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DM n° … : Le triangle de Sierpinski
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10-03-2009 DM] 10 Mar 2009 ... assembles a well-known set the discrete Sierpinski triangle
Cet ariticle est rédigé par des élèves. Il peut comporter des oublis et imperfecitions, autant que possible signalés par nos relecteurs dans les notes d'édiition. Tamis de SierpińskiAnnée 2015 - 2016
Raphaël BERNAS, Sacha DOUET, Antonin EYRAUD, Paul GLAVIER, Noah LUNNEY, Jean-Baptiste SABATIER, Alex TRAN VAN NHIEU, élèves de 4ème Encadrés par : Florence FERRY, Claudie ASSELAIN et Nicolas SEGARRA. Établissement : Collège Alain-Fournier, Orsay (91).Chercheuse : Céline Abraham.
Le sujet :
Le Tamis de Sierpiński se construit ainsi : nous prenons au départ un triangle équilatéral, nous le divisons en
quatre triangles équilatéraux idenitiques, équivalents à un quart du triangle iniitial et nous reitirons le triangle
central. Nous reproduisons cettte division dans les trois autres triangles. Nous pouvons conitinuer ainsi jusqu'à
l'inifini. Nous obtenons le Tamis de Sierpiński.Voici les premières étapes :
Quesitions :
- A quoi ressemble la ifigure au bout de plusieurs étapes ? - Trouver d'autres méthodes pour construire ce tamis plus rapidement. - Calculer son aire blanche ( l'aire qu'on enlève) et son aire noire (l'aire qu'on garde).Nos résultats : Nous avons établi des formules générales des aires blanche et noire à une étapen donnée, ainsi
que le périmètre d'un triangle formé à cettte étape. Nous avons trouvé des approches du tamis de Sierpiński, une
basée sur une construcition et une autre basée sur le triangle de Pascal. Nous avons ensuite étendu le sujet en
nous basant sur des carrés à la place de triangles.I - Premières construcitions
1) Avec les milieux des côtés
Etape 1 : on a un triangle équilatéral.
Etape 2 : On prend les milieux des côtés et on les relie par des segments, on obitient quatre triangles et on enlève le triangle central. MATh.en.JEANS 2015 - 2016 Collège Alain Fournier, Orsay page 1 Etape 3 : On reproduit l'étape précédente dans chaque triangle noir formé.On conitinue ce procédé indéifiniment.
Voici encore le Tamis à l'étape 4 :
2) Avec des parallèles
Nous avons trouvé un moyen de former ce tamis plus rapidement, en construisant des parallèles(1).
On prend un triangle équilatéral ; on crée des parallèles pareillement espacées les unes des autres (les côtés
sont pris en compte)(2).Ensuite on reitire certains des triangles(3) pour former une des étapes du tamis de Sierpiński.
MATh.en.JEANS 2015 - 2016 Collège Alain Fournier, Orsay page 2Triangle équilatéral formé de 5 parallèles Tamis à l'étape 3Avec 16 parallèles
II - Calculs d'aires
1) Aire noire
Nous allons tout d'abord calculer l'aire noire ainsi que le nombre de triangles noirs ; on décide de choisir comme
unité d'aire le triangle équilatéral de départ.On note respecitivementAnetNnl'aire noire et le nombre de triangles noirs à l'étape n, où n est un enitier
strictement posiitif.Étape 1 : A1 = 1 N1 = 1 = 30
Étape 2 : A2 =3
4X A1 =
34 N2 = 3 = 31
Étape 3 : A3 =
34X A2 =
34×3
4A1 =(3
4)2 N3 = 9 = 32
Étape 4 : A4 =3
4X A3 =
(3 4)3 N4 = 27 = 33
A chaque étape, l'aire noire fait 3/4 de l'aire précédente. Nous pouvons donc généraliser :
Pour n > 1, si à une étape n - 1 on a : An-1= (3 4) n-2alors on aura à l'étape n : An =34×(3
4)n-2 =(34)n-2+1
=(3 4)n-1Chaque triangle noir de l'étape n - 1 est partagé en 4 et on en garde 3. Donc le nombre est à chaque étape
mulitiplié par 3. Pour n > 1, si à une étape n - 1 on a : Nn-1=3n-2alors on aura à l'étape n :
Nn =3×3n-2=3n-2+1=3n-1.
2) Aire blanche
On note respecitivementBnetMnl'aire blanche et le nombre de triangles blancs à l'étape n, où n est un enitier
strictement posiitif. MATh.en.JEANS 2015 - 2016 Collège Alain Fournier, Orsay page 3Étape 1 : B1 = 0 M1 = 0
Étape 2 : B2 =1
4M2 = 1
Étape 3 : B3 =1
4+3 16=14+3×(1
4)2Étape 4 : B4 =1
4+3×(1
4)2 +9×1 64=14+3×(1
4)2 +32×(14)3quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
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