Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si
Nov 6 2017 Que représente le point G pour le triangle ABC ? EXERCICE 23. Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;?
ABCD est un parallélogramme donc ?= ? On note ; les
mathsbdp.fr. Vecteurs translation. Ex1. Dans un repère orthonormé (O I
VECTEURS ET REPÉRAGE
Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ?et ? sont Déterminer les coordonnées du point tel que soit un parallélogramme.
Calcul vectoriel – Produit scalaire
Règle du parallélogramme : AB + AC = AD avec D tel que ABDC soit un paral- Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O I
Distance de deux points dans un repère orthonormal
Si le parallélogramme ABCD a un angle droit ABCD est un rectangle. Pour démontrer que l'angle  est droit
calcul de laire dun parallélogramme en fonction des coordonnées
Il est possible de calculer l'aire d'un parallé- logramme en le plaçant dans un repère et en n'utilisant que les coordonnées de deux de ses sommets.
Outils de démonstration
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont de même longueurs alors c'est un parallélogramme. Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors ce.
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE
Fig. 1. Parallélogramme engendré par deux vecteurs. déterminant et aire ne persiste tel quel que dans les bases orthonormées. Exemple 1.2.
LES VECTEURS
Le quadrilatère non croisé ABDC est donc un parallélogramme Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ? et ? sont de norme 1.
Démontrer quun point est le milieu dun segment Démontrer que
sont des parallélogrammes particuliers.) ABCD est un parallélogramme donc ses diagonales. [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frLES VECTEURS
I. Translation
Exemple :
B80m Une translation est un glissement :
A - avec une direction donnée : câble du téléphérique, la droite (AB), - avec un sens donné : le téléphérique monte de A vers B, - avec une longueur donnée :80m, longueur AB
On dit que : Le téléphérique T' est l'image du téléphérique T par la translation qui
transforme A en B.Définition :
Soit P et P' deux points distincts du plan.
On appelle translation qui envoie P sur P' la transformation dont l'image F' d'une figure F est obtenue en faisant glisser la figure F : - selon la direction de la droite (PP'), - dans le sens de P vers P', - d'une longueur égale à PP'. Méthode : Construire l'image d'une figure par une translationVidéo https://youtu.be/8Jb9cMOeYSk
Soit t la translation qui transforme A en A'.
Construire l'image B'C'D'E' du trapèze BCDE par la translation t.T ' T P P' F F'
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frII. Vecteurs
1. Définition :
Définition :
Soit t la translation qui envoie A sur A', B sur B' et C sur C'. Les couples de points (A ; A'), (B ; B') et (C ; C') définissent un vecteur caractérisé par : - une direction : celle de la droite (AA'), - un sens : de A vers A', - une longueur : la longueur AA'. On note í µí±¢âƒ— ce vecteur et on écrit : í µí±¢âƒ— = í µí µâ€²On dit que í µí µâ€²
est un représentant de í µí±¢âƒ—. et í µí µâ€² sont également des représentants de í µí±¢âƒ—.3 sur 19
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Remarque : La longueur d'un vecteur est aussi appelée la norme du vecteur. " vecteur » vient du latin " vehere » (conduire, transporter) Le mot a été introduit en 1925 et la notation í µí µ en 1920. A l'origine des vecteurs, un italien, Giusto Bellavitis (1803-1880) qui les désignait comme segments équipollents.2. Égalité de vecteurs
Définition :
Les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur.On note í µí µ
Exemple :
Ci-dessous, on peut poser : í µí±¢âƒ— = í µí µ et í µí µ sont des représentants du vecteur í µí±¢âƒ—.Propriété du parallélogramme :
Soit A, B, C et D quatre points deux à deux distincts.Dire que les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont égaux revient à dire que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.Démonstration :
- Si í µí µ , la translation de vecteur í µí µ transforme le point C en D. Les segments [AB] et [CD] ont donc même longueur et même direction. Le quadrilatère non croisé ABDC est donc un parallélogramme éventuellement aplati. - Réciproquement : Les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles et de même longueur donc les vecteurs í µí µ et í µí µ , définis à l'aide des segments [AB] et [CD] d'un parallélogramme ABDC, sont égaux.B A D C D C B A
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Construire un point défini à partir de vecteursVidéo https://youtu.be/zcQPz4dfnn0
A partir du parallélogramme ABCD, construire les points E, F, G et H tels que :Propriété du milieu :
Dire que B est le milieu du segment [AC] revient à dire que í µí µ et í µí µ sont égaux. Exercice : Utiliser des propriétés sur les vecteurs :Vidéo https://youtu.be/XokpP_8mTOE
3. Vecteur nul
Définition :
Un vecteur í µí µ
est nul lorsque les points A et B sont confondus.On note : í µí µ
= 0Remarque : Pour tout point M, on a : í µí µ
= 04. Vecteurs opposés
Il ne faut pas confondre sens et direction !
