[PDF] Calcul intégral Remarque : La fonction ? représente





Previous PDF Next PDF



CALCUL INTEGRAL 1. Aire sous une courbe

Exemples : i. L'aire du rectangle ABCD ci-dessus est de 2 unités d'aires. OI = 2 cm et OJ = 3 cm donc l'aire de ABCD est. 2 2 3 = 12 cm2.



La notion dintégrale permet de calculer laire sous la courbe dune

Alors l'aire du rectangle OIKJ est appelée unité d'aire et elle est notée . . Définition : Soit une fonction continue et positive sur l'intervalle [ ; ] 



INTÉGRATION (Partie 1)

1) Unité d'aire d'aire en unités de mesure (le cm2 par exemple). ... Sur un sous-intervalle [ ; + ] l'aire sous la courbe est comprise entre ...



Le résumé 3e partie

1 et 089 pour le RSB. Le calcul de l'aire sous la courbe (ASC) ROC a donné : 1



CALCUL INTÉGRAL (Partie 1)

1) Unité d'aire d'aire en unités de mesure (le cm2 par exemple). ... Sur un sous-intervalle [ ; + ] l'aire sous la courbe est comprise entre ...



Calcul intégral

Remarque : La fonction ? représente en unités d'aire



INTEGRATION (Partie 1)

rectangle "unité" qui a pour aire 1 unité d'aire. On écrit 1 u.a. l'aire sous la courbe est comprise entre l'aire de deux rectangles :.



Calcul intégral 1 Intégrale et aire

On appelle unité d'aire (notée en abrégé u.a) l'unité de mesures des aires telle Sn est alors l'aire sous la courbe de sn : c'est la somme des aires des ...





I. Signal périodique

La fréquence correspond au nombre de périodes par unité de temps : Sur une période l'aire sous la courbe est nulle. (l'aire positive compensant ...



CALCUL INTÉGRAL - maths et tiques

l’équation de la courbe pour calculer l’aire sous la courbe c’est à dire du « bord » de la surface à la surface entière (intégrale) Au milieu du XIXe siècle les sciences sociales reprennent le mot pour exprimer l’idée qu’une personne s’intègre à un groupe Partie 1 : Intégrale et aire 1) Unité d'aire



Loi normale - Assistance scolaire personnalisée et

l’équation de la courbe pour calculer l’aire sous la courbe c’est à dire du « bord » de la surface à la surface entière (intégrale) Au milieu du XIXe siècle les sciences sociales reprennent le mot pour exprimer l’idée qu’une personne s’intègre à un groupe Partie 1 : Intégrale et aire 1) Unité d'aire



CALCULS D'AIRES INTEGRALES PRIMITIVES 1°) Intégrale d'une

est un rectangle on appelle unité d'aire et on note u a l'aire du rectangle OIKJ Prop 1 et déf 1: Si f est continue et positive sur [a ; b] on admet que le domaine E situé sous la courbe (entre la courbe l'axe des abscisses les droites d'équations x = a et x = b) admet une aire



Chapitre 12 - University of Paris-Est Marne-la-Vallée

sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan - La partie du plan située entre l’axe des abscisses la courbe ????et les droites d’équations = et = admet une aire - On appelle intégrale de et de la fonction la mesure de l’aire de cette partie en unité d’aire



Searches related to aire sous la courbe unité PDF

On veut déterminer l’aire de la surface hachurée sous la courbe a Donner une estimation (ou un encadrement) de cette aire b En utilisant ce qui a été fait précédemment proposez une méthode qui permette de calculer la valeur exacte de cette aire a Calculer l’aire du trapèze hachuré b Chercher dans votre tableau de

Comment calculer l'aire d'une courbe?

Si la variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite alors mesure l'aire de la surface comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et la droite verticale d'équation x = a.

Comment écrire l’aire sous une courbe ?

Vous pouvez écrire l’aire sous une courbe comme une intégrale définie (où l’intégrale est une somme infinie de morceaux infiniment petits – tout comme la notation de sommation). Maintenant pour les trucs fous. FOLLE. Il s’avère que l’aire est l’anti-dérivée de f (x). Si vous vous arrêtez un instant, vous verrez que c’est sauvage. Follement fou.

Comment calculer la progression des aires sous la courbe?

Il s’aperçut que les aires sous la courbe restaient constantes lorsque la progression de l’abscisse était géométrique (1, 2, 4, 8, 16,…). Si on s’intéressait à l’aire depuis l’abscisse 1, la progression des aires était arithmétique : Aire (a x b)= Aire de (a) + aire (b). Il avait aussi Aire (1) = 0.

Comment calculer les aires sous la courbe de l’hyperbole?

