CALCUL INTEGRAL 1. Aire sous une courbe
Exemples : i. L'aire du rectangle ABCD ci-dessus est de 2 unités d'aires. OI = 2 cm et OJ = 3 cm donc l'aire de ABCD est. 2 2 3 = 12 cm2.
La notion dintégrale permet de calculer laire sous la courbe dune
Alors l'aire du rectangle OIKJ est appelée unité d'aire et elle est notée . . Définition : Soit une fonction continue et positive sur l'intervalle [ ; ]
INTÉGRATION (Partie 1)
1) Unité d'aire d'aire en unités de mesure (le cm2 par exemple). ... Sur un sous-intervalle [ ; + ] l'aire sous la courbe est comprise entre ...
Le résumé 3e partie
1 et 089 pour le RSB. Le calcul de l'aire sous la courbe (ASC) ROC a donné : 1
CALCUL INTÉGRAL (Partie 1)
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Calcul intégral
Remarque : La fonction ? représente en unités d'aire
INTEGRATION (Partie 1)
rectangle "unité" qui a pour aire 1 unité d'aire. On écrit 1 u.a. l'aire sous la courbe est comprise entre l'aire de deux rectangles :.
Calcul intégral 1 Intégrale et aire
On appelle unité d'aire (notée en abrégé u.a) l'unité de mesures des aires telle Sn est alors l'aire sous la courbe de sn : c'est la somme des aires des ...
clairance • Vd
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I. Signal périodique
La fréquence correspond au nombre de périodes par unité de temps : Sur une période l'aire sous la courbe est nulle. (l'aire positive compensant ...
CALCUL INTÉGRAL - maths et tiques
l’équation de la courbe pour calculer l’aire sous la courbe c’est à dire du « bord » de la surface à la surface entière (intégrale) Au milieu du XIXe siècle les sciences sociales reprennent le mot pour exprimer l’idée qu’une personne s’intègre à un groupe Partie 1 : Intégrale et aire 1) Unité d'aire
Loi normale - Assistance scolaire personnalisée et
l’équation de la courbe pour calculer l’aire sous la courbe c’est à dire du « bord » de la surface à la surface entière (intégrale) Au milieu du XIXe siècle les sciences sociales reprennent le mot pour exprimer l’idée qu’une personne s’intègre à un groupe Partie 1 : Intégrale et aire 1) Unité d'aire
CALCULS D'AIRES INTEGRALES PRIMITIVES 1°) Intégrale d'une
est un rectangle on appelle unité d'aire et on note u a l'aire du rectangle OIKJ Prop 1 et déf 1: Si f est continue et positive sur [a ; b] on admet que le domaine E situé sous la courbe (entre la courbe l'axe des abscisses les droites d'équations x = a et x = b) admet une aire
Chapitre 12 - University of Paris-Est Marne-la-Vallée
sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan - La partie du plan située entre l’axe des abscisses la courbe ????et les droites d’équations = et = admet une aire - On appelle intégrale de et de la fonction la mesure de l’aire de cette partie en unité d’aire
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On veut déterminer l’aire de la surface hachurée sous la courbe a Donner une estimation (ou un encadrement) de cette aire b En utilisant ce qui a été fait précédemment proposez une méthode qui permette de calculer la valeur exacte de cette aire a Calculer l’aire du trapèze hachuré b Chercher dans votre tableau de
Comment calculer l'aire d'une courbe?
Si la variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite alors mesure l'aire de la surface comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et la droite verticale d'équation x = a.
Comment écrire l’aire sous une courbe ?
Vous pouvez écrire l’aire sous une courbe comme une intégrale définie (où l’intégrale est une somme infinie de morceaux infiniment petits – tout comme la notation de sommation). Maintenant pour les trucs fous. FOLLE. Il s’avère que l’aire est l’anti-dérivée de f (x). Si vous vous arrêtez un instant, vous verrez que c’est sauvage. Follement fou.
Comment calculer la progression des aires sous la courbe?
Il s’aperçut que les aires sous la courbe restaient constantes lorsque la progression de l’abscisse était géométrique (1, 2, 4, 8, 16,…). Si on s’intéressait à l’aire depuis l’abscisse 1, la progression des aires était arithmétique : Aire (a x b)= Aire de (a) + aire (b). Il avait aussi Aire (1) = 0.
Comment calculer les aires sous la courbe de l’hyperbole?
