Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si
Nov 6 2017 Que représente le point G pour le triangle ABC ? EXERCICE 23. Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;?
ABCD est un parallélogramme donc ?= ? On note ; les
mathsbdp.fr. Vecteurs translation. Ex1. Dans un repère orthonormé (O I
VECTEURS ET REPÉRAGE
Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ?et ? sont Déterminer les coordonnées du point tel que soit un parallélogramme.
Calcul vectoriel – Produit scalaire
Règle du parallélogramme : AB + AC = AD avec D tel que ABDC soit un paral- Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O I
Distance de deux points dans un repère orthonormal
Si le parallélogramme ABCD a un angle droit ABCD est un rectangle. Pour démontrer que l'angle  est droit
calcul de laire dun parallélogramme en fonction des coordonnées
Il est possible de calculer l'aire d'un parallé- logramme en le plaçant dans un repère et en n'utilisant que les coordonnées de deux de ses sommets.
Outils de démonstration
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont de même longueurs alors c'est un parallélogramme. Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors ce.
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE
Fig. 1. Parallélogramme engendré par deux vecteurs. déterminant et aire ne persiste tel quel que dans les bases orthonormées. Exemple 1.2.
LES VECTEURS
Le quadrilatère non croisé ABDC est donc un parallélogramme Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ? et ? sont de norme 1.
Démontrer quun point est le milieu dun segment Démontrer que
sont des parallélogrammes particuliers.) ABCD est un parallélogramme donc ses diagonales. [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.
Jacques Feyder d'Epinay-sur-Seine (93)
enseignants : Marc Anquetil, Jean-PierrePerrin
chercheur : François Parreau Il est possible de calculer l'aire d'un parallé- logramme en le plaçant dans un repère, et en n'utilisant que les coordonnées de deux de ses sommets.On obtient alors une formule simple qui peut s'appliquer à tous les parallé- logrammes dont un autre des sommets est placé à l'origine.Première méthode.
Par différentes translations des côtés du parallélogramme étudié, on obtient un rec- tangle de même aire, mais dont deux des côtés reposent sur les axes du repère.En trouvant les intersections Met Nque font
les droites (AC) et (BN) avec les axes (Ox) et (O y) du repère, on pourra calculer l'aire du rectangle qui sera aussi celle de notre parallé- logramme. Posons M(x, 0) et N(0, y). En utilisant la règle du parallélogramme (i.e.OC=OA+OB), on peut exprimer les coordonnées du point Cen fonction de a, b, cet d: xC= a+ cet yC= b+ d. Cherchons à présent à exprimer les coeff i- cients directeurs des droites (A C) et (A M) afin de trouver x. Le coefficient directeur de (AC) est : et celui de (AM) : OA(a, b)
B(c, d)
x yC(xC , yC)C(xC , yC) OA(a, b)
B(c, d)
x yC(xC , yC)
OA(a, b)
B(c, d)
x y M N yC Ð b xC Ð a b a Ð x page 135ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997
O r, comme A, Cet Msont alignés, on peut
poser l'égalité de ces coefficients directeurs : (yCÐ b)(aÐ x) = b(xCÐ a)En isolant x, on obtient :
ayCÐ xyCÐ ab+ bx= bxCÐ ab ayCÐ bxC= xyCÐ bx ayCÐ bxC= x(yCÐ b)D'où :
En remplaçant xCet yCpar les valeurs précé- demment trouvées, on obtient :Les coordonnées des points Met Nsont donc
D'où :
• On peut ainsi calculer les longueurs OMetON: OM= | x| et ON= | d| ;
• L'aire du parallélogramme OACBpeut donc être exprimée par le produit de ces deux lon- gueurs : AP= | x´d|.Et en remplaçant xpar sa valeur, on obtient : AP= | adÐ bc|.Deuxième méthode.
Toujours en translatant le parallélogramme
par deux fois pour le coller aux axes du repè- re, on obtient le rectangle de même aire :OMLN. Seulement, on ne connaît pas la lon-
gueur OM.En calculant l'aire du
grand rectangle O Q P N et en lui ôtant l'aire de la bande L P Q M, on obtient aussi l'aire deO M L N, soit l'aire du
p a r a l l é l o g r a m m e .Or on connaît l'aire de OQPNqui est AOQPN=ad. Il reste maintenant à lui ôter celle de LPQM, que nous appellerons M', et que nous allons calculer.Posons M=A' + A+C' et M' = A+A' + C.
Comme la diagonale (MS)
du parallélogramme LSRM coupe celui-ci en deux moitiés égales, on a :B' + C' + A' = A+ B+ C.
Or A' = Aet B' = B.Donc
C' = C.Ainsi M' = Met comme M=bc,M'
(qui est l'aire de LPMQ) est aussi égale à bc.Enfi, comme AP= AO Q P NÐ AL P Q M, on
obtient : AP= adÐ bc. yC Ð b xC Ð a = b a Ð x x = a yC Ð b xC yC Ð b x = a yC Ð b xC yC Ð b a b + d Ð b a + c b + d Ð b a b + a d Ð a b Ð b c d x = a d Ð b c d M a d Ð b c d ; 0 et N (0, d). OM a d Ð b c d 0 et ON 0 d. OM = a d Ð b c dC(xC , yC)
OA(a, b)
B(c, d)
x y M N QR PS L MQR SPA(a, b)
A A'C C' B B' d c b page 136ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997
Troisième méthode.
Cette méthode plus géométrique permet
directement de donner la formule du parallé- logramme.En calculant l'aire du
grand rectangle (AG) passant par les som- mets du parallélo- gramme, et en luiôtant les aires des
petits triangles et rec- tangles, on obtient l'aire APde notre parallélogramme passant par les points A, Bet C.Soit l'aire du grand rectangle :
AG= ( a+ c)(b+ d)
La formule des deux rectangles et des quatre
triangles est : 2 bc+ cd+ ab. Ainsi :AP= AGÐ (2 b c + c d + ab)
= ( a+ c)(b+ d) Ð 2 bcÐ cdÐ ab = ab+ ad+ bc+ cdÐ 2 bcÐ cdÐ abAP= adÐ bc.
OA(a, b)
B(c, d)
x y Nb d ac page 137ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997
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