Georges Saint-Vincent, en 1650, s’intéressa à l’aire sous la courbe de l’hyperbole : y = 1/x. Il s’aperçut que les aires sous la courbe restaient constantes lorsque la progression de l’abscisse était géométrique (1, 2, 4, 8, 16,…).

Calcul intégral

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2020/2021Table des matières

1 Intégrale d"une fonction continue positive

2

2 Intégrale et primitive4

2.1 Dérivabilité de la fonction aire

4

2.2 Calcul d"intégrale d"une fonction continue et positive

5

3 Cas général5

3.1 Existence de primitives d"une fonction continue

5

3.2 Extension de la définition

6

3.3 Intégration par parties

6

4 Propriétés de l"intégrale7

4.1 Linéarité de l"intégrale

7

4.2 Relation deChasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

4.3 Positivité, inégalité de la moyenne

9

4.4 Valeur moyenne

10

5 Un exemple d"étude d"une suite d"intégrales

11

Table des figures

1 Unité d"aire

2

2 Intégrale d"une fonction continue positive

2

3 Intégrale d"une fonction constante positive

3

4 Intégrale d"une fonction affine positive

3

5 Dérivabilité d"une fonction aire

4

6 Intégrale d"une fonction continue négative

8

7 Intégrale d"une fonction continue de signe quelconque

9

8 Valeur moyenne

10 ?

Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

1 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE

En préliminaire au cours :

Activité :Activité 1 page 2401[Magnard]

Dans tout ce chapitre,(O;?ı;??)désigne un repèreorthogonal . C fdésigne la courbe représentative d"une fonctionfdans le repère(O;?ı;??).

1 Intégrale d"une fonction continue positiveDéfinition 1 :On appelleunité d"aire d urep ère(O;?ı;??)la mesure des aires, notéeu.a. , telle que :

1u.a.=??ı? × ????

Il s"agit de l"

aire du rectangle unitéOIKJ(voir figure1 ).Figure1 - Unité d"aireDéfinition 2 :Intégrale d"une fonction continue positive

Soitfune fonctioncon tinueet p ositivesur l"in tervalle[a;b].

On appelle

in tégralede fsur[a;b]l"aire, exprimée en u.a., du domaine compris entrel"axe des abscisses , la courbeCfet les droites d"équationx=aetx=b(voir figure3 ).

On la note :

?b a

f(x)dxFigure2 - Intégrale d"une fonction continue positive1. Évaluer l"intégrale d"une fonction continue positive

2

1 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE

Remarques :1.Ceci se lit : " in tégralede aàbdef(x)dx» ou bien " somme2deaàbdef(x)dx».

2. On dit qu ela v ariablexest muette. On peut ainsi noter indifféremment : b a f(x)dx=? b a f(t)dt=? b a f(u)du Exemples :1.F onctionconstan tef(x) = 5(voir figure3 ) 5 -25dx= 5(5-(-2)) = 5×7 = 35Figure3 - Intégrale d"une fonction constante positive 2. F onctionaffine f(x) =x+ 1, positive sur[2; 4](voir figure4 ) 4 2 (t+ 1)dt=AABCD+ACDE= 3×2 +2×22 = 6 + 2 = 8Figure4 - Intégrale d"une fonction affine positive 3. En utilisan tla mé thodesdes rectangles (v oiractivité 1 page 240

3et programme Pythonaire-rect.py),

on montre que :?1 0 x2dx=13

Remarque :On peut utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée d"une intégrale.

Exercices :1, 2 page 243 et 35, 36, 38, 39 page 2544- 3, 4 page 243 et 40, 41 page 2555[Magnard]2. Pour comprendre l"utilisation du mot " somme », voir l"activité de la feuille polycopiée.

3. Évaluer l"intégrale d"une fonction continue positive

4. Utiliser les aires pour calculer une intégrale.

5. Méthode des rectangles.

3

2 INTÉGRALE ET PRIMITIVE

2 Intégrale et primitive

2.1 Dérivabilité de la fonction aireThéorème :Soitfune fonctioncon tinueet p ositivesur un in tervalle[a;b].

Alors, la fonctionΦdéfinie par :

Φ(x) =?

x a f(t)dt est dériv able

sur [a;b]etΦ?=f.Remarque :La fonctionΦreprésente, en unités d"aire, l"aire sous la courbe représentant la fonctionf, sur

l"intervalle[a;x](voir figure5 ).Figure5 - Dérivabilité d"une fonction aire

Démonstration partielle

On se place dans le cas oùfest croissante sur[a;b]. Soitx0etx0+hdeux nombres de l"intervalle[a;b](voir figure5 ). - Sih >0:

Commefest croissante sur[a;b], on a :

et, par suite : - Sih <0, on montre de même que : Commefest continue enx0, on alimh→0f(x0+h) =f(x0)et, donc, par encadrement : lim h→0Φ(x0+h)-Φ(x0)h =f(x0) On en déduit donc que la fonctionΦest dérivable enx0et queΦ?(x0) =f(x0).