Une droite définit une direction, ci-dessous la direction de la droite (AB). Cependant une direction possède deux sens, ici de " A vers B » ou de " B versA ».
A B H A G B D C F EA D B C
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinition :
Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et qu'ils sont de sens contraire. et í µí µ sont des vecteurs opposés.On note í µí µ
III. Somme de vecteurs
1. Définition
Exemple :
Soit t
1 la translation de vecteur í µí±¢âƒ— et t 2 est la translation de vecteur í µâƒ—.Appliquer la translation t
1 puis la translation t 2 t 1 t 2M M
1 M 2 revient à appliquer la translation t de vecteur í µí±¢í±¢âƒ— : tM M
2Propriété :
La composée (ou l'enchaînement) de deux translations est une translation.Définition :
í µí±¢âƒ— et í µâƒ— sont deux vecteurs quelconques.On appelle somme des vecteurs í µí±¢âƒ— et í µâƒ—, notée í µí±¢âƒ— + í µâƒ—, le vecteurí µí±¢í±¢âƒ— associé à la
translation composée des translations de vecteurs í µí±¢âƒ— et í µâƒ—.2. Une relation fondamentale
La relation de Chasles :
Pour tous points A, B et C du plan, on a : í µí µ6 sur 19
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frRemarque :
Dans le triangle ABC, on a également les relations : í µí µ Michel Chasles (Fr, 1793-1880) : La relation n'est pas de lui, mais nommée ainsi en hommage à ses travaux sur les vecteurs. Homme naïf, on raconte qu'il fut ruiné en achetant de fausses lettres (Jeanne d'arc à sa mère, Vercingétorix à César,...) ! Méthode : Appliquer la relation de Chasles (non exigible)Vidéo https://youtu.be/fbVrdYiY0qc
Simplifier les écritures :
a) í µí µ b) í µí µ c) í µí µ d) í µí µ e) í µí µ f) í µí µ a)í µí µ b) í µí µ c) í µí µ d) í µí µ e) í µí µ f) í µí µ = 0 = 0 = 03. Conséquence :
Propriété caractéristique du parallélogramme : Dire que ABCD est un parallélogramme revient à dire que í µí µDémonstration :
D'après la relation de Chasles, l'égalité í µí µ peut s'écrire :Soit í µí µ
soit encore : ABCD est un parallélogramme.B A C D
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr4. Différence de deux vecteurs
Définition :
í µí±¢âƒ— et í µâƒ— sont deux vecteurs quelconques.On appelle différence du vecteur í µí±¢âƒ— avec le vecteur í µâƒ—, le vecteur noté í µí±¢âƒ— - í µâƒ—, tel
que : í µí±¢âƒ— - í µâƒ— = í µí±¢âƒ— + (-í µâƒ—). Méthode : Construire un point défini à partir d'une somme de vecteursVidéo https://youtu.be/nzABUzFM6p8
Soit un triangle ABC.
