[PDF] Chapitre 2 Dérivation (rappels) Convexité

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Chapitre 2Dérivation (rappels)ConvexitéSommaire

2.1 Dérivation (rappels). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Fonctions affines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Nombre dérivé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.3 Fonctions dérivées des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.4 Opérations algébriques et dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.5 Variations et dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Bilan et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Lectures graphiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2 Études de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.3 Convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.4 Problèmes plus ou moins économiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 Dérivation(rappels)

2.1.1 Fonctions affines

Tracés

1. Dansunmêmerepère,tracerlesreprésentationsgraphiquesdesfonctionssuivantes(définies

surR) : •f1:x?-→-1 2x+5; •f4:x?-→3

4x-4.•f5:x?-→-5x+10;

•f6:x?-→6x-14. 9

2.1 Dérivation (rappels)Terminale L-ES

2. Dans un autre repère, tracer les droites suivantes :

•D1passant parH(3; 1) et de coefficient directeur-1; •D2passant parI(-3; 2) et de coefficient directeur-1 4; •D3passant parK(1; 0) et de coefficient directeur 3; •D4passant parL(0; 2) et de coefficient directeur4 3; •D5passant parM(-2; 2) et de coefficient directeur 0;

Équations de droites

Déterminer graphiquementles équationsréduitesdes droitesreprésentéessur lafigureci-dessous.

1 2 3 4-1-2-3-40

-1 -2 -3 -41 234

O?ı

D1 D2 D3 D4 D5

D6×

5-50 -55

O?ı

D1D2 D3

D4×

2.1.2 Nombre dérivé

On donne sur la figure ci-dessous la courbe représentativeCde la fonctionfen y indiquant les droites tangentes aux pointsA,BetC.

1. Donner par lecture graphiquef(-2) etf(6)

2. Donner par lecture graphiquef?(-2),f?(6) etf?(2)

3. Déterminer l"équation de la tangente àCau point d"abscisse-2.

2 4 6 8 10-2-4-6-8-10-120

-22 46
O xy A BC

10http://perpendiculaires.free.fr/

Terminale L-ES2.1 Dérivation (rappels)

2.1.3 Fonctions dérivées des fonctions usuelles

Compléter le tableau ci-dessous.

Fonctionfdéfinie surFonction dérivéef?définie sur f:x?-→k(constante)Rf?:x?-→ f:x?-→mx+pRf?:x?-→ f:x?-→xnavecn?N?Rf?:x?-→ f:x?-→1xR?f?:x?-→ f:x?-→?xR+=[0;+∞[f?:x?-→

2.1.4 Opérations algébriqueset dérivation

Soientuetvdéfinies et dérivables sur un même intervalleI. Compléter le tableau ci-dessous.

FonctionFonction dérivée

kuaveck?R u+v u×v u vavecv(x)?=0 1 vavecv(x)?=0

2.1.5 Variations et dérivée

1. Rappeler le lien entre les variations d"une fonction et sadérivée.

2. La courbe de la figure

2.1de la présente page est la représentation graphique d"une fonction

udéfinie surR.

Par lecture graphique :

(a) Déterminer le signe deu(x) selon les valeurs dex. (b) Déterminer le signe deu?(x) selon les valeurs dex.

FIGURE2.1: Graphique de la question

2

1 2 3 4-1-2-3-4-50

-1 -2 -3 -4 -51 23

O?ı

xy

David ROBERT11

2.2 ConvexitéTerminale L-ES

2.2 Convexité

2.2.1 Activités

ACTIVITÉ2.1(Cas général).

On considèrela fonctionf:x?→x2définiesurR.

On appelleCsa courbe représentative (donnée

sur la figure ci-contre).

On noteAetMles points de la courbeCd"abs-

cisses respectives 1 et 3.

On veut démontrer que le segment [AM] est au-

dessus de la courbeC.

1. Donner les coordonnées des pointsAet

M.

2. Déterminer l"équation réduite de la droite

(AM).

3. Montrer que " (AM) est au-dessus deC»

?"4x-3?f(x)»?"f(x)-(4x-3)?0».

