sin2α+cos2α=1

Définition 7.Le cosinus et le sinus d"un angle orienté sont respectivement le cosinus et le sinus d"une

mesure quelconquede cet angle.

Notes de cours : Ph DEPRESLEPage 3 sur

9

Chapitre : TrigonométriePremière S

5.2 Lesvaleursremarquables

α0π

6 4 3 2 sinα01 2 ?2 2 ?3 21
cosα1 ?3 2 ?2 2 1 20

5.3 Configuration du rectangle

-xπ-x

π+x

O?A(0)

?B(π2) ?M?

5.4 Configuration du triangle

MetM?sont symétriques par rapport à la 1erebissectrice d"équationy=x.

Donc cos?π

2-x? =sinx sin 2-x? =cosx. M ?etM??sont symétriques par rapport à l"axe des ordon- nées.

Donc cos?π

2+x? =-cos?π2-x? =-sinx sin 2+x? =sin?π2-x? =cosx.

M??(π2+x)M?(π2-x)

M(x) O

Notes de cours : Ph DEPRESLEPage 4 sur9

Chapitre : TrigonométriePremière S

5.5 Équations

Exemples :

1. Résoudre cosx=-?

3 2 cosx=-? 3 2

6+k2π

ou x=-5π

6+k2π,k?Z

5π 6 5π 6 -?3 2

2. Résoudre sin3x=12

sin3x=1 2

6+k2π

ou

3x=π

6+k2π,k?Z

?x=5π

18+k2π3ou

x=π

18+k2π3,k?Z

5π

6π6

1 2

Les solutions dans l"intervalle [0,2π] sont :

S [0,2π]=?π

Celles dans l"intervalle [-π,π] sont :

S -11π

Notes de cours : Ph DEPRESLEPage 5 sur

9

Chapitre : TrigonométriePremière S

6 EXERCICES : Les exercices de base

1. Déterminer :

a. sin?2π 3? b. cos?5π6? c. sin?7π6? d. sin 4? e. cos?4π3? f. sin? -3π2?

2. Sachant quex??π

2,π?

(a) Déterminer cosxsachant que sinx=? 3 3 (b) Déterminer sinxsachant que cosx=-1 2

3. Résoudre sur [-π,π] :

a. cosx=-? 2

2b. sinx=12c.-cosx=-?

3

2d. sinx=-?

2 2

4. Résoudre sur [-π,3π] :

a. cosx=? 2

2b. sinx=-12c. cosx=-?

3

2d. sinx=?

3 2

5. Résoudre sur [-π,π] :

a. cos 2x=1

2b. 4sin2x-3=0 c. cos?

x-π4? 3 2

6. Résoudre sur [-π,π] :

a. cosx?1

2b. sinx?0 c. sinxcosx?0

Notes de cours : Ph DEPRESLEPage 6 sur

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Chapitre : TrigonométriePremière S

7 EXERCICES : Les exercices de base(corrigés)

1. a. sin

?2π 3? =sin?

π-π3?

=sin?π3? 3 2 b. cos?5π 6? =cos?

π-π6?

=-cos?π6? 3 2 c. sin?7π 6? =sin?

π+π6?

=-sin?π6? =-12 d. sin? 4? =-sin?π4? 2 2 e. cos?4π 3? =cos?

π+π3?

=-cos?π3? =-12 f. sin? -3π 2? =-sin?3π2? =-sin?

π+π2?

=sin?π2? =1quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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