[PDF] Résultats clé sur les IFS et le jeu du chaos

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Pour en savoir un peu plus sur les fractales, les IFS et le jeu du chaos Préparation de " Les fractales, des maths de toute beauté! » Geneviève Savard, École de technologie supérieure

Septembre 2009

...................................................................................................................... 2

Machines à réductions multiples ou IFS .............................................................................................. 3

Propriétés des machines à réductions multiples (ou IFS) ........................................................ 5

Exemple classique de fractale : le Tapis de Sierpinski (1915) ................................................. 6

Exemple spectaculaire : la fougère de Barnsley (1988) ........................................................... 6

.......................................................................... 7

Comment reproduire une image générée par un IFS inconnu ou une création de Dame Nature? ....... 8

Comment apporter des ajustements à une image? ................................................................. 13

............................................................................ 14

Brève description du programme IFS Construction Kit .................................................................... 15

Quelques raccourcis clavier ................................................................................................... 18

.................................................................................................... 19

Impression .............................................................................................................................. 20

....................................................................................................... 21

Le jeu du chaos .................................................................................................................................. 26

Quelques faits importants sur le jeu du chaos ........................................................................ 27

Le jeu du chaos avec IFS Construction Kit ............................................................................ 30

Démonstration de 3 propriétés des IFS (pour matheux avertis!) ....................................................... 31

Bibliographie ...................................................................................................................................... 32

G. Savard 2 septembre 2009

activité Les fractales, des maths de toute beauté! secondaire venus Au fil des années, nous avons nt légèrement, elle pouvait aussi intéresser des cégépiens ou des élèves de 6e année du primaire. , la présence de coanimateurs

qui connaissent un peu le logiciel utilisé (environ une heure ou deux de familiarisation) est

souhaitable. Ces coanimateurs sont en général des étudiants en génie et des professeurs de

sciences ou de mathématiques : . Le présent texte, destiné aux plus curieux, se veut un information sur les systèmes de , accompagné le logiciel utilisé.

Déroulement

Accueil et brève présentation des fractales : 10 à 15 min. -ale? Applications? Comment créer des fractales? Introduction au logiciel IFS Construction Kit : 5 min. Création de fractales par les jeunes en équipe de deux : 30 à 90 min.

G. Savard 3 septembre 2009

Machines à réductions multiples ou IFS

Tel un photocopieur, une machine à réductions multiples (Multiple Reduction Copy Machine ou MRCM)

crée une image de sortie Cependant, elle lus

petit et à plusieurs endroits sur la feuille. qui en résulte est donc la superposition de contractions

possiblement déformées initiale (par des symétries, rotations ou étirements).

N.B. En mathématiques, on utilise la terminologie IFS, pour Iterated Function System (système de fonctions itérées)

plutôt que celle de machine à réductions multiples. La théorie des IFS fut développée par Jonh Hutchinson en 1981.

images initiales.

G. Savard 4 septembre 2009

Avec les pentagones :

G. Savard 5 septembre 2009

Propriétés des machines à réductions multiples (ou IFS) porte à croire que les IFS possèdent les caractéristiques suivantes.

1. ar la machine semble tendre vers la même image

Analogie avec le bol : peu importe la position initiale de la bille, celle-ci se stabilisera toujours à la même

position dans l

position rouge; la position finale (en rouge) ne dépend que de la forme du bol et non de la position initiale de la

bille. Certains récipients originaux peuvent avoir 2 " creux systèmes dynamiques.

2. L-la L : quand on donne L comme

entrée à la machine, celle-ci nous retourne exactement la même image à la sortie.

3. image limite L est autosimilaire : chaqu

Ces observations ne sont pas trompeuses. On peut démontrer rigoureusement chacune des trois propriétés

(voir page 31). L L

G. Savard 6 septembre 2009

Exemple classique de fractale : le Tapis de Sierpinski (1915) itératif de " fabrication . On le décrivait par retraits

successifs : à chaque étape, on découpe un triangle au centre de chacun des petits triangles

précédente. Exemple spectaculaire : la fougère de Barnsley (1988)

En 1988, avec sa fameuse image de fougère produite par un IFS à 4 transformations, Michael Barnsley1

popularisa le quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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