4. Déterminerlesignedef(x)-(4x-3) selon

les valeurs dex.

5. Conclure

1 2 3-1-2-30

-22 46810
O xy AM

DÉFINITION.Soit une fonctionfdéfiniesur un

intervalleIetCsa courbe représentative. • Si pour tous points distinctsAetBde la courbeC, le segment [AB] est situé au- dessus deCalors on dit que la fonctionf estconvexesurI. • Si pour tous points distinctsAetBde la courbeC, le segment [AB] est situé au- dessous deCalors on dit que la fonction festconcavesurI.

ACTIVITÉ2.2(Cas d"une fonction dérivable).

On considère la fonctionf:x?→x3définie sur R

On appelleCsa courbe représentative.

Le travail ci-dessous est à effectuer sur Geoge- bra.

1. (a) Dans labarredesaisie,entrerlafonc-

tionf. (b) Par lecture graphique déterminer sur quel intervalle la fonction est convexe et sur quel intervale elle est concave.

2. Créer un point sur la courbe def.

3. Créer une tangente enAà la courbe def

(quatrièmebouton).

4. Déplacer le pointAsur la courbe def, là

oùfest convexe. (a) Que constate-t-on quant aux posi- tions relatives de la tangente et de la courbe? (b) Quelle est la variation du coefficient directeur de la tangente(affiché dans la fenêtre algèbre) lorsque l"abscisse deAaugmente?

Que peut-on en déduire pour la déri-

vée def?

5. Déplacer le pointAsur la courbe def, là

oùfest concave. (a) Que constate-t-on quant aux posi- tions relatives de la tangente et de la courbe? (b) Quelle est la variation du coefficient directeur de la tangente(affiché dans la fenêtre algèbre) lorsque l"abscisse deAaugmente?

Que peut-on en déduire pour la déri-

vée def?

6. À l"aide des observations faites aux ques-

tions

4et5, compléter les propriétés sui-

vantes : 12 http://perpendiculaires.free.fr/

Terminale L-ES2.2 Convexité

PROPRIÉTÉ.Soit f une fonction définie

et dérivable sur un intervalle I dont la courbe représentative estC. Alors : • " f convexe sur I »?"Cest .....de toutes ses tangentes». • " f concave sur I »?"Cest .....de toutes ses tangentes».

PROPRIÉTÉ.Soit f une fonction définie

et dérivable sur un intervalle I dont la courbe représentative estC. Alors : • " f convexe sur I »?" f?est ..... ». • " f concave sur I »?" f?est ..... ».

7. Que peut-on dire de la position de la tan-

gente par rapport à la courbe là où la convexité defchange?

2.2.2 Bilan et compléments

Conformément au programme, sauf mention d"une preuve, les propriétés seront admises.

Convexité d"une fonctionfquelconque

Définition 2.1.Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalleIetCsa courbe représentative. • Si pour tous points distinctsAetBde la courbeC, le segment [AB] est situé au-dessus de

Calors on dit que la fonctionfestconvexesurI.

• Si pour tous points distinctsAetBde la courbeC, le segment [AB] est situé au-dessous de

Calors on dit que la fonctionfestconcavesurI.

Convexité d"une fonctionfdérivable

Propriété 2.1(Convexité et tangentes).Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I

dont la courbe représentative estC. Alors : • " f convexe sur I »?"Cest au-dessus de toutes ses tangentes». • " f concave sur I »?"Cest au-dessous de toutes ses tangentes».

Propriété 2.2(Convexité et dérivée).Soit f une fonction définie et dérivable, de dérivée f?, sur un

intervalle I et dont la courbe représentative estC. Alors : • " f convexe sur I »?" f?est croissante». • " f concave sur I »?" f?est décroissante». Convexité d"une fonctionfdeux fois dérivable

Définition 2.2(Dérivée seconde).Soitfune fonction définie et dérivable sur un intervalleIet

telleque sa dérivéef?est elle aussidérivable, alorsla dérivée def?est appelléedérivéeseconde de

fet notéef??.

On dira alors quefestdeux fois dérivable.