Remarque :On a donc montré que la fonctionΦ, aire sous la courbe de la fonctionf, est une fonction

dont la dérivée estf.DoncΦest uneprimitiv ede f. Exercices :97, 99 page 2586[Magnard]6. Fonction définie par une intégrale 4

3 CAS GÉNÉRAL 2.2 Calcul d"intégrale d"une fonction continue et positive

2.2 Calcul d"intégrale d"une fonction continue et positive

Théorème :Soitfune fonctioncon tinueet p ositivesur un in tervalle[a;b]. SoitFuneprimitiv e quelconquedefsurI.

Alors :?b

a f(t)dt=F(b)-F(a)Démonstration :

SoitΦ(x) =?x

af(t)dt. On a vu queΦest une primitive defsurI. Par suite, commeFest aussi une primitive def, il existe une constanteCtelle queG(x) =F(x) +C. De plus,Φ(a) = 0 =F(a) +CdoncC=-F(a)etΦ(x) =F(x)-F(a).

On aboutit donc àF(x)-F(a) =?x

af(t)dt, ce qui, appliqué enx=b, donne le résultat voulu. Remarque :on écrira ce résultat sous la forme suivante : b a f(t)dt= [F(t)]b a=F(b)-F(a)

Exemple :On veut calculer?3

1?t3+ 2t+ 1?dt.

On posef(t) =t3+ 2t+ 1.

fest continue et positive sur[1; 3]. Une primitive defsur[1; 3]est la fonctionFdéfinie par :

F(t) =t44

+t2+t

On a donc :

3

1?t3+ 2t+ 1?dt=?t44

+t2+t? 3 1 =?814 + 9 + 3? -?14 + 1 + 1? =814 +12-14 -2 =804 +10 = 30

3 Intégrale d"une fonction continue - Cas général

3.1 Existence de primitives d"une fonction continueThéorème :Toute fonctioncon tinuesu run in tervalleIadmet des primitivessur I.Remarques :1.On a dé jàmon tréce résultat p ourde sfonctions con tinueset p ositivesau 2.1 .

2.

P ourla démonstration, on admettra le résultat s uivant: " Toute fonction continue sur un intervalle

[a;b]admet un minimum et un maximum sur[a;b]».

Démonstration partielle

On se limitera au cas oùIest un intervalle fermé de la forme[a;b]. On note alorsmle minimum defsur[a;b]et on noteg(x) =f(x)-m. gest une fonction continue et positive sur[a;b], elle admet donc une primitiveGsur[a;b].

On a doncG?(x) =g(x) =f(x)-m.

On noteFla fonction définie sur[a;b]parF(x) =G(x) +mx. Fest dérivable sur[a;b]etF?(x) =G?(x) +m=f(x) +m-m=f(x).

Fest donc une primitive defsur[a;b].

5

3.2 Extension de la définition 3 CAS GÉNÉRAL

3.2 Extension de la définition

On peut remarquer que la formule :

?b a f(t)dt=F(b)-F(a)

donnée pour des fonctions continues et positives, a encore du sens lorsque la fonction n"est plus nécessairement

positive.Définition :Soitfune fonctioncon tinuesur un in tervalleI,Funeprimitiv ed efsurIeta,b?I.

On appelle

in tégraled ela fonction fentreaetble nombre défini par : b a

f(t)dt=F(b)-F(a)Remarque :Ce nombre ne représente plus une aire sous la courbe, et n"est pas nécessairement positif.Propriété :Soit fune fonctioncon tinuesur Ieta,b?I.

a a f(t)dt= 0 a b f(t)dt=-? b a f(t)dtDémonstration :

On noteFune primitive defsurI.?

a a f(t)dt=F(a)-F(a) = 0 a b f(t)dt=F(a)-F(b) =-(F(b)-F(a)) =-? b a f(t)dt

Exemples :

3quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
[PDF] tp mouvement d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme

[PDF] aire sous la courbe pharmacocinétique

[PDF] aire sous la courbe biodisponibilité

[PDF] tp chute parabolique d'une bille

[PDF] tp mouvement parabolique

[PDF] fabriquer un zootrope simple

[PDF] image zootrope

[PDF] exercice mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique

[PDF] image pour zootrope

[PDF] exemple d'un texte narratif descriptif

[PDF] production écrite texte narratif exemple

[PDF] un texte narratif définition

[PDF] comment rédiger un texte narratif

[PDF] equilibre d'un solide en rotation autour d'un axe fixe exercices

[PDF] mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe cours