Georges Saint-Vincent, en 1650, s’intéressa à l’aire sous la courbe de l’hyperbole : y = 1/x. Il s’aperçut que les aires sous la courbe restaient constantes lorsque la progression de l’abscisse était géométrique (1, 2, 4, 8, 16,…).
Calcul intégral
Christophe ROSSIGNOL
Année scolaire 2020/2021Table des matières
1 Intégrale d"une fonction continue positive
22 Intégrale et primitive4
2.1 Dérivabilité de la fonction aire
42.2 Calcul d"intégrale d"une fonction continue et positive
53 Cas général5
3.1 Existence de primitives d"une fonction continue
53.2 Extension de la définition
63.3 Intégration par parties
64 Propriétés de l"intégrale7
4.1 Linéarité de l"intégrale
74.2 Relation deChasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
4.3 Positivité, inégalité de la moyenne
94.4 Valeur moyenne
105 Un exemple d"étude d"une suite d"intégrales
11Table des figures
1 Unité d"aire
22 Intégrale d"une fonction continue positive
23 Intégrale d"une fonction constante positive
34 Intégrale d"une fonction affine positive
35 Dérivabilité d"une fonction aire
46 Intégrale d"une fonction continue négative
87 Intégrale d"une fonction continue de signe quelconque
98 Valeur moyenne
10 ?Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
11 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE
En préliminaire au cours :
Activité :Activité 1 page 2401[Magnard]
Dans tout ce chapitre,(O;?ı;??)désigne un repèreorthogonal . C fdésigne la courbe représentative d"une fonctionfdans le repère(O;?ı;??).1 Intégrale d"une fonction continue positiveDéfinition 1 :On appelleunité d"aire d urep ère(O;?ı;??)la mesure des aires, notéeu.a. , telle que :
1u.a.=??ı? × ????
Il s"agit de l"
aire du rectangle unitéOIKJ(voir figure1 ).Figure1 - Unité d"aireDéfinition 2 :Intégrale d"une fonction continue positive
Soitfune fonctioncon tinueet p ositivesur l"in tervalle[a;b].On appelle
in tégralede fsur[a;b]l"aire, exprimée en u.a., du domaine compris entrel"axe des abscisses , la courbeCfet les droites d"équationx=aetx=b(voir figure3 ).On la note :
?b af(x)dxFigure2 - Intégrale d"une fonction continue positive1. Évaluer l"intégrale d"une fonction continue positive
21 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE
Remarques :1.Ceci se lit : " in tégralede aàbdef(x)dx» ou bien " somme2deaàbdef(x)dx».
2. On dit qu ela v ariablexest muette. On peut ainsi noter indifféremment : b a f(x)dx=? b a f(t)dt=? b a f(u)du Exemples :1.F onctionconstan tef(x) = 5(voir figure3 ) 5 -25dx= 5(5-(-2)) = 5×7 = 35Figure3 - Intégrale d"une fonction constante positive 2. F onctionaffine f(x) =x+ 1, positive sur[2; 4](voir figure4 ) 4 2 (t+ 1)dt=AABCD+ACDE= 3×2 +2×22 = 6 + 2 = 8Figure4 - Intégrale d"une fonction affine positive 3. En utilisan tla mé thodesdes rectangles (v oiractivité 1 page 2403et programme Pythonaire-rect.py),
on montre que :?1 0 x2dx=13Remarque :On peut utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée d"une intégrale.
Exercices :1, 2 page 243 et 35, 36, 38, 39 page 2544- 3, 4 page 243 et 40, 41 page 2555[Magnard]2. Pour comprendre l"utilisation du mot " somme », voir l"activité de la feuille polycopiée.
3. Évaluer l"intégrale d"une fonction continue positive
4. Utiliser les aires pour calculer une intégrale.
5. Méthode des rectangles.
32 INTÉGRALE ET PRIMITIVE
2 Intégrale et primitive
2.1 Dérivabilité de la fonction aireThéorème :Soitfune fonctioncon tinueet p ositivesur un in tervalle[a;b].
Alors, la fonctionΦdéfinie par :
Φ(x) =?
