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DŽcouper au laser son tapis de Sierpiński

Aurélien Alvarez

Sortons des sentiers battus

En 2018 ouvrira le grand musŽe Žgyptien

du Caire. Les pharaons du Caire pourront bient™t contempler le triangle de

Sierpiński puisque les architectes du futur

Ç grand musŽe Žgyptien È ont conu une faade imposante qui en reprend le motif principal. Le hŽros de cet article sera non pas le triangle de Sierpiński mais le tapis de

Sierpiński, dans des dimensions beaucoup

plus raisonnables, qui plus est. Les constructions du triangle et du tapis s"ap- puient sur les mmes idŽes ; dans le pre- mier cas on part d"un triangle ŽquilatŽral, dans le second d"un carrŽ. Si on veut fabriquer le triangle de Sierpiński dans un de fragilitŽ : une fois le triangle centralretirŽ, les trois petits triangles restant ne tiennent plus entre eux que par les som- mets. Pour ce que nous souhaitons faire, il nous faut donc quelque chose d"un peu plus Ç robuste È comme le tapis.

Le tapis de Sierpiński

Ce tapis doit son nom au mathŽmaticien

polonais Wacław Sierpiński. Davantage encore qu"un tapis, il s"agit surtout d"une fractale que l"on obtient ˆ partir d"un carrŽ que l"on subdivise en neuf carrŽs avant de supprimer le carrŽ central. Et on recommence la mme procŽdure sur cha- cun des huit petits carrŽs restants. Voici qui date de 1916.

APMEP - PLOT n° 5830Aurélien Alvarez est enseignant-chercheur, co-auteur avec Éienne Ghys et Jos Leys des films "Dimensions»

et " Chaos ». Ce qui suit est un extrait d"un article qu"il a publié sur le site Image des maths. Nous ne saurions

trop vous recommander de vous référer à la version en ligne, qui permet un accès direct à divers niveaux

d"approfondissement, via des liens hypertextes. Mais PLOT a jugé que publier ce raccourci papier, avec l"ai-

mable autorisation de l"auteur, serait utile pour susciter votre curiosité et vous donner envie d"en savoir

davantage. Vue d"artiste du futur musée. Image tirée du site web du cabinet d"architectes " heneghan peng architects ».

Sortons des sentiers battus

Dans mon universitŽ, nous avons la

c hance de disposer d"un FabLab*, le F abLab orlŽanais. On y trouve plein de machines diverses et variŽes, comme des imprimantes 3D bien sžr mais aussi une dŽcoupe laser, rŽpondant au doux nom de permet de faire de la gravure et de dŽcou- (PMMA) de moins de 10 mm d"Žpaisseur.

C"est exactement ce qu"il nous fallait

pour fabriquer notre propre tapis de

Sierpiński !

des collŽgiens de 3 qui viennent faire un stage d"une semaine. Ils y dŽcouvrent un peu le monde de la recherche et cer- tains chercheurs n"hŽsitent pas ˆ prendre le temps de raconter un peu de science ˆ ces jeunes plut™t motivŽs.

C"est donc avec l"aide d"un collŽgien

venu faire son stage rŽcemment que nous nous sommes attelŽs ˆ la t‰che de fabri- quer notre tapis ! Voici le rŽsultat.Le Ç vrai È tapis de Sierpiński, c"est l"ob- j et limite, celui qu"on obtient quand on i per chaque carrŽ en neuf carrŽs plus petits avant de supprimer le carrŽ central. Mais dans la rŽalitŽ, on s"arrte au bout d"un certain nombre d"Žtapes.

Quand j"ai montrŽ notre tapis ˆ un col-

dans ses mains, celui-ci m"a de suite dit :

Ç je vois bien que vous n"tes pas allŽs

jusqu"ˆ l"infini, sinon ton tapis serait de masse nulle ! È. On voit effectivement sur l"image cinq tailles de trou. Quant ˆ la boutade de notre ami mathŽmaticien, elle sera dŽmystifiŽe dans les prochaines lignes...

