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08-12-2021 Shannon entropy; Deng entropy; Sierpinski triangle. ?Corresponding author ... Equation (12) we defined Dm as follows
Limitations of Self-Assembly at Temperature 1
10-03-2009 DM] 10 Mar 2009 ... assembles a well-known set the discrete Sierpinski triangle
Un promedio en el triángulo de Sierpinski
José Carlos Navarro Climent
Departamento de Matemáticas
Universidad de Alicante.
España.
Agosto 2018
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 1/43Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 2/43Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 2/43Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 2/43El triángulo de Sierpinski
Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 3/43El triángulo de Sierpinski
Charles Hermite "Plaga Lamentable".
George Cantor(1883).Guiseppe Peano(1890).Helge von Koch(1904).Waclaw Sierpinski(1915).Hausdorff y Besikovitch redefinen el concepto de dimensión.
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 4/43El triángulo de Sierpinski
Seanfp1;p2;p3glos vértices del triángulo equilátero(T)de lado unidad en el plano. Para cadai2S=f1;2;3gdefinimos la contracción del plano F i(x) =12 (xpi) +pi; cuyo punto fijo espi. Así el SFIL=fT;S;fFigi2Sgtiene un único punto fijo no vacío que llamaremos el Triángulo de Sierpinski.SG=F1(SG)[F2(SG)[F3(SG):J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 5/43
El triángulo de Sierpinski
El Triángulo de Sierpinski
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 6/43El triángulo de Sierpinski
El Triángulo de Sierpinski
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 6/43El triángulo de Sierpinski
El Triángulo de Sierpinski
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 6/43El triángulo de Sierpinski
El Triángulo de Sierpinski
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 6/43El triángulo de Sierpinski
Notación
SeanV0=fp1;p2;p3g;B0=f(p1;p2);(p1;p3);(p2;p3)g, para cada m0definimos V m=[1i1;i2;:::;im3F
i1Fi2 Fim(V0)Así denominamos
V m0V m y por último SG=V J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 7/43El triángulo de Sierpinski
Notación
f1;2;3gm=fw1w2wm;1w1;w2;;wm3g:Paraw=w1w2wm2 f1;2;3gmtenemos F w=Fw1Fw2 Fwm;SGw=Fw(SG) q i=Fj(pk);i;j;k2S;distintos entre sí p i(w) =Fw(pi);qi(w) =Fw(qi);i=1;2;3:Así podemos reescribir
V m=[ w2f1;2;3gmFw(V0);Fw(V0) =fp1(w);p2(w);p3(w)g:J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 8/43
El triángulo de Sierpinski
Notaciónp1p3p2q1q2q3p1HwLp3HwLp2HwLq1HwLq2HwLq3HwLParap2VmdefinimosVm;pcomo el conjunto Vm;p=q2Vm:qestá conectado conppor un lado en(Vm;Bm)J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 9/43
Funciones armónicas en SG
Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 10/43Funciones armónicas en SGIntroducción
Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 11/43 Funciones armónicas en SGIntroducciónp1p3p2q1q2q3Operador LaplacianoDefinimos
l(Vm) =ffjf:Vm!Rgy L2m:l(Vm)!l(Vm)como
L2mf(p) =X
q2Vm;p(f(q)f(p)); dóndef2l(Vm)yp2Vm.Definición 2.1 SeaC(SG) =ffjf:SG!Rg. Tomandof2C(SG), decimos quefes armónica si cumple(L2mf)(p) =0;8m1y para todop2VmnV0:J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 12/43
Funciones armónicas en SGResultados PrincipalesÍndice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 13/43 Funciones armónicas en SGResultados PrincipalesFunciones armónicas
Lema 2.1
Dadosp;q2Vtales quejpqj 12
kentonces jf(p)f(q)j 2C35 kTeorema 2.1Dados,y
tres números reales, existe una única funciónf, armónica enSGque verificaf(p1) =,f(p2) =yf(p3) = .Teorema 2.2 (Principio del máximo) Si una función armónica definida enSGalcanza su máximo enSGnV0,entonces la función es constante enSG.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 14/43
Funciones armónicas en SGEl Laplaciano en SG
Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 15/43Funciones armónicas en SGEl Laplaciano en SG
El Laplaciano en SG
Seau2C(SG)yp2VmnV0, definimos
mu)(p) =32 5 m(L2mu)(p)Supongamos que para alguna'2C(SG)tenemos
max p2VmnV0j(mu)(p)'(p)j !0, cuandom!+1 Decimos queu=', y lo llamamos Laplaciano en el Triángulo de Sierpinski. Denotamos porDel conjunto de todas las funciones continuas enSG,u2C(SG)para las que existe'2C(SG)tal que u='.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 16/43Funciones armónicas en SGEl Laplaciano en SG
Teorema 2.3
Sean'2C(SG)y:V0!R, existe una única funciónu2D tal que : u=' ujV0=J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 17/43Nuestro problema
Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 18/43Nuestro problemaIntroducción y solución
Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 19/43Nuestro problemaIntroducción y solución
Definición 3.1
Definimos
L1m:l(Vm)!l(Vm)como
L1mf(p) =12
maxq2Vm;pf(q) +12 minq2Vm;pf(q) f(p); dondef2l(Vm)yp2Vm.Definición 3.2 SeaC(SG) =ffjf:SG!Rg. Tomandof2C(SG), decimos quefes solución del problema(P)si cumple L1mf(p) =0;8m1y para todop2VmnVm1:J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 20/43
Nuestro problemaIntroducción y solución
TipoI.3f(p2)<2f(p1) +f(p3).
