[PDF] TRAVAUX DIRIGÉS M4 Exercice 1 : Barrière électromagné

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TD -M4Correction PCSI 2022 - 2023

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Exercice 1 :Barrière électromagnétique

y x O a ??v01. Barrièreélectrique:ilrègneunchampélectrique uniforme ?E=E0?uxentre les plansx= 0et x=aet un champ nul partout ailleurs.

Des particules de chargeq >0, de massem

arrivent de l"infini du coté desx >0avec des vitesses identiques?v0portées par l"axeOx.

Quelle est la condition surv0pour que les par-

ticules ne puissent pas franchir cette barrière de potentiel?

2. Barrière magnétique : entre les plansx= 0etx=a, il règne maintenant un champ magné-

tique uniforme ?B=-B0?uz. Quel est le rayon de courbure de la trajectoire des particules? Reprendre la question du 1. y x O a ??v0 ??v?Fe ?E1. Barrière électrique : on représente le champ ?E et la force ?Fe=q?Esubie par la particule. À partir dex=acette dernière est ralentie et on cherche finalement la valeur deUpour la- quelle sa vitesse s"annule enx= 0:vf= 0. Par application du théorème de l"énergie cinétique entre ces deux points,

ΔEc=1

2mv2f-12mv20=W(?E) =?

δW=?

0 x=aqE.?ex.dx.?ex=qE(0-a) =-qU On obtient bienW(?Fe)<0pour cette force qui s"oppose au déplacement etv2f=v20-2qU m< v 20.

À la limite,vf= 0pourv20=2qU

m. Il faut et il suffit donc quev0?? 2qU m. y x O a ??v0 ?CR ?v0 ?Fm

2. Barrière magnétique : cette fois, la particule va

garder la même vitesse (numérique)v0mais sa trajectoire sera un arc de cercle de centreCet de rayonR=mv0 qB(Cf. calcul fait en classe).

Pour qu"elle reste dans le secteurx?0, il faut

et il suffit que R=mv0 qB?a?v0?qBam

Exercice 2 :Étude du cyclotron

1

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D1 D2 u(t)

?B?v0Uncyclotron comporte deuxdemi-boîtescylindriquesmétalliques creuses ou "D", séparées par un inter-

valle, entre lesquelles on établit une tensionu(t)si- nusoïdales de fréquence convenablef. Les "D" sont situés dans l"entrefer d"un électroai- parallèle aux génératrices des "D".

On injecte des protons (m= 1,66.10-27kg,q=

1,6.10-19C) dans une direction perpendiculaire à

?B, avec une vitesse initiale négligeable. On donne

B= 1,5T la norme de?B.

1. Montrerquedansles"D"(action de?Bseul)lavitessenumériquevdesprotons estconstante.

2. En déduireRle rayon de courbure de la trajectoire des protons ayant une vitessevainsi

que le temps de passage d"un proton dans un "D".

3. Quelle doit être la fréquencefde la tensionu(t)pour que le proton soit accéléré de façon

optimale (pendant un temps très court) à chaque passage entre les "D"?

4. La tensionu(t)a une amplitudeUm= 200kV. Le proton passe entre les "D" de façon

optimale en terme d"accélération.

(a) À l"aide d"un raisonnement énergétique, déterminez unerelation de récurrence entre

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