Construire le point F tel que í µí µ
On construit à partir de A (origine de í µí µ ) le vecteur í µí µ en mettant " bout à bout » les vecteurs í µí µ et í µí µOn a ainsi construit un vecteur í µí µ
et donc le point F.IV. Produit d'un vecteur par un réel
1. Définition
C A B8 sur 19
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frExemple :
Soit í µí±¢âƒ— un vecteur du plan.
Appliquer 5 fois la translation de vecteur í µí±¢âƒ— revient à appliquer la translation de vecteurí µí±¢í±¢âƒ— = í µí±¢âƒ— + í µí±¢âƒ— + í µí±¢âƒ— + í µí±¢âƒ— + í µí±¢âƒ— = 5í µí±¢âƒ—
Remarques :
- Les vecteurs 5í µí±¢âƒ— et í µí±¢âƒ— ont la même direction et le même sens.- La norme du vecteur 5í µí±¢âƒ— est égale à 5 fois la norme du vecteur í µí±¢âƒ—.
Définition :
í µí±¢âƒ— est un vecteur quelconque différent de 0 et k un nombre réel non nul.On appelle produit du vecteur í µí±¢âƒ— par le réel k, le vecteur noté kí µí±¢âƒ— :
- de même direction que í µí±¢âƒ—, - de même sens que í µí±¢âƒ— si k > 0 et de sens contraire si k < 0, - de norme égale à : k fois la norme de í µí±¢âƒ— si k > 0, -k fois norme de í µí±¢âƒ— si k < 0.Remarque :
Si í µí±¢âƒ— = 0
ou k = 0 alors kí µí±¢âƒ— = 0Exemples :
Les vecteurs í µí±¢âƒ—, 1,5í µí±¢âƒ— et -3í µí±¢âƒ— ont la même direction.
í µí±¢âƒ— et 1,5í µí±¢âƒ— sont de même sens. í µí±¢âƒ— et -3í µí±¢âƒ— sont de sens contraire. La norme du vecteur 1,5í µí±¢âƒ— est égale à 1,5 fois la norme de í µí±¢âƒ—. La norme du vecteur -3í µí±¢âƒ— est égale à 3 fois la norme de í µí±¢âƒ—.2. Construction
Méthode : Représenter un vecteur défini comme produit et somme de vecteursVidéo https://youtu.be/1C6KEwbO-b8
1) Soit deux vecteurs í µí±¢âƒ— etí µâƒ—.
Représenter les vecteurs suivants :
2í µí±¢âƒ—, -í µâƒ—, 2í µí±¢âƒ— - í µâƒ—.
í µí±¢âƒ— 1,5 í µí±¢âƒ— -3í µí±¢âƒ— í µí±¢âƒ— kí µí±¢âƒ— kí µí±¢âƒ— k > 0 : k < 0 : í µí±¢âƒ— í µâƒ—
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr2) Soit trois points A, B et C.
Représenter le vecteur í µí µ
- 3í µí µ 1)Pour représenter le vecteur 2í µí±¢âƒ—, on place bout à bout deux vecteurs í µí±¢âƒ—.
Pour représenter le vecteur -í µâƒ—, on représente un vecteur de même direction et même longueur que í µâƒ— mais de sens opposé.Pour représenter le vecteur 2í µí±¢âƒ— - í µâƒ— ou 2í µí±¢âƒ—+ (-í µâƒ—), on place bout à bout les
vecteurs 2í µí±¢âƒ— et -í µâƒ—.Dans " le chemin » de vecteurs ainsi construit, le vecteur 2í µí±¢âƒ— -í µâƒ— a pour origine
l'origine du vecteur 2í µí±¢âƒ— et pour extrémité, l'extrémité du vecteur -í µâƒ—.