A 1=14 0 @0 2 2 2 0 22 1 11
Af(q1) =12
(f(p2) +f(p3)) f(q2) =12 (f(p1) +f(p3)) f(q3) =14 (2f(p1) +f(p2) +f(p3))TipoII.2f(p1) +f(p3)3f(p2)f(p1) +2f(p3) A 2=16 0 @2 0 4 3 0 34 0 21
Af(q1) =13
(f(p1) +2f(p3)) f(q2) =12 (f(p1) +f(p3)) f(q3) =13 (2f(p1) +f(p3))J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 21/43Nuestro problemaIntroducción y solución
TipoIII.f(p1) +2f(p3)<3f(p2)
A 3=14 0 @1 1 2 2 0 22 2 01
Af(q1) =14
(f(p1) +f(p2) +2f(p3)) f(q2) =12 (f(p1) +f(p3)) f(q3) =12 (f(p1) +f(p2))En general, siw2 f1;2;3gmtenemos que 0 @f(q1(w)) f(q2(w)) f(q3(w))1 A =A0 @f(p1(w)) f(p2(w)) f(p3(w))1 AdondeAesA1,A2óA3, según las condiciones iniciales.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 22/43
Nuestro problemaResultados principales
Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 23/43Nuestro problemaResultados principales
Lema 3.1
Dadosp;q2Vtales quejpqj 12
kentonces jf(p)f(q)j 2C12 kTeorema 3.1Dados,y
tres números reales, existe una única funciónf solución del problema(P)enSGverificandof(p1) =,f(p2) =y f(p3) = .Teorema 3.2 (Principio del máximo) Si una solución del problema(P)enSGalcanza su máximo enSGnV0,entonces la función es constante enSG.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 24/43
Nuestro problemaResultados principales
Teorema 3.3 (Principio de comparación)
Sifygson soluciones de(P)enSGcon
f(x)g(x)8x2SG:La prueba se obtiene gracias a tres lemas.Lema 3.2
Con las hipótesis del teorema3;3, siftiene condiciones de frontera detipoI;II;óIIIentoncesf(q1)g(q1)yf(q3)g(q3).J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 25/43
Nuestro problemaResultados principales
Ejemplo 3.1
Supongamos que1x .J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 26/43 Nuestro problemaResultados principales
Ejemplo 3.1
Supongamos que1x .J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 26/43 Nuestro problemaResultados principales
Ejemplo 3.2
Partimos de condiciones iniciales3x;y6(TipoII),x6=y.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 27/43
Nuestro problemaResultados principales
Ejemplo 3.2
Partimos de condiciones iniciales3x;y6(TipoII),x6=y.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 27/43
Nuestro problemaEstructura de las soluciones
Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 28/43 Nuestro problemaEstructura de las soluciones
Para abreviar diremos que el triánguloT=fp1;p2;p3ges tipoIsi las condiciciones iniciales impuestas para el problema(P)son de tipoI. De la misma forma definimos los triángulos de tipoIIyIII. Además para simplificar reescribimos las condiciones iniciales f(p1) =x f(p2) =x+my f(p3) =x+y; dondey>0;m2[0;1] En estas condiciones tenemosTes tipoIde ordenmsi y sólo sim20;13 .Tes tipoIIde ordenmsi y sólo sim213 ;23 .Tes tipoIIIde ordenmsi y sólo sim223 ;1.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 29/43 Nuestro problemaEstructura de las soluciones
Lema 3.3
SiT=fp1;p2;p3ges tipoI(esto es,m2[0;13
)) entonces1F 1(T) =T1=fF1(p1);F1(p2);F1(p3)g=fp1;q3;q2ges tipoIIcon
m 1=m+12
2[12 ;23 ):2F 2(T) =T2=fF2(p2);F2(p1);F2(p3)g=fp2;q3;q1gtiene
m 2=12 (13m1m)2(0;12 Por lo tanto,T2es tipoIIsi0m17
y es tipoIsi17 3(T) =T3=fF3(p1);F3(p2);F3(p3)g=fq2;q1;p3ges tipoIcon m 3=m:J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 30/43
Nuestro problemaEstructura de las soluciones
Lema 3.4
SiT=fp1;p2;p3ges tipoIIde ordenm2[13
;23 ]entonces1T 1=fp1;q3;q2ges tipoIIde ordenm1=23
.2T 2=fq3;p2;q1ges de ordenm2=3m12[0;1]:Therefore1Sim2[13
;49 )entoncesT2es tipoI.2Sim2[49 ;59 ]entoncesT2es tipoII.3Sim2(59quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
Nuestro problemaResultados principales
Ejemplo 3.1
Supongamos que1x .J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 26/43 Nuestro problemaResultados principales