David ROBERT13

2.3 Exercices et problèmesTerminale L-ES

Propriété2.3(Convexitéet dérivée seconde).Soit f unefonction définieet deuxfois dérivable sur

un intervalle I. Alors : • " f convexe sur I »?" f??est positive». • " f concave sur I »?" f??est négative». Preuve.On sait que "fconvexe surI»?"f?est croissante » or "f?est croissante »?"f??est positive».

De même on sait que "fconcave surI»?"f?est décroissante» or "f?est décroissante»?"f??

est négative».♦

Point d"inflexion

Définition 2.3(Point d"inflexion).Soitfune fonction définie et dérivable sur un intervalleIet

Csa courbe représentative. On appellepoint d"inflexiontout pointMdeCoù la tangente à la courbe enMtraverse la courbe.

Propriété 2.4(Convexité et point d"inflexion).Soit f une fonction définie et dérivable sur un in-

tervalle I etCsa courbe représentative et M(xM;yM)un point d"inflexion.

Alors la convexité de f change en x

M.

Propriété 2.5(Point d"inflexion et dérivée seconde).Soit f une fonction définie et deux fois déri-

vable sur un intervalle I etCsa courbe représentative. Alors : "M(xM;yM)un point d"inflexion»?" f??s"annule et change de signe en xM». Preuve."M(xM;yM) un point d"inflexion»?"la convexité defchange»?"la dérivéef?change de sens de variation»?"f??s"annuleetchange de signe enxM».♦

2.3 Exercices et problèmes

2.3.1 Lectures graphiques

EXERCICE2.1.

On a représenté, ci-dessous, dans un repère or- thogonal, la courbe représentativeΓd"une fonc- tiongdéfinie et dérivable surR.

La courbeΓpasse par les pointsO(0; 0) et

A(2; 2). La droite (AB) est la tangente enAà la courbeΓ. LatangenteàΓau pointCd"abscisse1 est parallèle à l"axe des abscisses.

1. Déterminer graphiquement les valeurs de

g(0),g(2),g?(1) etg?(2).2. Une des représentations graphiques page ci-contre, figure2.2, représentelafonction dérivéeg?deg. Déterminer laquelle.

3. Une des représentations graphiques page

suivante, figure

2.2, représente une fonc-

tionhtelle queh?=gsurR. Déterminer laquelle.

Vous justifierezvos choixàl"aided"argumentsba-

sés sur l"examen des représentations graphiques. 14 http://perpendiculaires.free.fr/

Terminale L-ES2.3 Exercices et problèmes

FIGURE2.2: Courbes de l"exercice2.1

1 2 3 4 5 6-10

-1 -2 -3 -4 -51 234
O?i ?j xy A BC

Courbe 1Courbe 2

1 2 3 4 5 6-1-20

-1 -2 -3 -4 -5 -61 2345
O?i ?j xy

1 2 3 4 5 6 7-10

-1 -21

23456789

O?i ?j xy

Courbe 3Courbe 4

1 2 3 4 5 6-10

-1 -2 -3 -4 -51 2345
O?i ?j xy

1 2 3 4 5 6-1-20

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -81 234
O?i ?j xy

David ROBERT15

2.3 Exercices et problèmesTerminale L-ES

EXERCICE2.2.

On a représenté, ci-dessous la courbe représen- tionfdéfinie surR.

1 2 3-1-2-30

-11 23
D BA C

La courbeΓpasse par les pointsA(0 ; 2) et

C(-2 ; 0) et la droite (AB) est la tangente enA

àΓ. La tangenteàΓenson pointDd"abscisse-1 est parallèle à l"axe des abscisses.1. Déterminer, à l"aide des renseignements fournis par l"énoncé, les valeurs def(0) et def?(0).

2. Aveclaprécisionpermiseparlegraphique,

résoudre les inéquationssuivantes : •f(x)>1; •f(x)?2;•f(x)?3; •f(x)<4.

3. Parmi les trois représentations graphiques

2.3de la présente page, une représente la

sente une fonctionhtelle queh?=fsur h.

Vous expliquerez avec soin les raisons de

votre choix

FIGURE2.3: Courbes de l"exercice2.2

Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3

2-2-40

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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