x a f(t)dt est dériv ablesur [a;b]etΦ?=f.Remarque :La fonctionΦreprésente, en unités d"aire, l"aire sous la courbe représentant la fonctionf, sur
l"intervalle[a;x](voir figure5 ).Figure5 - Dérivabilité d"une fonction aireDémonstration partielle
On se place dans le cas oùfest croissante sur[a;b]. Soitx0etx0+hdeux nombres de l"intervalle[a;b](voir figure5 ). - Sih >0:Commefest croissante sur[a;b], on a :
et, par suite : - Sih <0, on montre de même que : Commefest continue enx0, on alimh→0f(x0+h) =f(x0)et, donc, par encadrement : lim h→0Φ(x0+h)-Φ(x0)h =f(x0) On en déduit donc que la fonctionΦest dérivable enx0et queΦ?(x0) =f(x0).Remarque :On a donc montré que la fonctionΦ, aire sous la courbe de la fonctionf, est une fonction
dont la dérivée estf.DoncΦest uneprimitiv ede f. Exercices :97, 99 page 2586[Magnard]6. Fonction définie par une intégrale 43 CAS GÉNÉRAL 2.2 Calcul d"intégrale d"une fonction continue et positive
2.2 Calcul d"intégrale d"une fonction continue et positive
Théorème :Soitfune fonctioncon tinueet p ositivesur un in tervalle[a;b]. SoitFuneprimitiv e quelconquedefsurI.Alors :?b
a f(t)dt=F(b)-F(a)Démonstration :SoitΦ(x) =?x
af(t)dt. On a vu queΦest une primitive defsurI. Par suite, commeFest aussi une primitive def, il existe une constanteCtelle queG(x) =F(x) +C. De plus,Φ(a) = 0 =F(a) +CdoncC=-F(a)etΦ(x) =F(x)-F(a).On aboutit donc àF(x)-F(a) =?x
af(t)dt, ce qui, appliqué enx=b, donne le résultat voulu. Remarque :on écrira ce résultat sous la forme suivante : b a f(t)dt= [F(t)]b a=F(b)-F(a)Exemple :On veut calculer?3
1?t3+ 2t+ 1?dt.
On posef(t) =t3+ 2t+ 1.
fest continue et positive sur[1; 3]. Une primitive defsur[1; 3]est la fonctionFdéfinie par :F(t) =t44
+t2+tOn a donc :
31?t3+ 2t+ 1?dt=?t44
+t2+t? 3 1 =?814 + 9 + 3? -?14 + 1 + 1? =814 +12-14 -2 =804 +10 = 303 Intégrale d"une fonction continue - Cas général
3.1 Existence de primitives d"une fonction continueThéorème :Toute fonctioncon tinuesu run in tervalleIadmet des primitivessur I.Remarques :1.On a dé jàmon tréce résultat p ourde sfonctions con tinueset p ositivesau 2.1 .
2.P ourla démonstration, on admettra le résultat s uivant: " Toute fonction continue sur un intervalle
[a;b]admet un minimum et un maximum sur[a;b]».Démonstration partielle
On se limitera au cas oùIest un intervalle fermé de la forme[a;b]. On note alorsmle minimum defsur[a;b]et on noteg(x) =f(x)-m. gest une fonction continue et positive sur[a;b], elle admet donc une primitiveGsur[a;b].On a doncG?(x) =g(x) =f(x)-m.
On noteFla fonction définie sur[a;b]parF(x) =G(x) +mx. Fest dérivable sur[a;b]etF?(x) =G?(x) +m=f(x) +m-m=f(x).Fest donc une primitive defsur[a;b].
53.2 Extension de la définition 3 CAS GÉNÉRAL
3.2 Extension de la définition
On peut remarquer que la formule :
?b a f(t)dt=F(b)-F(a)donnée pour des fonctions continues et positives, a encore du sens lorsque la fonction n"est plus nécessairement
positive.Définition :Soitfune fonctioncon tinuesur un in tervalleI,Funeprimitiv ed efsurIeta,b?I.On appelle
in tégraled ela fonction fentreaetble nombre défini par : b af(t)dt=F(b)-F(a)Remarque :Ce nombre ne représente plus une aire sous la courbe, et n"est pas nécessairement positif.Propriété :Soit fune fonctioncon tinuesur Ieta,b?I.
a a f(t)dt= 0 a b f(t)dt=-? b a f(t)dtDémonstration :On noteFune primitive defsurI.?
a a f(t)dt=F(a)-F(a) = 0 a b f(t)dt=F(a)-F(b) =-(F(b)-F(a)) =-? b a f(t)dtExemples :
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