On obtiendrait le même résultat en commençant par placer le vecteur -í µâƒ— et ensuite le vecteur 2í µí±¢âƒ—. 2)Pour représenter le vecteur í µí µ
-3í µí µ ou í µí µ + (-3í µí µ ), on place bout à bout les vecteurs í µí µ et -3í µí µ Méthode : Construire un point vérifiant une égalité vectorielleVidéo https://youtu.be/JxYpPE6iPEA
1) Soit deux vecteurs í µí±¢âƒ— et í µâƒ— et un point O du plan.
Construire le point A tel que í µí µ
= 3í µí±¢âƒ— -í µâƒ—.B C A B C A í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ— -3í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ— í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ—-3í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ— í µí±¢âƒ— í µâƒ— O
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr2) Soit trois points A, B, C du plan.
Construire le point M tel que í µí µ
+ 3í µí µ 1)Pour représenter le vecteur í µí µ
= 3í µí±¢âƒ— - í µâƒ—, on place bout à bout à partir du point O les vecteurs 3í µí±¢âƒ— et -í µâƒ—.Le point A se trouve à l'extrémité du vecteur -í µâƒ— dans " le chemin » de vecteurs
ainsi construit. 2)Pour représenter le vecteur í µí µ
+ 3í µí µ , on place bout à bout à partir de A les vecteurs -í µí µ et 3í µí µ Le point M se trouve à l'extrémité du vecteur 3í µí µ dans " le chemin » de vecteurs ainsi construit. Méthode : Exprimer par lecture graphique un vecteur en fonction d'autres vecteursVidéo https://youtu.be/ODZGKdIKewo
A C B M A C B í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ— = -í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ— + 3í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ— 3í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ— -í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ—
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPar lecture graphique, exprimer le vecteur í µí±¢âƒ— en fonction des vecteurs í µâƒ— et í µ
On construit " un chemin » de vecteurs í µâƒ— et í µ mis bout à bout reliant l'origine et l'extrémité du vecteur í µí±¢âƒ—. On compte ainsi le nombre de vecteurs í µâƒ— et í µ formant " le chemin ». í µí±¢âƒ— = 3í µâƒ— + 3í µV. Notion de colinéarité
1. Définition
Définition :
Deux vecteurs non nuls í µí±¢âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires signifie qu'ils ont même direction
c'est à dire qu'il existe un nombre réel k tel que í µí±¢âƒ— = kí µâƒ—.Remarque :
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.Exemple :
í µâƒ— = -3í µí±¢âƒ— í µí±¢âƒ—et í µâƒ— sont colinéaires. Méthode : Démontrer que des vecteurs sont colinéairesVidéo https://youtu.be/FjUbd9Pbhmg
On donne í µí±¢âƒ— un vecteur du plan. Soit un vecteur í µâƒ— tel que -4í µí±¢âƒ— + 3í µâƒ— = .
Démontrer que les vecteurs í µí±¢âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires. 0í µí±¢âƒ— í µâƒ— = -3í µí±¢âƒ— í µí±¢âƒ— í µí±¢âƒ— í µâƒ—
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr -4í µí±¢âƒ— + 3í µâƒ— = 0 -4í µí±¢âƒ— = -3í µâƒ—Il existe un nombre réel k =
tel que í µâƒ— = kí µí±¢âƒ—. Donc í µí±¢âƒ— et í µâƒ— sont donc colinéaires.2. Applications
Propriétés :
1) A, B, C et D étant quatre points deux à deux distincts du plan.
Dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles revient à dire que les vecteurs í µí µ et í µí µ sont colinéaires.2) Dire que les points distincts A, B et C sont alignés revient à dire que les
vecteurs í µí µ et í µí µ sont colinéaires.3. Transformations et vecteurs
Propriétés :
1) Si une symétrie centrale transforme A en A' et B en B' alors : í µâ€²í µâ€²
2) Si une homothétie de rapport í µ transforme A en A' et B en B' alors : í µâ€²í µâ€²
VI. Repère du plan
Trois points distincts deux à deux O, I et J du plan forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les unités OI et OJ permettent de graduer les axes (OI) et (OJ).Si on pose í µâƒ— = í µí µ
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