Ejemplo 3.2
Partimos de condiciones iniciales3x;y6(TipoII),x6=y.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 27/43
Nuestro problemaResultados principales
Ejemplo 3.2
Partimos de condiciones iniciales3x;y6(TipoII),x6=y.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 27/43
Nuestro problemaEstructura de las soluciones
Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 28/43 Nuestro problemaEstructura de las soluciones
Para abreviar diremos que el triánguloT=fp1;p2;p3ges tipoIsi las condiciciones iniciales impuestas para el problema(P)son de tipoI. De la misma forma definimos los triángulos de tipoIIyIII. Además para simplificar reescribimos las condiciones iniciales f(p1) =x f(p2) =x+my f(p3) =x+y; dondey>0;m2[0;1] En estas condiciones tenemosTes tipoIde ordenmsi y sólo sim20;13 .Tes tipoIIde ordenmsi y sólo sim213 ;23 .Tes tipoIIIde ordenmsi y sólo sim223 ;1.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 29/43 Nuestro problemaEstructura de las soluciones
Lema 3.3
SiT=fp1;p2;p3ges tipoI(esto es,m2[0;13
)) entonces1F 1(T) =T1=fF1(p1);F1(p2);F1(p3)g=fp1;q3;q2ges tipoIIcon
m 1=m+12
2[12 ;23 ):2F 2(T) =T2=fF2(p2);F2(p1);F2(p3)g=fp2;q3;q1gtiene
m 2=12 (13m1m)2(0;12 Por lo tanto,T2es tipoIIsi0m17
y es tipoIsi17 3(T) =T3=fF3(p1);F3(p2);F3(p3)g=fq2;q1;p3ges tipoIcon m 3=m:J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 30/43
Nuestro problemaEstructura de las soluciones
Lema 3.4
SiT=fp1;p2;p3ges tipoIIde ordenm2[13
;23 ]entonces1T 1=fp1;q3;q2ges tipoIIde ordenm1=23
.2T 2=fq3;p2;q1ges de ordenm2=3m12[0;1]:Therefore1Sim2[13
;49 )entoncesT2es tipoI.2Sim2[49 ;59 ]entoncesT2es tipoII.3Sim2(59quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
Nuestro problemaResultados principales
Ejemplo 3.2
Partimos de condiciones iniciales3x;y6(TipoII),x6=y.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 27/43
Nuestro problemaResultados principales
Ejemplo 3.2
Partimos de condiciones iniciales3x;y6(TipoII),x6=y.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 27/43
Nuestro problemaEstructura de las soluciones
Índice
1El triángulo de Sierpinski
2Funciones armónicas en SG
Introducción
Resultados Principales
El Laplaciano en SG
3Nuestro problema
Introducción y solución
Resultados principales
Estructura de las soluciones
Dependencia continua
J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 28/43Nuestro problemaEstructura de las soluciones
Para abreviar diremos que el triánguloT=fp1;p2;p3ges tipoIsi las condiciciones iniciales impuestas para el problema(P)son de tipoI. De la misma forma definimos los triángulos de tipoIIyIII. Además para simplificar reescribimos las condiciones iniciales f(p1) =x f(p2) =x+my f(p3) =x+y; dondey>0;m2[0;1] En estas condiciones tenemosTes tipoIde ordenmsi y sólo sim20;13 .Tes tipoIIde ordenmsi y sólo sim213 ;23 .Tes tipoIIIde ordenmsi y sólo sim223 ;1.J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 29/43Nuestro problemaEstructura de las soluciones
Lema 3.3
SiT=fp1;p2;p3ges tipoI(esto es,m2[0;13
)) entonces1F1(T) =T1=fF1(p1);F1(p2);F1(p3)g=fp1;q3;q2ges tipoIIcon
m1=m+12
2[12 ;23 ):2F2(T) =T2=fF2(p2);F2(p1);F2(p3)g=fp2;q3;q1gtiene
m 2=12 (13m1m)2(0;12Por lo tanto,T2es tipoIIsi0m17
y es tipoIsi173=m:J.C. Navarro (U.A.)Un promedio en el triángulo de SierpinskiAgosto 2018 30/43
Nuestro problemaEstructura de las soluciones
Lema 3.4
SiT=fp1;p2;p3ges tipoIIde ordenm2[13
;23 ]entonces1T1=fp1;q3;q2ges tipoIIde ordenm1=23
.2T2=fq3;p2;q1ges de ordenm2=3m12[0;1]:Therefore1Sim2[13
;49 )entoncesT2es tipoI.2Sim2[49 ;59 ]entoncesT2es tipoII.3Sim2(59quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Le triangle équilatéral
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