Comment fabriquer un tel tapis en

pratique ? l"image du tapis, du moins une approxi- mation ˆ l"ordre n. Nous allons donc Žcrire une fonction qui, Žtant donnŽ un carrŽ de c™tŽ L, retourne les neuf petits carrŽs de c™tŽ L/3. Pour cela, repŽrons un carrŽ par la donnŽe des coordonnŽes de son coin supŽrieur gauche et de la lon- gueur de ses c™tŽs. L"axe des abscisses ira comme d"habitude de gauche ˆ droite mais l"axe des ordonnŽes de haut en bas, de sorte que nous ne travaillerons qu"avec des coordonnŽes positives ; le coin supŽ- rieur gauche du carrŽ initial aura pour coordonnŽes le couple (0,0).

APMEP - PLOT n° 5831

* NDLR : FabLab est la contraction de l"anglais fabrication laboratory (laboratoire de fabrication). C"est un lieu ouvert au

public où il est mis à sa disposition toutes sortes d"outils, notamment des machines-outils pilotées par ordinateur, pour la

conception et la réalisation d"objets. La caractéristique principale des FabLabs est leur " ouverture ». Ils s"adressent à tous,

entrepreneurs, designers, artistes, bricoleurs, étudiants quels que soient leur âge, profession, formation. Ce lieu permet de

passer de la phase de concept à la phase de mise au point grâce aux matériels fournis et aux rencontres sur place. Ces

FabLabs constituent aussi des espaces de rencontre et de création collaborative.

On aurait aussi pu

partir du coin infé- rieur gauche et garder l"axe des ordonnées orienté vers le haut comme d"habitude.

C"est un choix.

Sortons des sentiers battus

Puisque nous le supposerons de taille 1

par convention, on notera donc [0,0,1] le nous obtiendrons les huit petits carrŽs positionnŽs ainsi : a = [0,0,1/3], b = [1/3,0,1/3], c = [2/3,0,1/3], d = [0,1/3,1/3], e = [2/3,1/3,1/3], f = [0,2/3,1/3], g = [1/3,2/3,1/3], h = [2/3,2/3,1/3] t = [1/3,1/3,1/3].

Il suffit donc ˆ chaque Žtape de stocker la

liste des petits carrŽs et celle des trous, fonction sur chaque petit carrŽ nouvelle- ment crŽŽ de la liste des petits carrŽs, etc. trous jusqu"ˆ l"ordre n, il ne reste plus qu"ˆ crŽer une image en partant d"un carrŽ noir et en dessinant un carrŽ blanc pour chacun des trous de notre liste.*

L"ultime Žtape, c"est de transmettre ce

fichier ˆ la dŽcoupe laser. Pour cela, il y a un dernier travail ˆ faire pour expliquer au logiciel de la machine o dŽcouper : dans notre cas, c"est facile puisque c"est prŽci- sŽment sur les bords des carrŽs blancs. On laser (vitesse, puissance du faisceau selon machine travailler est assez spectaculaire de par la rapiditŽ d"exŽcution et la prŽci- outil, relativement simple ˆ utiliser au final. Quelques mots de plus sur ce tapis

Quelle est l"aire du tapis ? Le carrŽ initial

ration, son aire a ŽtŽ multipliŽe par 8/9 puisque nous avons gardŽ 8 des 9 petits carrŽs. Plus gŽnŽralement, ˆ chaque Žtape, on multiplie l"aire par 8/9 pour chaque petit carrŽ, donc pour l"objet global.

L"aire ˆ l"Žtape nest donc de (8/9)

n

Quand ntend vers l"infini, cette aire tend

vers 0. Et si le tapis de Sierpiński est d"aire nulle, sa masse aussi !

Les mathŽmaticiens attribuent ˆ cet objet

d"aire nulle une dimension fractale qu"on appelle aussi dimension de Hausdorff.

Sans rentrer dans les dŽtails car c"est une

notion assez subtile ˆ dŽfinir, la dimen- sion du tapis de Sierpiński est de chaque Žtape, on construit huit rŽpliques de la figure prŽcŽdente, chacune Žtant trois fois plus petite que la prŽcŽdente.

Soit une dimension d"environ 1,89... Une

de 2 tout de mme. Et 2, c"est la dimen- sion du plan ou de la surface de la Terre.

Comme quoi, bien que d"aire nulle, le

tapis n"est pas si loin que a d"tre une surface...

Quant ˆ la gŽnŽralisation en dimension 3

du tapis, c"est la courbe (on parle encore d"Žponge) de Menger que l"on peut aussi fabriquer pour de vrai !

APMEP - PLOT n° 5832

* Le programme en

Python est accessi-

ble via le site Image des mathsquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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